TRANSFORMATION DU MOUVEMENT GIRGULAIRB CONTINU, ETC
Oq voit ainsi que le rapport des vitesses angulaires extrêmes» ou la raison de l'engrenage» est égal au rapport du produit des rayons ou du nombre des dents des pignons à celui des rayons ou des nombres des dents des roues.
Dans de semblables mécanismes, il arrive quelquefois, comme dans la minuterie des chronomètres, que deux arbres soient concentriques, Tun creux, appelé canon, tournant à frottement doux sur l'autre.
Les vitesses extrêmes (en employant uniquement des engrenages extérieurs, comme nous le supposerons toujours dans ce qui suit) seront de même sens ou de sens contraire, selon que le nombre des axes intermédiaires sera impair ou pair. Pour établir une distinction entre ces deux cas, nous affecterons e du signe -h dans la première, et du signe — dans le second, ce qui revient à poser
On représente généralement un équipage d'engrenages de la manière suivante, en plaçant sur la même ligne horizontale les nombres des dents des organes qui engrènent ensemble, et sur la même verticale ceux qui correspondent à un axe commun
Exemple :
Une horloge à seconde peut être représentée par le diagramme suivant :
Roue d'échappement. . . 3o — 6 Aiguille des secondes,
Roue moyenne 45 — 6
Roue motrice 48 — 25 — 6
25 Aiguille des minutes, 72 » des heures,
le naouvement étant communiqué de la roue motrice à la
64 QUATRifen PARTIS. — CHAPITRE III.
roue d'échappement par deux pignons de 6 dents et deu
roues^ dont Tune a ^5 et l'autre 4^ dents. L'aiguille des se
condes est adaptée à la roue d'échappement , qui est réglé*
en raison d'un tour par minute, et Ton voit, d'après le tableai
précédent, que la roue motrice fera un tour par heure; car oi
a pour la raison
Si l'on voulait employer des pignons de 8 ou de i4 dent! ou ailes au lieu de pignons de six ailes, qui sont assez défectueux, on remplacerait la partie du diagramme ci-dessus, relative à ces organes, par le suivant
3o — 8 ou 3o — 12
64 io5
Il résulte de ce qui précède que l'on obtiendra facilement la raison d'un train donné; mais le problème inverse, consis* tant à déterminer un équipage, correspondant à une raison donnée, exige quelques développements, dans lesquels nous allons entrer après avoir traité le cas particulier suivant.
19. Problème de Young. — Cette question, qui a plutôt un caractère de curiosité que d'utilité, a pour objet de déterminer les éléments de l'équipage qui, pour une raison donnée e, correspond à un minimum du total des dents lorsque les pignons sont tous identiques entre eux ainsi que les roues.
Si l'on pose
d'où, en prenant les logarithmes hyperboliques,
Ce qu'il faut rendre minimum, c'est l'expression
it(«H-N)=Nl.«î^,
: TBÀNSFORMATION BU MOUTSMCNT GIRGULÀlEB CONTINU, ETC. 65
dont la dérivée, égalée a zéro, donne l'équation
d*oiiy par approximation ,
Si Ton prend ^=3,60, celte valeur s'exprime par le rapport de 18 à 5 ou de 36 à 10, nombres qui sont très-convena^ bles comme modules d'une roue et d'un pignon. On trouve, en faisant varier A*,
Pour  == 1 2 3 4 5
Si donc le rapport proposé est une de ces valeurs, on pourra employer l'équipage de Young, composé d'un nombre de pignons de 36 dents et de pignons de 10 dents déterminé par la valeur correspondante de A*.
20. Méthode générale pour fixer les éléments d'un train dont la raison est donnée. — Pour établir un système de rouages, on voit qu'il est indispensable de mettre e sous la forme du quotient de deux produits de même nombre de facteurs que l'on puisse grouper deux à deux, du numérateur au dénominateur, de manière que le rapport de ce couple ne descende jamais au-dessous de v.
Pour faire cette décomposition d'une manière simple et suffisamment approximative, lorsque les deux termes de la raison sont très-grands, on réduit e en fraction continue et Ton cherche parmi les réduites successives celle qui convient le mieux au but que l'on se propose.
On sait que deux réduites consécutives. sont l'une plus grande, l'autre plus petite que la fraction génératrice, que leur différence est égale à l'unité divisée par le produit de leurs dénominateurs, et enfin qu'une réduite jouit de la propriété d'exprimer une approximation par le quotient des plus petits nombres entiers; mais il est moins important d'avoir de petits nombres pour les deux termes de la fraction qui représente approximativement e que d'obtenir des nombres décompo- III. 5
66 OUATRifiMB PARTIB. — CHAPITRE III.
sables en facteurs. Aussi, lorsqu'on ne trouve pas parmi les réduites une fraction satisfaisante, il faut avoir recours à des fractions moins simples, parmi lesquelles on en trouvera souvent de plus avantageuses pour Tobjet que l'on se propose.
Soit, à cet effet, - une fraction, dont les termes sont indé-
terminés, supposée très-peu différente d'une autre fraction -r dont — est Tavanl-dernière réduite; on a
et, en posant
ajr — bx = A\
k devra être très-petit par rapport à 6 j, par l'hypothèse que
la différence 7- = -, — doit être très-petite. Cette dernière
0 y OT
équation, en vertu de la formule précédente, aura pour solution en nombres entiers
y = kq, a:=zA'p',
par conséquent sa solution la plus générale en nombres entiers sera
(5) jr= Aq ~+-Maj a: = A/? H- Ma,
M étant un entier quelconque positif ou négatif.
On donnera à M et à A* des valeurs croissantes positives ou négatives, et l'on s'arrêtera à celles qui fourniront pour a: elx des nombres dont la décomposition en facteurs permettra de satisfaire à la question proposée, après s'être assuré que Terreur commise est admissible.
21. applications : 1° Horloge à secondes, — On suppose que la roue d'échappement fait un tour par minute, que le nombre des axes est réduit à trois, ce qui est un minimum, et enfin que chaque pignon ne possède que six ailes, ce qui est encore un minimum. On a
— J- — CiJj. — ^'^ -^ 6.6 ^ ~ 60 "" RR, "" 2Ï6Ô " 4M8'
TRJLNSFOEMATION DU KOUYSMENT GIRGULAIRS CONTINU^ BTC. 67
et Ton retombe sur la combinaison indiquée au n® 18, et qui est la plus avantageuse parmi toutes celles qu'on peut déduire de la décomposition en facteurs de la raison, à cause de la presque égalité des nombres des dents des deux roues.
On trouvera de la même manière la combinaison relative à l'emploi des pignons de huit ailes.
2° Horloge lunaire. — L'une des aiguilles marque les heures sur un cadran» et l'autre fait une révolution dans la durée 29112^44'" d'une lunaison : on a
42624 io63i
Mais io63i étant un nombre premier, nous prendrons la valeur approximative
fi =
correspondant à un train facilement réalisable, et qui ne donne lieu qu'à une erreur d'une minute par lunaison.
3** Horloge de huit jours. — Pour que la longueur de la corde du poids moteur ne devienne pas un inconvénient, il ne faut pas qu'elle fasse plus de seize tours, et il est nécessaire, par suite, que chaque tour corresponde à douze heures; toute paire de roues ayant pour raison yj suffît pour atteindre ce but, et l'on prend généralement 8 et 96 pour les deux termes du rapport, ce qui donne pour diagramme :
96 12 heures
8 — io5 I heure
12 — 3o 1 minute
4** Horloge d'un mois. — En admettant toujours seize tours de corde, chaque tour devra suffire pour quarante-huit heures; la raison -^ serait trop petite pour une seule paire de roues, mais elle peut être obtenue avec deux.
En employant, par exemple, des pignons de douze et de
68 QUàTRIÈHB PàBTIB. — chapitre III.
seize ailes, on obtient le diagramme suivant :
96 48 heures
16 — 96 I heure
12 — io5
12 — 3 I minute
5** Horloge sidérale. — Pour obtenir une horloge qui donne à la fois le temps sidéral et le temps moyen, on peut placer derrière l'aiguille des heures un cadran mobile plus petit que le cadran ordinaire et concentrique avec lui; l'aiguille^ faisant une révolution en vingt-quatre heures solaires, marquera le temps moyen et indiquera en même temps l'heure sidérale sur le cadran mobile. Si on lui donne un mouvement rétrograde de 3"' 55% 555 = 236% 555 par jour moyen, le rapport de la vitesse de l'aiguille à celle du cadran est
La fraction -j-ii — ? réduite en fraction continue, donne
pour réduites successives
6 67 140 487 627 1 ' 19' 23 ' 80 ' io3
et Ton peut prendre avec une grande approximation la réduite
> " ■il - ■ I ■^ •
io3 io3.8
On peut employer une autre disposition, dans laquelle une seconde aiguille accomplira une révolution dans un jour sidéral, en remarquant]que vingt-quatre heures de temps sidérai équivalent à 24** 56" 4* X 0,906 = 86164* de temps moyen. La raison relative à l'aiguille du temps sidéral et à celle du temps moyen est par suite
TRANSFORMATION BO MOUVSMBNT CIRCULAIRR GONTINDy ETC. 6g
ei en opérant comme on Ta indiqué plus haut sur cette fraction, qui est irréductible» on arrive à l'expression
365iX-4- ai54iM 366iA- + 21600M
ce qui donne» dans l'hypothèse de Ar = — 4» M -- 7,
rapport qui ne conduit qu'à une erreur annuelle de 2t%5.
