AL

Nous supposerons dorénavant que le^ lettres p, 0, s se rapportent uniquement à un point quelconque m de la courbe A' A", en employant la lettre r pour désigner le rayon de courbure de la partie hélicoïdale.

Les équations («),'( fc) donnent, en ayant égard à la valeur (d) de 311/,

Comme les rapports y^i^t ^^^^ toujours très-petits, il en

est de même de leurs produits par a, quand même cet angle est supérieure TT, et nous pouvons ainsi, sans inconvénient, négliger, devant l'unité, les secondes puissances de ces produits, ce qui nous donne

et

( sinO = sinô^ -t- cosô^ —?

I cosO— cosO^— sinO. ^•

Soient maintenant c, c' les centres de courbure aux points m, m' infiniment voisins de la courbe A' A"; Ç, vî et l-hd^, Yi-h dm les coordonnées de ces points parallèles à 0:»? et à sa perpendiculaire Oj. Nous avons ce' = rfp, et la figure donne

d^z= — dp cosô, dn = —dp sinô.

Si nous affectons respectivement d'un accent et de deux accents les lettres qui se rapportent aux points A' et A'', nous aurons, en intégrant,

?"-?'=- r ^cosOds, >,"->,'==- r ^sinBds.

Si l'on intègre par 4)arties en se rappelant que - = ^, on trouve

Ç" = Ç' — p^cosô" -+- p'cosô^ — f si]

sinO^^.

-p''sinG"-Hp'sin6'-h / cosô^.

Soient Cet C" les centres de courbure de la courbe en A', A% le second de ces points devant se trouver sur o A", en vertu de

la seconde des conditions que nous nous sommes imposées. En supposant que le point m se déplace sur la courbe en se rapprochant du point A', on reconnaît que l'angle 0' est Tangle négatif formé avec Ox par le prolongement A'C au delà du point A', et la figure donne

{e) Ç' = — p'cosG'— «, V = — p'sinG',

(/) ?''=(r-.p'')cos0% Ti^^Cr-p^lsinÔ^.

Les équations (4) deviennent, par la substitution de ces valeurs,

l rcosô''-+- a = — l sin0f/.ç, I rsinô''^ / (

Telles sont les conditions qui doivent être satisfaites, quel que soit Tangle a; si l'on y substitue les valeurs données par les formules (i) et (3) en continuant l'approximation adoptée, puis que Ton égale à zéro le terme constant et le coefficient de a, on trouve

(6) / sin0o<^<y=^--r„cosôî — «,

(7) r cosG.^j= r„sin''G^.,

(8) / cos0,5^^ = rjcosô^„-t-r^/sinô';,

(9) r sine,5^ = r;sinô;-/r,cosG;.

Si l'on désigne par x exy les coordonnées du point m, et si l'on remarque que l'on a

dx = — ds sin 0„, dy — ds cos G^,

on reconnaît que les équations (6) et (7) se réduisent à des identités.

46o QtATUftMB PAETU. — CHAPITRE Y.

Noos avons maintenant» en intégrant par parties,

Ssoo&^ds=:Ssdjr = sjr—jjrds^ fs&nBds = — fsdx = — sx -^fxds.

Si donc on appelle jt, et x^ 1^ coordonnées du centre de gravité G de la courbe A'mA', les équations (8) et (9) deviennent

r'cosO' r!siii^

r, = --7-. '.= —i— De ces deux équations on déduit

^^-cote», v^r:P7î = 0G=$,

et l'on peut énoncer ainsi les deux conditions auxquelles doit satisfaire chaque courbe de raccordement non déformée :

i^ Le centre de gravité de la courbe doit se trouver sur la perpendiculaire au rayon mené au point de raccordement avec les spires,

2** La distance de ce centre de gravité au centre des spires doit être une troisième proportionnelle à la longueur de la courbe et au rayon des spires.

Pour faire passer par les points A' et A'', supposés donnés, une courbe satisfaisant à ces conditions, on procédera par tâtonnements géométriques en modifiant successivement une courbe tracée au jugé et normale au rayon OA''.

l^fig. 198 représente l'ensemble des deux courbes; à l'état naturel, les points semblables sont indiqués par la même lettre affectée de l'indice i pour Tune des courbes. Soit H le centre de gravité des deux courbes situé sur la bissectrice de l'angle A';OA"=a<p; on a

G,OG = 180*»— 2<p, OH = OG sin^ = -j sin<p,

d'où

2 /.OH = arj sinf.

On peut considérer le ressort comme composé d'un nombre

enlier de spires, commençant et finissant en des points projetés en A", dont le centre de gravité se trouve sur Taxe o, des deux courbes et de Tare A"A% Or le moment de cet arc

Fig. 198.

par rapport au point 0 est égal à 2rJ sinç; d'où il suit que le centre de gravité du ressort entier à l'état naturel doit se trouver sur l'axe du balancier.

167. Spiral plat. — Nous admettrons, comme ceJa a lieu dans la réalité, que le ressort se raccorde tangentiellement avec la virole du balancier.

En considérant A' et A" comme étant les extrémités fixe et mobile du ressort, tout ce que nous avons dit sur les courbes de raccordement s'applique ici à l'ensemble des spires, en supposant que L = /, et que o est le centre de courbure en A".

Nous devrons donc faire $"1=0, yï"=o dans les équations (4) et y remplacer p*' par le rayon donné r; il vient ainsi, en ayant égard aux formules (e).