HP

A, A' les points où les directions des tangentes aT, aT

rencontrent le prolongement O'x de 00'; e Tangle formé par aT avec le prolongement de aT'; I, /' les angles respectifs que font aT avec aO' etaT' avec Oa.

La figure donne

par suite

xAfl = V-f-a, 0'A'« = V'-ha'-7r,

jrA^ = 27r-V'-a',

Pour que le point de contact m se trouve à droite du point a», comme le suppose la fig. 199, il faut évidemment que le point A soit situé entre A' et 0'; dans le ca§ contraire, il suffirait de changer le signe de e.

Si «J est le prolongement de 0 a au delà de a, on voit que

d'où

(d) sin(a-f-a'-+- V) = — sin/; on trouverait de même

^(d') sin(a-ha'-+-V') =-sin/'.

Les formules (3) deviennent, en ayant égard à ces valeurs et remplaçant m par son expression (6),

^ ' ' ; r'sin/cosV'.iî/i'— rsinV'cosV.^/i

r sins

Ces deux déplacements étant exprimés en fonction de on, an! ou du temps t qui est une inconnue de la question, il nous faut une nouvelle relation que nous obtiendrons en établissant la condition que les tangentes aux deux courbes coïncident au point m.

De la formule

[e) cotV = i~ ^ r doL

on tire

pour la variation de V correspondant à celle (5a — ô/i) de a, lorsque Ton va du point a de ac au point de cette courbe correspondant à sa position mux. Au moyen des valeurs [a) et (e), la formule précédente se met facilement sous la forme

(5) ^V= (cos'V- "^ £:) (^a- ^,1).

BBS ÊCaAPPKMBNTS. 471

On peut simplifier cette expression en remarquant que, si p

est le rayon de courbure de ac en a, d(\ -h a) est Fangle de

dr contingence, et r: Télément d'arc correspondant; de sorte

que Ton a

dV d'où, en éliminant -r- au moyen delà formule {e).

et de même

(6') SY =(^i^^ cos^r- y^^ (^a' - Sn'),

p' étant l'équivalent de p pour la courbe ab.

L'angle des deux tangentes en m n'est autre chose que ce que devient l'expression de e lorsqu'on augmente respectivement V, V, a, a' de ôV, âV, Sa — on, Sx — ôn\ En exprimant que cet angle est nul, on obtient la relation

On voit ainsi que, pour que la collision ait lieu comme nous l'avons supposé, il fautquel'anglee soit très-petit, ce qui est visible a priori, et l'on peut alors, dans les valeurs (4), remplacer e par sine avantd'en faire la substitution dans la formule (7). En remplaçant dans le résultat ainsi obtenu an et dn' par leurs valeurs, on obtiendra une équation du second degré qui permettra de calculer le temps t. Mais nous ne résoudrons complètement le problème que dans le cas où l'angle O'aO est égal à 90 degrés, le seul qui puisse nous intéresser dans la suite. Soient y, / les angles aigus que forment les directions deâ tangentes al, ai' avec la perpendiculaire au rayon Oa, au

point a, menée dans le sens du mouvement de ce rayon. Nous avons

par suite, en vertu de la formule (c),

e = 7' — 7, V = TT — 7—2, '' = 7 — Ê.

Si nous désignons par m l'angle que forme Où avec 00', qui est défini par la relation

tang>3= p,

et si nous substituons dans les équations (4) et (5) les valeurs, en fonction de y, déduites des relations précédentes, des angles qui y entrent, nous trouvons, en ne conservant que la première puissance de e,

' -, ^ C087(sin7--6C0S7)^/? — tangïîsin7(cos7--esin7)^/î'