H fX — 2fx C0S2y ~ bVsr
qui devient, dans le cas de fx = o,
sin2<p v> 3
ou, en évaluant 9 en degrés,
(3) c. o,oi3i.
Si l'on remarque que le minimum de n est donné par
9 étant la valeur en degrés donnée de la formule (2) transformée en équation, on trouve, en résolvant cette équation :
Pour fA = o «p = 37°, o, d'où n = 10,
Pourp = j (ï) = 33",5, 72=11,
Pour p = J- (p = 3o°, 5, 71=12,
Pourp = | <p = 28^5, /î=.i3,
Pourfx=i <p = 26%4, w=i4,
Pourfz=i (ï> = 23°,6, «=i5,
OU très-exactement
(4) /i=io-H5p(>).
(') Au lieu de cette formule, Savary est arrÎTé à la suÎTante :
11 = 10 (i-H/a) qui donne des résultats plus forts lorsque /a atteint une valeur appréciable.
TRANSFORMATION BU HOUTBMBNT GIRGULAIRB CONTINU, ETC. /^S
Supposons maintenant que l'on veuille tenir compte du jeu, que nous représenterons par df, cette quantité, ainsi que la variation correspondante d<f de 9, étant supposée assez petite pour que l'on puisse en négliger les puissances supérieures à la première.
En dififérentiant la formule ( i), considérée comme équation, par rapport à la caractéristique d, on trouve
? ~~ « 23 r acosaf fxsinacp "1 '
en
quantité qui est évidemment égale à -En ayant égard
aux valeurs de f données plus haut, on trouve :
Pour ti = o — = i,o5^i',
Pour /x = i — = 1,08(^1',
Pour f* = i -^ = i,ii^i',
Pourf*=:f ~ =1,11^/',
Pourf. = { ~ = i,iidV,
Pour u = 1 — = 1,08^/',
de sorte que, en prenant pour n le nombre entier immédiatement supérieur à la valeur de
(5) /i = (io-»-5fx)(i-i-i, ii^i*),
on sera certain que l'engrenage sera possible, au moins en dehors des conditions de résistance qu'il doit remplir, et qui ne le seront pas, notamment dans le cas de dents trop pointues et d'efiorts moteurs et résistants trop considérables, 2® Le pignon conduit la roue. — Au lieu de la formule (a)
46 QUATRIÈMB PARTIE. — GHÀPITRB III.
on obtiendra la suivante :
6) ^ -, 2tangi--^ 2f,
qui s'en déduit par analogie, en y remplaçant fz par - et <p
par ?'= ^•
De la limite de <p' tirée de cette inégalité, on déduira celle qui résulte de la condition relative à un engrenage réciproque, et qui sera la seule à laquelle on aura à satisfaire. Il suffit, pour s'en convaincre, de remarquer que les faces des dents de la roue sont des épicycloïdes aplaties, et que celles du pignon sont des épicycloïdes allongées, de sorte que, pour un contact d'une même étendue. Tare de la circonférence primitive correspondant à la naissance et à l'extrémité d'un arc de face sera moindre pour le pignon que pour la roue.
Si l'on n'exige pas que le contact cesse pour un couple de dents, lorsque la nouvelle prise commence à la ligne des centres, ou que l'on admette qu'elle puisse se produire avant cette ligne, la limite inférieure du nombre des dents du pignon peut être plus grande que celle que donne la formule (5) ; il faut alors faire intervenir les arcs d'approche et de retraite, que nous représenterons par aa, at^, a et «^ étant des fractions du pas dont la somme est égale à une ou deux unités, selon que, lorsque le contact est sur le point de cesser entre un couple de dents, il commence entre le couple précédent de l'autre côté dfe la ligne des centres, ou qu'il y a déjà une prise sur la ligne des centres et une autre qui commence immédiatement en deçà de cette ligne; 9 continuant à désigner
l'angle — ? nous devrons avoir
mais on a
m fi' m = /w, (y A -h AO/w , w, O'A == — = p^a,
d'où
TRANSFORMATION BU MOUYEHENT GIRCULAIRB CONTINU^ BTG. 4?
D'autre part, on trouverait comme plus haut, en remarquant que l'angle AOm est égal à v(p,
tangÂOV/i = i- 1 .
2 fx a
II faudra donc satisfaire à l'inégalité
7 ^- ^tangfiipl a),
qui permettra de déterminer le maximum de 9 et le minimum de 71 pour des valeurs attribuées à p, a et 1^.
On déduira facilement de la formule (7) celle qui serait relative au cas où la roue serait conduite par le pignon.
(g). Limite du nombre des dents dans l'engrenage à flancs intérieurs. — Il est facile de s'assurer que les formules relatives à cette question se déduiront des équations (i), (6), (7 ) , en y changeant le signe du cosinus qui entre dans la dénomina tien du premier membre; mais, comme l'engrenage intérieur est peu employé, nous n'avons pas cru devoir faire l'application de ces formules.
(A). Relations entre le pas, la saillie et l'épaisseur des dents dans V engrenage extérieur, — Soient
a, aoLy av le pas, les arcs d'approche et de retraite ; e, e' et ei , e!^ les épaisseurs du pignon et de la roue à la circonférence primitive et à l'extrémité; /i, f^ les saillies de ces dents.
Occupons-nous d'abord de la roue C {flg. 39). On a
= — >- = «, d'où R= — j R'= — 5
n n aTT air '
puis
AO/w = j AOA| = — p,
/' -0'/?i-R'=0'/w-— , * aTT
^-< = aF,A'.= ^B',0'A'..
Mais on voit facilement que
Am' -{- aR'A/w sinAO/w
= — 4 //î'*-f-/i(/i-h2/i')sin' — 2/iY ^ ' n
ex, comme plus haut.
tangOO'/w = ^ ^^^ = — ^,
a -h p — fxcosaAO/w 2n -h n — ncos-^
d'où, en remarquant que Tangle B'jO'A\ est généralement assez petit pour que Ton puisse le considérer comme égal à sa tangente,
^^0'X\ = tangB',(yA', = tang(AOA', - 00' m)
a/i'-4-/i--/2COS— — ) tang — ; «sin
2« -4- 72 — /a cos -^^ h n sin -^ — tang
par suite
l>) \ , , ( a« -H/i — /ïcos-^^ — Jtang — -, /ïsm-^-r-
f n'a , Ant^ , Anv ^ aTrv
* a /i -f- /2 — /î cos -^ h/isin-ï^ — tang — t-
On obtiendra des formules semblables pour le pignon en changeant dans ces dernières t^ en a et /i en n', et inversement.
Ces formules sont trop compliquées pour qu'on puisse les discuter facilement; mais dans les cas ordinaires de la pratique, que nous allons maintenant examiner, on peut leur faire subir sans erreur appréciable des simplifications importantes.
i" Cas des petits arcs d'approche et de retraite. — Supposons que 71, n' soient assez grands pour qu'on puisse négliger les
puissances supérieures à la seconde des angles — 9 —<• La
TRANSFORMATION DU MOUTIHBNT GIRGDLAIRB CONTINU, BTG. 49
première des formules (i) donne, en conservant seulement les termes du second ordre,
nn
On trouverait de même
\i) l, =an — a\
En admettant un jeu de -pô du pas pour le creux, ou à trèspeu près ^f on a, pour la longueur totale des dents des deux roues,
La seconde des formules (i) donne, en continuant l'approximation adoptée,
/ e'—e\ aTTt* — — __,
(3) { d'où
On trouverait de même
Nous remarquerons que, dans les cas ordinaires où a=t=: i , on a
2*» Cas d'un pignon d'un petit diamètre. — Lorsque le
rapport fJt = — est petit et descend au-dessous de \ par
exemple, on peut, sflins grande erreur, négliger le carré de /x ni. 4
5o QUATRifeME PARTIE. — CHAPITRE III*
devant Tunilé, et la première des formules (i) donne
ou
/' ~ — n'a ^ sin'
On peut aussi écrire
psin
tangOO /« = ; — — fASin ( 2 — a -h u cos -^ — )
