II
£'-i-e"=2eJ.
En posant
pd
l'équation (12) devient
et peut, comme première approximation, se réduire à la suivante :
(12") gg'=y(e sO.
Les équations (11') et (12") donnent .
d'où l'on déduira e et e'. En se reportant ensuite à l'équation (12'), on obtiendra facilement une seconde approximation de ces valeurs, en ne négligeant plus que les termes du second ordre devant l'unité.
L'équation (8) donnant
la tension maximum du câble est i5) T', = ^V'-+-/?^ , , — - = P—-^P -y — -'
Soient (7 h somme des sections des fils qui composent le câble ;
r Teffort maximum que Ton veut faire supporter aux fils par
unité superOcielle de la section ; n le poids spécifique de la matière.
Nous aurons (16) p = n
et
OU
En substituant la valeur de e' dans cette formule, nous aurons une équation qui fera connaître q et par suite p et o*. Mais cette solution est presque impraticable. Il sera préférable de dresser des Tables faisant connaître les valeurs de e, e', par suite celles de F, correspondant à une suite de valeurs données de Eo» q et Y.
Supposons maintenant que l'on place l'origine des coordonnées sur la droite CCi; les ordonnées des brins supérieur et inférieur seront respectivement données par
r= Rcose'-+- /7î'( Al
\cosa coss y
r ~ — R cose -i- m ( | j
•^ \COSa coss/
et leurs flèches seront
Après avoir traité la question au point de vue où nous nous sommes placé, il sera facile de déterminer les corrections qu'on devra faire subir aux résultats obtenus pour tenir compte du frottement.
276 QUATBIÈME PARTIE. — GflAPITRB lY.
§ II. — Frottement de roulement.
105. Nous avons vu que la résistance au mouvement éprouvée par un corps (S), qui roule sur un autre corps (S'), est due à ce que la réaction du second corps sur le premier passe à une petite distance en avant du point de contact géométrique des deuK surfaces, mesurée sur le lieu géométrique des positions successives de ce point sur la surface de (S' ).
Cette distance, que nous continuerons à désigner par o, pour un cylindre de rayon R roulant sur un plan, serait, suivant Coulomb et M. Morin, indépendante deRet paraîtrait aller en diminuant quand la longueur du cylindre augmente. Parmi les résultats obtenus par M. Morin, nous citerons les suivants :
Chêne sur peuplier (longueur du rouleau o",ioo).. ^ = 0,000876
Fer sur planches de chône brutes 0,010200
Roue à jante en fer sur chaussée en empierrement
à l'état ordinaire o ,04 i4oo
Roue à jante en fer sur chaussée en empierrement
en parfait état o,oi5ooo
Roue à jante en fer sur chaussée en pavé bien entretenu au pas o,oï85oo
Roue à jante en fer sur chaussée en pavé bien entretenu au trot o , o238oo
Roue en fonte sur fer non graissé o,oo35oo
)> sur fer avec graissage continu ^ 0,001100
D'après Dupuit, à serait de la forme ô= /ry^, k étant un coefficient qui dépend uniquement de la nature des corps en contact, et Ton aurait :
Pour le bois roulant sur le fer A* = o ,001 1
Pour le fer roulant sur le bois humide 0,0010
Pour le fer roulant sur le fer 0,0070
Pour les roues sur les chaussées en empierrement. . o,o3oo
Mais les formules que nous allons établir sont indépendantes de toute hypothèse sur la dépendance qui peut exister entre à, le rayon et la longueur du cylindre.
CALCUL DBS RÉSlSTAnCBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 277
106. Usage des roulettes pour diminuer la résistance des pièces frottantes, — Supposons qu'une pièce pesante MM' {fig. i45) repose par une face plane sur deux roulettes iden*
Fig. 145.
tiques dont les axes sont parallèles et compris dans un même plan horizontal ; proposons-nous de déterminer Teffort horizontaly de direction perpendiculaire à celle des axes, passant parle centre de gravité de MM', qui ferait équilibre aux résistances passives.
Soient
R le rayon des roulettes; p celui de leurs tourillons;
/ le coefficient du frottement des tourillons sur leurs coussinets; q le poids de chaque roulette.
On peut supposer la charge totale et Teffort tolal respectivement décomposés chacun en deux autres de même direction, se rapportant l'une à la roulette 0 et l'autre à la roulette 0'.
Désignons par F l'effort moteur et Q la charge verticale, qui sont relatifs à la roulette 0.
Comme il y a roulement relatif de la roulette 0 sur MM > la résultante de F et Q doit passer à la distance A A, =:d du point de contact géométrique A, mesurée de la droite vers la gauche; la pression totale de MM' sur l'axe 0 a donc pour composantes horizontale et verticale P et Q, dont la résultante avec le poids q détermine, sur les coussinets, un frottement ayant
pour moment -''— — V^F -f- {Q-^qy = o.
L'équation des moments est par suite
FR Q5 4Ç== v/F + (Q - y )' = o.
278 QUÀTRllSHE PARTIE. — GRAPiTRE IV.
D'après cette équation, F est du même ordre de grandeur que les rapports très-petits^?/^) de sorte qu'on peut, sans erreur appréciable, négliger F sous le radical; on a ainsi, pour la valeur de l'effort cherché,
Cette formule, étant linéaire en P et Q, s'appliquera à l'en* semble des deux roulettes, en appelant F l'effort total, Q la charge totale et q le poids total des deux roulettes. Il suffit de jeter un coup d'oeil sur les Tables du n**87 pour se convaincre que F est bien inférieur à l'effort qu'il faudrait exercer pour vaincre le frottement de glissement de MM' sur un sol formé de la même matière que les roulettes dont l'emploi présente ainsi un avantage incontestable.
107. Emploi des rouleaux pour transporter des matériaux solides sur un sol horizontal. — Supposons qu'une pièce solide pesante M' M {Jig. 146) soit supportée suivant une face plane
par deux rouleaux 00' de même diamètre à axes parallèles et reposant sur un sol horizontal NN', et proposons-nous de déterminer l'effort horizontal, perpendiculaire à la direction des axes, passant par le centre de gravité de MM', nécessaire pour faire rouler, d'un mouvement uniforme des rouleaux sur NN' et MM'. .
Comme dans le problème précédent, on est ramené à considérer l'un des rouleaux 0.
Soient
A', A les points de contact géométriques de ce rouleau avec MM', NN';
A',, k^ les points par où passent les réactions sur le rouleau de MM', NN', le premier situé à gauche de A et l'autre à droite de A ;
i'=: A'A',, 0 = AA| les coefficients de frottement de roulement du rouleau sur MM', NN';
/', / les coefficients du frottement de glissement correspondants;
R le rayon du rouleau;
q son poids;
Q la position du poids de MM' agissant sur le rouleau ;
F l'effort horizontal nécessaire pour vaincre le frottement.
Les composantes horizoïitale et verticale de la réaction de MM' sur O sont respectivement égales à Q et F; la réaction en A, devant faire équilibre à la précédente et au poids q a pour composantes horizontale et verticale deux forces —F et — (Q H- ç) de sens contraire à F et Q.
En prenant les moments par rapport au point A, par exemple^ des forces qui agissent sur le cylindre, on a
d'où
''' ^- —Tr
Celte formule s'applique également au système tout entier, en appelant Q la charge totale, q le poids des deux rouleaux et F l'effort de traction total.
Pour qu'il n'y ait pas glissement, il faut que les réactions horizontales F en A et A' soient inférieures aux frottements de glissement Q/', (Q -f-^)/, ou que Q soit supérieur à la plus
qd ( à
grande des valeurs w — ^, et
108. Plaques tournantes des chemins de fer. — Une plaque tournante [Jig. 147) est soutenue vers sa circonférence extérieure par des galets identiques également éloignés de l'axe de
aiJo QUATBttMB PAKIir. — GDIPITKB iv'.
la plaque; les galets, qui ont U Torme de cônes tronqués dont les sommets se trouvent sur cet ase, sont adaptés à uoe mon> ture indépendante de la plaque et formée de tiges de fer qui rayonnent autour d'un collier enveloppant la crapaudîne. Ces
Kg. i<J.
galets reposent sur un chemin de fer circulaire flxe, et la forme tronconique qui leur est donnée a pour objet de leur permettre de rouler sur le chemin de fer et sur la face inférieure de la plaque suivant toute la longueur de la génératrice de contact.
Soient R le rayon moyen ; q le poids d'un galet; Q la portion de la charge qu'il supporte; a la dislance à l'axe de la plaque du plan parallèle aux hases
du tronc de cône et équldislant de ces bases; F l'effort horizontal compris dans ce plan qui doit faire équilibre aux résistances éprouvées par le galet; d', è les coefficients de frottement de roulement du galet sur la plaque et le chemin de fer.
L'équation (i) du numéro précédent s'applique dans le cas actuel, attendu que les réactions de la plaque et du chemin de fer forment deux couples qui ne donnent aucune pression et par suite aucun frottement sur l'axe du galet, et l'on a, pour le moment de F par rapport à l'axe de la plaque,
Frt
0(£-,rH^
Celte formule donne également le moment total qu'il faut produire pour faire mouvoir la plaque, abstraction faite de tout frottement latéral du pivot de la plaque sur son guide, en y
CALCUL BBS BÉSISTANCBS PASSITB8 DANS LBS MACHINES, ETC. 2bl
supposant que Q représente le poids de la plaque et de sa charge» q le poids total des galets.
Si le moment est celui d'un couple, il n'y a pas de frotte^ ment latéral du pivot de la plaque sur son guide; s'il est produit par une force P, elle développe un frottement sur ce
fp
=9 p étant le rayon du
guide dont le moment sera P -
tourillon, /le coefficient de frottement de glissement. En appelant b le bras de levier de P, on aura
Vb=:? —1
fp
Q{S-^S')-^qS
ce qui fera connaître la valeur de P.
109. Tourillons à roulettes, — Machine dJtwood. — On peut réduire dans une proportion notable la résistance au mouvement d'un arbre, en faisant reposer ses tourillons sur les jantes croisées de deux couples de roulettes identiques, mon* tées deux à deux et d'un couple à un autre sur un même axe parallèle à celui de l'arbre. La machine d'Atwood dont nous allons nous occuper offre un exemple de cette disposition.
Fig. i48.
Nous pourrons, par la pensée, réduire les deux couples de roulettes en un seul, dont le plan moyen coïnciderait avec
celui de la poulie, en supposant chaque roulette de ce couple sollicitée par la résultante des forces extérieures agissant sur les deux roulettes montées sur le même axe. Soient (/îg". 148)
Oi le centre de la poulie;
Ri son rayon ;
Pi celui de son tourillon;
Il son moment d'inertie par rapport à son axe;
0, 0' les centres des rouletteç sur lesquelles reposent les tourillons de la poulie;
R le rayon de chacune d'elles;
p celui de ses tourillons;
q son poids;
I son moment d'inertie par rapport à son axe;
/ le coefficient de frottement des tourillons sur les coussinets;
ay l'angle 00,0';
Q -t- Qi> Q deux poids accrochés aux extrémités de droite el de gauche du fil qui passe sur la poulie, poids qui déterminent un mouvement de rotation de cette dernière, dont nous représentons par w la vitesse angulaire ;
A, A' les points de contact géométrique des roulettes 0, 0' avec le tourillon de la poulie ;
Al, A', les points de leurs circonférences où passent leurs réactions sur le tourillon ;
d = AA,= A'A'^ le coefficient du frottement de roulement;
N, T les composantes normale ettangentielle de la réaction de la roulette 0 sur le tourillon de Oi ;
N', T' les composantes semblables relatives à la roulette 0'.
Nous négligerons dans ce qui suit les termes du second ordre en â et/.
L'équation des moments par rapport à l'axe de la poulie considérée comme libre est, en remarquant que la vitesse de Q-4-Q, et Q est wR»,
£o posant
elle prend la forme plus simple
(I) aJ = Q.R,-(N-^N')^-(T-T')... '
La résultante Si des forces extérieures qui agissent sur les poulies est verticale et a pour valeur
ou
et comme elle doit faire équilibre à N, N/, N', N'/, on a
. JR=(N^N')C0S7^(T-T')sin7,
' ' I o=::(N~N')sin7--(T-+-T')co87.
En négligeant le frottement, par suite T et T', on a
et l'équation (i) se réduit approximativement à la suivante :
' dt ^^ ^ COS7 ^ ' • '
La pression sur l'axe 0 ou la résultante du poids q et de la force égale et contraire à la force N, dont la valeur est donnée par l'équation (4)> a pour expression
ou, en se rappelant le théorème de Poncelet,
\- q\ -t-o,4o— tang7 = (o,48-f- o,2otang7) ^ -f-o,96(/.
a84 QUÀTRifcHB PABTIB. — CHAPITRE IV.
On a, par suite, pour Téquation des moments relative à la roulette considérée, en remarquant que sa vitesse angulaire
est w ^ j
Comme on obtient une équation complètement identique à la précédente pour la roulette 0', on a T = T', et Téquation (i') devient» par Télimination de ces composantes,
(«) (a-.I^)J=Q.R.-AAP,-..9.-^-^^
en posant, pour abréger,
^^^ ^" ïûôTv'^ï (0,96 -^- 0,40 tangv).
Si maintenant on remplace, dans l'équation (6), ^ par sa valeur (2), on trouve
On voit ainsi que les termes qui dépendent du frottement de
glissement sont multipliés par la petite fraction •^*, de sorte
que, en résumé, en considérant que le frottement de roulement donne des termes très-petits, les résistances au mouvement de la poulie sont beaucoup plus faibles que si elle reposait directement par des tourillons sur des coussinets.
110. Engrenage sans glissement de Hoocke ou de WhyU, — Considérons deux cylindres circulaires extérieurs, en contact suivant une génératrice, tournant autour de leurs axes, de manière que par leur adhérence le mouvement de rotation de Tun détermine celui de l'autre. Comme nous l'avons vu, on est ramené à supposer que l'un des cylindres rouie sur l'autre regardé comme fixe.
CALCUL DES RfiSISTANCES PASSIVIS DINS LIS MÂCEINES, ETC. 3JJ5
Si sur ces cylindres on a tracé deux Iiélîces de même sens et également inclinées sur les génératrices, et si à un instant quelconque elles ont un point commun, elles seront ungentes I en ce point et rouleront l'une sur l'autre.
i Fig. .ia.
Concevons maintenant qu'un proQI se déplace sur chaque cylindre, de telle manière que son plan reste normal au cylindre, que l'un de ses points décrive l'hélice et que la tangente au proHI en ce point soit normale au cylindre. Nous obtiendrons deux surfaces que l'on peut matérialiser et qui, pourvu qu'elles ne se pénètrent pas (et nous supposerons que les profils remplissent les conditions voulues pour qu'il
' en soit ainsi), rouleront ainsi l'une sur l'autre suivant les hélices directrices.
I Si nous répétons ici, en substituant les hélices aux génératrices rectilignes, ce que nous avons dit pour les engrenages cylindriques, nous constituerons un engrenage k dents hélicoïdales symétriques [Jig. i49)i ^n nous arrangeant de manière, ce qu'il est facile de réaliser, que le contact commence au plus tard entre un couple de dents lorsqu'il est sur le
i point de cesser pour le couple précédent.
I La réaction d'une dent sur l'autre passera en un point de
I l'héiice situé à une petite disunce $ du point de contact géométrique et sera comprise dans le plan tangent au cylindre,
I qu'elle ait ou non une composante suivant U tangente à l'bé-
quàtrièue Partie. — chapitre iv.
lice. On voit ainsi que le moment de cette réaction par rapport à l'axe de l'autre cylindre sera le même que si d était nul, de sorte que l'engrenage est sans frottement, dénomination qu'on lui donne souvent d'ailleurs.
On pourrait établir de la même manière un engrenage conique sans frottement en prenant pour directrices des dents des lignes géodésiques des cônes primitifs.
111. Du tirage des voitures. — Nous supposerons d'abord que le sol est horizontal, et, en employant un raisonnement semblable à celui dont on a fait usage aux n""* 106 et 107, on est ramené à considérer une seule roue.
Soient (^g. i5o)
Fig. i5o.
A Al
F l'effort de traction horizontal qu'il faut exercer pour arriver
au mouvement uniforme ; Q la charge ; q le poids de la roue ; R son rayon ; p celui du moyeu ;
/ le coefficient du glissement du moyeu sur la fusée; d le coefficient de roulement de la roue sur le sol.
La force qui agit sur le moyeu étant la résultante de F et de Q, on a, pour le momei^t du frottement correspondant pris par rapport à l'axe de la roue»
La réaction du sol passant au point Ai situé à la distance 6
et en avant du point en contact géométrique A, faisant équilibre à F et Q et au poids q^ a pour composantes horizontale et verticale — F, — (Q -+- g ) de sens opposé aux précédentes; on a donc pour l'équation des moments
vi-*-r
Mais comme, d'après cette formule, F sera toujours petit par rapport à Q, on peut négliger son carré devant Q^ et écrire simplement
Cette formule étant linéaire s'applique à un couple de deux roues montées sur un même essieu; il suffit, en effet, de fractionner en deux parties la charge et l'effort, d'écrire pour chaque roue l'équation (i) et d'ajouter les deux équations obtenues. Ainsi donc cette équation donne l'effort de traction pour un couple de roues dont le poids total est q et qui supporte la charge Q.
Considérons le cas d'une voiture à quatre roues; supposons que l'équation (i) s'applique à l'un des couples de roues, et qu'en accentuant les lettres on obtienne l'équation semblable pour l'autre couple ; nous aurons
d'où, pour l'effort total de traction,
On déterminera Q et Q' en décomposant la charge totale en deux forces parallèles à sa direction comprises dans les plans verticaux passant par les axes.
Si la voiture est placée sur un sol incliné sur l'horizon de
Tangle i, l'effort F étant censé parallèle à sa direction^ la réaction tangentielle du sol sera, pour la descente,
[F-^(Q-+-ry)sin/],
la réaction normale — {Q-hq) cosi; de sorte que Ton a, en continuant à considérer le frottement sur la fusée comme étant dû à la charge Q,
[F -h ( Q -H ^) sinO R - (Q -^ y) ^cosi - 'jÙ== Q = o,
d'où
Cette formule s'applique à la montée en y changeant le signe de I.
112. Résultats de l'expérience sur le tirage des voitures • — Nous croyons devoir donner ci-après les principaux résultats de l'expérience sur le tirage des voitures.
Rapport da tirage Natare de la voie sappoaée horlxontale. à
la charge totale.
Terrain naturel, non battu et argileux sec o,25o
j> siliceux et crayeux o, i65
Terrain ferme battu et très-uni 0,040
Chaussée en sable ou cailloutis nouvellement placé., o, i25 '^ Chaussée en empierrement à l'état d'entretien ordinaire 0,080
Chaussée en empierrement parfaitement entretenue
et roulante o,o33
Chaussée pavée à la manière ordinaire l au pas o , o3o
et la voiture étant suspendue . | au grand trot. 0,070
Chaussée pavée en carreaux de grès ^ au pas o,o25
bien entretenus j au grand trot. 0,060
Chaussée en madriers de chêne non rabotés 0,022
Chemins à ornières plates en fonte de fer ou en dalles
très-dures et très-unies 0,010
Chemins de fer à ornières saillantes en bon état
d'entretien 0,007
Chemins de fer à ornières saillantes parfaitement entretenues et les essieux continuellement huilés. . o,oo5
113. Généralités sur l'adhérence des locomotives. — Pour simplifier, nous ne considérerons que le cas d'une voie horizontaie, de deux pistons horizontaux et de deux roues portantes non couplées avec les roues motrices, et nous négligerons les frottements des articulations, des tiroirs, stufûng-box, qui sont relativement faibles.
Considérons Tune des parties de la machine déterminée par son plan méridien et soient {Jig. i5i)
Fig. i5i.
P Teffort horizontal développé sur le piston, qui est transmis intégralement au bouton M de la manivelle, en négligeant l'obliquité de la bielle ;
r = OM le rayon de la manivelle;
d Tangle qu'elle fait avec le point mort extérieur ;
R = OA, R' = O'A' les rayons des roues motrice et portante;
S = AA„ à' = A' A', les coefficients de frottement de roulement pour ces deux roues;
N, N' les réactions normales du rail en A„ A', etT, T' les réactions tangentielles correspondantes ;
g, q' les-poîds des roues 0, 0' ;
F l'effort de traction ;
Q, Q' les charges que supportent les fusées 0, 0' ;
S, S' les réactions horizontales des boîtes à graisse correspondantes;
f le coefficient de glissement des fusées dans les boîtes à graisse;
p, p' les rayons des fusées 0 et 0' ;
On a d'abord, en projetant sur l'horizontale les forces qui sollicitent le système et remarquant que les actions mutuelles disparaissent,
