TRANSFORMATION BO MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC

dernière, une autre courbe ma de forme invariable, et proposons-nous de déterminer Venveloppe des positions de ma ou la courbe ûxe maf à laquelle elle reste constamment tangente.

Fig. 25.

La rotation û autour du point A peut être considérée comme se composant d'une rotation égale et de même sens autour du point de contact m de ma et ma' y et d'une translation Q.Am perpendiculaire à /wA; mais, comme ma ne peut éprouver de déplacement que suivant la tangente en m, il s'ensuit que ia normale au point de contact de l'enveloppe et de l'enveloppée passe par le point de contact des courbes (S) et (S').

En appelant 'p la normale A m, la translation ci-dessus donne lieu, dans le temps dtj au déplacement

£l.mk.dt = p(^-^^\d^

suivant la tangente en m, qui mesure le glissement élémentaire de ma sur ma', Poncelet a déduit du théorème précédent un tracé très-

simple de l'enveloppe; à cet effet, marquons sur (S) {fig. 26) les points équidistants o, i, 2,..., dont l'équidistance soit assez

petite pour que Ton puisse considérer Tare correspondant comme rectiligne ou égal à sa corde, ce qui peut se faire avec un compas dont Touverture reste constante. Abaissons de ces points les normales o.K», i.Ki, 2.K,,...surAm; des points équidistants o', i', 2',. . ., marqués sur (S'), et dont Téquidistance est la même que pour (S), pris comme centres et avec des rayons respectivement égaux à o.Ko, i.Ki,. . ., décrivons des arcs de cercle ; ces arcs de cercle se couperont successivement et seront tangents à l'enveloppe que Ton déterminera ensuite par le tracé d'une courbe continue menée tangentiellement aux mêmes arcs. Il est évident d'ailleurs que cette méthode est générale, c'est-à-dire que les courbes (S) et (S') opposent ou non leurs convexités, et la figure montre que, dans tous les cas, le contact aura toujours lieu entre la partie de V enveloppée extérieure à(^')et la partie de V enveloppe intérieure [à (S), et inversement.

Lorsque l'enveloppée est un point m, les normales se réduisent aux distances de m aux points o, i, 2,..., et l'on peut tracer ainsi très-facilement l'enveloppe qui est une épicycloïde.

Proposons-nous maintenant de construire le rayon de courbure de l'enveloppe d'une courbe.

Soient (Jig. 27), pour le point de contact A,

Fiff. 27.

0, 0' les centres de courbure de (S) et (S'); C, C les centres de courbure de l'enveloppée et de l'enveloppe;