TRANSFORMATION VU HOUYEHBIIT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
p^p' les rayons de courbure correspondants;
Al, A', les points de (S) et (S') qui viennent en contact au bout du temps ^/;
m„ m'i les points correspondants de l'enveloppée et de l'enveloppe : les points m.. Ai, C sont en ligne droite, ainsi que
'w'ijA'jjC;
K, K' les points dMntersection de la perpendiculaire en A à la normale CC avec les droites A,C et A', C;
<p l'angle formé par la normale A m avec 00'.
On a
et évidemment
mm\ = AK'-ï7^ = ds ces? -r^ — > AC ^ ?-?
. Cm , p
mm. = AK -t-tt = ds cos«p — - — • ' AC P -^ P
La différence de ces deux éléments ou le glissement élémentaire a donc pour valeur
(3) €ls COSy ( -7-2 ^ ) — pdsO0%(9 (-T- ^— — ) J
et, en identifiant cette expression à celle que donne la formule (2), on obtient
relation au moyen de laquelle Savary a donné la construction suivante, pour trouver le centre de courbure de l'enveloppe, connaissant celui de l'enveloppée.
Soient H' l'intersection de la droite AK'K avec la direction de O'C, r le pied de la perpendiculaire abaissée de 0' sur CC;
AH'= OT ^, = R'sin? -r-^-r = '^
Cr ^p— o — Rcos<p I I
Si H est pour la courbe ma le point analogue à H' pour
la courbe ma' y on trouve de la même manière AH= ^^^ ,
cosy
el d'après la relation (4) les points H et H' coïncident.
Donc, pour trouver le centre de courbure de VenveloppCy on joindra les points 0 etC par une droite jusqu'à sa rencontre H avec la perpendiculaire en k à la normale en m, et Vintersection de cette normale avec la droite qui joint les points H et O' sera le centre de courbure cherché.
Ce théorème permet de construire l'enveloppe par une succession d'arcs de cercle osculateurs; à cet effet, à partir de A portons des divisions équidistantes, sufGsamment rapprochées, 1,2, 3,. . . sur (S), et i', a', 3',. . . sur (S'); déterminons les centres de courbure Ci, Cs,..., correspondant aux divisions ci-dessus (S) et aux points mi, ms,... de ami la position du point m étant supposée connue, on construira C et l'on décrira l'arc de cercle osculateur mml^^ limité à la normale C'i'; sur le prolongement de celte droite, et à partir de m',, on portera une longueur m'^ D, = i .Ci et le point Di permettra, de même que C pour C, de trouver le centre de courbure C, de l'enveloppe correspondant à m\, d'où un second arc de cercle osculateur qu'on limitera comme mni^ et ainsi de suite; mais celte construction, quoique basée sur un principe éminemment rationnel, est assez compliquée, et dans la pratique celle de Poncelet est bien préférable.
La construction du centre de courbure donnée ci-dessus s'applique à tous les cas, que les courbes (S) et (S') opposent leurs convexités, comme le suppose la figure, ou que le contraire ait lieu; mais, si l'on veut faire une application numérique de la formule (4)^ il faudra, dans ce dernier cas, considérer R comme négatif; et si le sens de la courbure de ma change, par rapport à celle de (S'), il faudra également remplacer p par — p dans la même formule, et le signe de p' donnera le sens de la courbure de l'enveloppe; enfin si le point m, au lieu de se trouver à l'extérieur de (S'), est à l'intérieur, il faudra changer le signe de p.
