hA'T
En égalant ces deux valeurs» il vient
ou, en négligeant les carrés des allongements relatifs, qui sont toujours de petites fractions,
Pour achever la solution du problème, il conviendra do remplacer approximativement, dans les équations (i) et (2), le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, et alors on n'aura plus qu'à résoudre trois équations du premier degré entre les inconnues To, Ti, P.
Soient/le coefGcient de frottement de la courroie sur les poulies; 9, 9' les angles au centre correspondant aux arcs embrassés par la courroie sur les poulies 0, 0'; en négligeant l'élasticité et Tinertie delà courroie (100 et 101), il faut, pour qu'il n'y ait pas glissement, que les valeurs obtenues pour T». Ti satisfassent aux conditions
Considérons en particulier le cas simple où les deux cordons sont sensiblement parallèles et où les efforts F, Q, étant per* pendiculaires à la droite 00', sont respectivement tangents aux deux poulies 0 et 0'. On a
"k = o, a = R, a' — R', 7 := o, S — o^ el les équations (i) et (2) se réduisent aux suivantes :
atî6> (^AOMiiftiiis BAwrii*— asMin»* nu
d'où, en ayant égard à la relation (3»)^
Si Ton néglige le frottement; ona P— Q, er, k la» seconde puissance près de/,
(6) P-Q-^/.(|-t-0v/(Fi^'.
f031 ©II' gtmement paptî^V dèsr conrroier sm" Ibsponiies. — Comme Ta fait remarquer M. Kretz, pour que' Ik fisnstan passe de To à T| sur les portions de la. courroie qui embrassent les poulies, il faut nécessairement que la courroie glisse sur chaque poulie' aérant d!àtreaiirattiiée dansFsmi mouTemem..
Soient: a OAov M^Qfaf deuso a^le9^égau»àila),^iKateur'(pr de ? donnée pa» TéiiasAton:
(7)' ?l,= yir lofiTç^-r
la courroie glissera de Av exi a sur la paulie 0 et dé a' eaA'o sur l'autre poulie,» et, en vertu de Téquation (5) du n° 101, nous aurons, en considérant les vitesses y*,.Vi en. A« eta ou eaAVr^»
M. Kretz ('), en discutant cette formule, a attribué comme valeur moyenne du second membre de celte équation 0,978 pouv les courroies^ ayam secvi' et 0^7$ pous les courroies neuves, de sortis, cpse, pour loe u>urs> As^la pantin moiriee, l'aatre nie Cait qw&gS teurar envâ^eon, soit un Batentlsvement relatif de a pour 100.
De Ao en a ou de A'o en a! la tension T suit la loi
(9) T = To^-^ d'où
(*) Annales des 3§mes, iS6a ; 1. 1, p. 76. — Recueil, des Mémoires des Savants étrangers de V Académie des Seietvces, t.. XXII.
CALCUL DBS EÉRBIIfelim IQL8SIY»Blàn BK MtteOBnrBS, ETC. 267
de sorte que: iaiIcngueBr'iiBUirrilk'. d« A^ or est
„\ B /T» df. R. /T'. or: &,,>., t., 1 h- ^t,
Laloagueur n8iaB8lie:defÂ,a'.eâl.'.de mâm»!
La sommeid^sIbtigttiEiursnBt'uiieites'dbs'portfons'dela' ctmrroie soumises raspecUVemBnVacix tensibn^'T^, Ti est^ enappelam J 1^ distance des axe», etten ayant égard àla refôticm (7)»
ij .^ — .:.... ■■■■■ ■■ ■■
(0 <. {1-+-/TJ.COSX
^-fr R (tt -+• a).) C08X-+- R'(7r — a^) cos^H- a(R'— R)sin>
(i -t- A-TJ cosA
En expriaitrnt que* là^ somme: des longueurs naturelles (a), [b], (e) est égafleà' la* longueur* nmurellé) ctxnr^pohdant) à> la tension» &, on u^ouvs
• 1 </-t-R(7r-f-aX)co8XH-R^(7r— a^)co8>H-(R^— R)sin>cos>
2^'h- R'(7r -f- aX)'co8)i -t- R''(7r — aX]' co80i-4- (R'^— TT) gin a )l cosà
Telle est la véni table relatiotu (j^i existe entre les tensions. T«» T„ qui devrait être substituée à la formule approchée (3^), à>
268 QUATftiftMB PÀRTIB. — GBAPITKB IV*
laquelle elle se réduU quand la distance des axes éf est trèsgrande par rapport aux rayons R, R'. Mais nous devons faire remarquer que cette dernière formule est bien suffisante au point de vue des applications (*).
10%. Transmission par câbles. — On substitue des câbles en fil de fer aux courroies lorsque l'on veut transmettre des efforts considérables à de grandes distances, sans éprouver de pertes notables de travail.
Le câble, dont la tension est produite par son propre poids, ou est uniquement en fil de fer, ou est composé de torons en fil de fer avec âme en chanvre disposés autour d'une âîne également en chanvre.
On a reconnu en pratique que la distance des axes de deux poulies consécutives ne doit pas être inférieure à 5o mètres; elle dépasse souvent i5o mètres. Le diamètre des poulies varie entre 2 et 5 mètres. La vitesse à leur circonférence atteint généralement 3o mètres et même 32 mètres.
Toutes les poulies d'une même transmission ont lé même diamètre.
Si trois axes de rotation consécutifs doivent être parallèles, la jante de la poulie intermédiaire présente une double gorge destinée à recevoir les deux câbles.
Si l'axe de la troisième poulie ne doit pas être parallèle aux deux autres» le mouvement est communiqué, au moyen d*un engrenage d'angle^par la seconde poulie à une troisième poulie montée sur le même bâti qu'elle, dont l'axe est parallèle au troisième axe de rotation correspondant à une quatrième poulie.
En employant plusieurs engrenages d'angle, on peut dévier
(') La largeur d'une courroie se détermine ordinairement par la formule empirique
dans laquelle /représente la largeur de la courroie en mètres, F la puissance à transmettre exprimée en chevaux, V la vitesse de la courroie estimée en mètres, /A un coefficient égal à 0,1 5 pour les arbres de couche et o,ao pour les arbres verticaux.
CALCUL DEB K&SIBTllfCBS PA98ITI8 DANS LKB RICHIHBB, ETC. 369
delà même manière la force molrice transmise à une poulie en auuni de parties égales ou inégaies. Le plus souvent les axes des deux poulies consécutives sont
Fig. iji. Fin. lia.
I compris dans un même plan horizontal ; lorsqu'il n'en est pas linsi, la transmission est oblique. M. Rîtter, ingénieur des tra-
vaux de la Sarine à Fribourg, a le premier employé» dans ceruines circonstances, des câbles verticaux.
Oo aoiifttiieoit jle-iciyUjetmrjdies grieis powtéivftiiar q«iiUl vienne toucher le sol lorsqu'ileat^céà ii«ieibiii»l6jirimaiiffisaDte.
i^^fig' i4i et i^ jrepRésdnleot !Pem>e0tiiwiai0Rt «les prpfils des jantes d'une poulie à simple et d'une poulie à double gorge. Lé type général des bâtis est représenté par la^g^. i43.
Il existe, notamment à Bellegarde, à Frlbourg (Suisse) et à SchaffiDdyise, de très-belles installations â$ transmission par câbles*
Considérons le «système f&>rmé par un cJBJle «t ^jdenK poulies consécttl^ras dont le^mptivement est unifoMU^ittoits négligerons leïMMneiitjAMrtes coussinets et rélimtà<$irt.ë du câble.
Nous j«)u^m]is sBwppfiser que le câble est léttuit à son axe et que les ]k$mli^<8fkat remplacées par les cÉROPOférences de centres C, Ci.
Fig. i4/|.
Par suite de la perasmnence du mouvom^Rt^ila vitesse est la même enrc(baç{.uej;tfttm du câble, de sorte ^qme li';tofluence de rinertie se néAuiît^àtcelIfe de la force CQfttdUitje*
Soient
OXf 07-d6ttxtrxes'reçtallgulai^esresp^ofî<vell^m4lorizgntaI et
verticfid ; T la tension de l'un ou de l'autre des brins de câble au point
i^f y) où l'inclinaison de la tangente sur 0^ est a ; 5'la longueur >de l'arc du brrn aboutissant :au même point et
mesuré à partir d'une origine déterminée;
GALGLL DES AfiSffiEJIKGSS PÀSSlT1S8'DAN«nillS MUOIINESy ETC. !8.7I
p leTayon decoutbiiredu cftble au "point (^> ^); V la vitesse et j9le)poidB'da'inéaFe^C0orantxlu câlsile.
Beportons-nous au n®86 fle la deuxième Partie: en considérant un élément du brin et projetant les forces qui le sollicitent sur la tangente et la normale, on trouve
as "^ ' p p "^
Si Ton pose
py
ces équations prennent'la forme
, . fh , (h
et ne sont autre chose que celles d'une chaînetle dont le paramètre est indépendant de la vitesse Y, comme les t^onditions qui servent à détesmimar les ooastsaUesiinftiTDdttites par l'rntégration.
On .déduit de là
(4) i =/« (tanga -H«),
m ei a étant deux constantes; puis, en se rappelant que dx == ds cos ce, dy rrr d$^\t\ a.
(5) log
I— tang -
•^ COSa
6 et c étant deux autres constantes.
Les huit constantes m» a, b, c%. , ., relatives aux deux brins, se détermineront par les conditions que ces brins sont tangents aux circonférences C, Ct, que la somme de leurs longueurs ajoutées à celles des arcs embrassés par les poulies
?.72 QUATBlftVB PARTIK. — CHAPITRE IT.
est une donnée de la question, et enfin que les forces qui sollicitent la poulie menée s'y Tont équilibre.
Mais ce calcul ne peut s'effectuer complètement que dans le cas le plus usuel où les axes des poulies sont compris dans un même plan horizontal et où l'inclinaison maximum de chaque brin ne dépasse pas une certaine limite.
Supposons que C soit la poulie menée, que le brin inférieur soit conduit et soient
R le rayon des poulies;
Q l'effort résistant censé tangent à la poulie C;
P la puissance supposée tangente à la poulie Ci, et qui, en raison des éléments que nous négligeons, est égale à Q;
d la distance CCi des axes;
A le point le plus bas du brin inférieur;
e l'angle que forme la verticale avec le rayon mené au premier point de contact de ce brin avec la poulie C ou C, ;
oX la longueur totale du câble.
Nous ferons passer l'axe Oy par le point A, c'est-à-dire à égale distance des centres C et Ci.
Si nous prenons A pour origine des arcs, a sera nul ei, comme b l'est aussi, les équations (4) et (5) se réduisent aux suivantes :
= m tangx,
log —
r- tang -
-tang-
Pour a--
on
doit
avoir
d-\- RsinÉ
d'où
i-hlang- . .
i-tang-
Or s est généralement inférieure 3o degrés, et pour e = 4^"
on a déjà très-approximativement
1 4- tang -
log j - 2 tangi ^1-4- i tang'M
i-tang-
lang- = - (iH- ~ )•' °2 2 \ 12/
D'autre part, -r est une petite fraction qui atteint rarement y.; de sorte que l'on a très-sensiblenient
(7) /W6(i-h^s*) =d-hRs.
. L'autre brin donne de mêmey en accentuant les lettres,
(8) ;7l'£'(l-+.-Jg") = rf-R6'.
Nous avons maintenant
/n tangs -h m' lange 'h- R (tt -+- e' — e) = \ ou
(9) /we M-H j j -f- m's' M-f- y j -»-R (tt -t- e' — g) = l.
Nous avons maintenant, pour la condition d'équilibre relative à la poulie C,
cose' cose
on
(10) n,'(^,^Çj-.n^{^-^'^^==^.
£n éliminant m et m' dans les équations (9) et (10 )y au moyen des re1ations(7) et (8), on obtient les suivantes :
(12) g(,.^is-)-e'(i+ig^)=^^se'.
Lorsque le câble est au repos ou que Q est nul, e et e' ont m. 18
la même valeur Eo» qui est donnée par
et Ton peut mettre (ii) sous la forme
