X-;[(.î-A)cos/-(x-A/;)sini
Posons
Si étant du même ordre de grandeur que y ou p,/i; nous aurons, en nous en tenant aux termes du premier ordre,
X [fsiai'-^pj, y/^ -i)'-^ -^r] ^^'
appelons — v la limite inférieure de Si fournie par celte inégalité et qui sera généralement négative, nous devrons avoir
L'angle i ne pourra donc être compris qu'entre i' et i' — e, de sorte qu'il doit arriver très-rarement que la culasse reste au contact de la vis de pointage.
6. La culasse se sépare de la vis de pointage, — A mesure que id écroîtra à partir de i'— e, la vitesse angulaire wa croîtra et acquerra bientôt une valeur bien supérieure à coi. Admettons que I ait atteint une valeur telle que (ùi soit complètement négligeable par rapporta elle; nous devrons supposer 6)t=odansla troisième des formules (ii), ce qui revient tout simplement à remplacer, dans les formules ( i4 )> (i5) et (i6). A» par k^— k]; nous n'avons donc rien à ajouter à ce que nous venons de dire, et la question peut être considérée comme complètement résolue.
§ VI. — Des modérateurs.
124. Les modérateurs sont des appareils qui ont pour objet ou de s'opposer à toute accélération de mouvement d'une machine ou de ralentir ce mouvement par la création de nouvelles résistances passives.
Comme moyen de rendre le mouvement uniforme, on voit facilement qu'ils se distinguent des régulateurs, que nous avons étudiés plus haut et qui règlent l'intensité de la force motrice sans dépense notable de travail.
Les modérateurs ne fonctionnant qu'au détriment du travail moteur dépensé, leur emploi doit être très-limité et l'on ne doit y avoir recours que lorsqu'on né peut faire autrement.
125. Modérateurs à ailettes, — Ce modérateur, qui est appliqué notamment aux t-ournebroches pour en régulariser le mouvement, se composed'un arbre, mis en mouvement parle mécanisme, suivant l'une des circonférences duquel on a monté normalement deux ou quatre bras identiques, situés deux à deux dans le prolongement l'un de l'autre.
A l'extrémité de chaque bras se trouve adaptée une ailette, à l'aide d'un pivot légèrement conique dont elle est munie, dont l'axe passe par son centre de gravité et que l'on introduit à frottement dur dans une cavité de même formée, pratiquée dans le bras. Le pivot est tantôt normal au bras, tantôt placé dans son axe de Ogure à son extrémité libre (fig. iSg). On peut ainsi incliner à volonté l'ailette d'un certain angle, le plan passant par l'axe de rotation et celui du pivot. Toutes les ailettes sont d'ailleurs identiques.
Considérons en particulier le cas d'un treuil mis en mouvement par un poids Q attaché à l'extrémité d'une corde enroulée sur le cylindre, et régularisé par un modérateur à ailettes monté sur le même axe.
Soient
R le rayon du treuil ; Ci) sa vitesse angulaire ;
q, I le poids et le moment d'inertie du treuil et du modéra-
leur; p le rayon des tourillons; A Taire de chaque ailette et r la distance de son pivot à Taxe
de rotation ; n le nombre des ailettes; I leur inclinaison sur les bras.
Fîg. iSg.
La composante normale de la* vitesse du centre de gravité de chaque ailette étant «rcosf, la résistance de l'air sur cette ailette pourra être représentée (118) par (a-i-6&)'r*cos*£)A, a ei b étant deux constantes; on a par suite, pour le moment total de la résistance de Tair, — nA(a-+- 6tk)V*cos'i)rcos/. En raison de la symétrie dans la distribution*' des ailettes^ la résistance de l'air forme un couple et n'exerce ainsi aucune pression sur les appuis.
Il en est de même de l'inertie du treuil et du modérateur, lorsque le mouvement n'est pas arrivé à l'uniformité comme nous le supposerons.
Le frottement sur les tourillons étant dû à Taction de q et du poids .Q augmenté de sa force d'inertie, on établit facilement réquation
— 1-= Q^^-i — ^- QR -- «Arcosi (rt-HÔwV-cos^/)
dt dt
__J^(,.0-OKÎ) = .
ou
^COS^/. w'
QR ( I 7=^-=^ ë ) "^" ^A^arcosi h- -—-— q= o^
(I -J=^ ê I -^ nAorcosi -+- -jd
équation de la même forme que celle de la chute d'un corps pesant dans un milieu résistant, et dont on déduira les mêmes conséquences; le mouvement deviendra bientôt sensiblement uniforme, et la valeur de la vitesse angulaire sera donnée par Téquation
«A^r^cos^/«' = QR I I r^ — ^ I — nAarcosi ■-•L==^p<7 = o.
126. Des freins. — Les freins sont des modérateurs qui fonctionnent par suite du développement d'un frottement de glissement comme résistance passive.
Un frein se compose le plus souvent d'une pièce de bois appelée mâchoire ou sabot qui, sur une partie de sa surface, présente en creux la forme de la jante d'une roue ou d'une poulie sur laquelle on peut la serrer plus ou moins fortement par l'intermédiaire de vis et de leviers, et d'où résulte un frottement et par suite un ralentissement [du mouvement. Dans d'autres circonstances le frein est formé d'une lame d'acier qui se termine à une extrémité par un œil s'engageant dans un cylindre fixe; cette lame est garnie intérieurement d'une bande de bois {Jig. i6o) dont la flexibilité est augmentée par des traits de scie; il suffît, au moyen d'un levier, d'exercer sur l'autre extrémité de la lame un effort de traction pour appliquer la bande de bois sur la roue.
Il ne faut pas brusquer le serrage du frein, car autrement il
3a6 quàtriësib partie. — chafitbe iv.
se produirait des chocs qui auraient pour effet, au bout d'un
certain temps, d'altérer la consiitulion de la machine.
Il convient aussi d'appliquer les freins à des poulies d'un grand diamètre ou animées d'une grande vitesse, pour qu'en exerçant une faible pression on développe de la part du frottement un travail résistant notable.
Presque toujours on ne fait agir un frein qu'après avoir supprime l'action de la force motrice; il n'y a, pour ainsi dire, d'exception à celle règle que dans la bonne conduite des voilures dans les descentes, où l'on serre les freins adaptés à un couple de roues, de telle manière que le cheval soit encore obligé, pour entretenir l'uniformilé du mouvement, d'exercer encore un léger effort de traclîon en vue de diriger le véhicule.
Supposons que le frein soit disposé de façon que la pression normale exercée par sa mâchoire sur la poulie puisse être considérée comme étant uniformément répartie sur la surface de contact.
Soient
N celte pression rapportée à l'unilé de surface; /' le coefficient de frotlemenl correspondant;
R, e le rayon et la largeur de la poulie; p le rayon des tourillons;
/ le coefficient de leur frottement sur les coussinets; 2y l'angle au centre de la mâchoire;
9 Tangle que forme un rayon quelconque avec la bissectrice de l'angle ay-
Le frottement sur rélémeni de surface correspondant à Tangle d(^ étant f'eRd(^, on a, pour le moment total dû à celte résistance.
L'effort exercé sur Taxe résulte : i** de la résultante des pressions normales élémentaires dirigée suivant la bissectrice de 2y, et qui a pour expression
N coscp d(f = 2^RN sinv ;
2* de la résultante des frottements élémentaires perpendiculaires à la précédente, et dont la valeur est
— 2eR/' / Nsintfdf ^ aé?R/'N(i -- C0S(v). t/o
Cet effort ayant ainsi pour valeur
2ReN/sin^7 -t-/'^(i — cos®)',
on a, pour le travail total développé par le frottement,
Supposons maintenant que Ton veuille établir un frein de telle manière que, pour une pression normale donnée N, une machine s'arrête au bout d'un temps également donné t, après avoir supprimé l'action de la force motrice. Il est clair que nous arriverons a fortiori à ce résultat en négligeant les résistances passives développées dans le mécanisme, qui viennent en aide au frein, ainsi que l'inertie des pièces oscillantes, s'il en entre dans la composition de la machine. IJans
ces conditions, si (ù est la vitesse angulaire de la poulie^ la force vive de la machine sera de la forme 7 A w% A étant une constante; le travail résistant utile pris en valeur absolue, produit dans le temps dt, peut se représenter par K(ùdt, et nous supposerons que K est une constante ou diffère peu d'une constante, comme cela a lieu généralement. Le principe des forces vives donne, par suite,
L vi-^f ^ J
Sî Ton intègre cette équation, après avoir supprimé le facteur (ù, et que Ton désigne par cùo la valeur de la vitesse angulaire au moment où Ton a atteint la pression N, très-voisin d'ailleurs de celui où le frein a commencé à agir, on trouve
d'où, en supposant w = o,
2ffR*N= ^ — 1
ce qui établit une relation entre les quantités e, R, y, que Ton pourra généralement faire varier dans des limites assez larges.
127. Freins des véhicules des chemins de fer, — Dans la composition d'un train de chemin de fer, on intercale de distance en distance un wagon-frein. Les quatre roues d'un wagon de cette nature sont munies chacune de deux sabots identiques symétriquement placés par rapport au diamètre normal à la voie.
Considérons d'abord un véhicule Gctif qui n'aurait qu'une roue descendant en roulant sur une voie inclinée de l'angle « sur l'horizon. Cet angle est toujours assez petit (tangi > 0,026) pour que Ton puisse regarder cosi comme égal à l'unité.
Soient {/ig. 161)
Q le poids de la charge que supporte la fusée ; q celui de la roue et de son essieu;
I le moment d'inertie de ces deux pièces par rapport à l'axe de rotation;
2e l'angle formé par les bissectrices des angles au centre des deux sabots, et dont la bissectrice est normale à la voie;
P TeiFort de traction parallèle à la voie, en y comprenant Tinertie due à l'accélération de la vitesse V du mouvement de translation du véhicule; cet effort est égal et de sens contraire à la réaction longitudinale T du rail. La vitesse
angulaire de la roue sera —•
Conservons d'ailleurs les notations du numéro précédent.
D'après ce qui précède, les efforts exercés sur la fusée par chacune des mâchoires du frein se réduisent à deux forces égales à sNR^siny, dirigées suivant les bissectrices des deux angles au centre 2 y, et à deux autres forces égales à 2NRe/*'(i — coscp), respectivement perpendiculaires aux précédentes. Les deux systèmes de forces se réduisent eux-mêmes à deux forces rectangulaires 4NRe siny cose, 4NRe/'{i — cos9)sine, dont la première est dirigée suivant la bissectrice de l'angle 2 e. La résultante des efforts exercés sur la fusée a, par suite, pour expression
/ r 0 dVV
i/(4NRffsin7Cose-t-Qcos/)^H- 4NR<?/'(i— cosçp)sin6H-P— ~ — ;
mais, comme elle ne doit entrer dans notre équation que multipliée par le coefficient -•? ou tout simplement par
le facteur /p, qui est relativement petit, on peut sans incon-
330 QUATRIÈME PARTIE. -~ CHAPITRE lY.
vénîenl négliger sous le radical le terme en f ei P j-»
° ° '^ g dt
qui est toujours une petite fraction du terme Q cosi, que Ton peut prendre égal à Q. En se rappelant que la réaction longitudinale T est égale à P et remarquant que la réaction normale du rail est Qcos 1+9, on a, pour l'équation des moments par rapport à Taxe de la roue,
I dW PR-(Q-4-7)(y~ g^-4N/'R'ff7-/p(4NResin7COse-+-Q) = o,
Revenons à la réalité : on peut concevoir Teffort total, parallèle à la voie, comme la charge totale, décomposé en quatre forces correspondant chacune à Tune des roues, que l'on peut considérer alors comme isolée. Pour chaque roue, on aura une équation analogue à la précédente; en ajoutant les quatre équations et désignant par Pi l'effort total parallèle à la voie, Qi la charge totale, qx et Ii la somme des poids et des moments d'inertie des roues et des essieux, on trouve
1 — /p(i6NR^sin7Cosg-t- Q,) -- o.
Supposons maintenant que le wagon-frein se trouve à la queue de n — 1 wagons dont il doit ralentir le mouvement, et que toutes les pièces tournantes soient identiques. Désignons par l'indice k les quantités qui se rapportent au A'**"' wagon et partant celui qui porte le frein; par F* la tension de la barre d'attelage qui relie le (A*-— i)*^' véhicule au A^''*"*; nous aurons
et l'équation (i) devient, par l'élimination de Pi,
[ -(Q, + î,)J-i6NcR'(^/'7-H/|sinvcose) = o.
L'équation relative au A-"*' véhicule s'obtiendra évidem-
ment en supposant N == o dans celle dernière ; remplaçant F, par Fk^i — F*, et l'indice i par k dans les autres quantités à Texceplion de q^ I et R, on trouve aussi
JF3-F.^(03H-,.)8ia.-/PQ,-(Ç^-^+i)5-(Q,^y.)| = o. F.-F,+ =o,
F* — Fft-i -^ = o,
Si Ton ajoute les équations ( 2 ) et ( 3 ), que Ton appelle Q' le poids total de la charge sur les essieux, q' le poids des essieux, I' la somme des moments d'inertie des pièces tournantes, on trouve
I ,6NR'ef/'7-H/j8in7C08ej-(Q'+y')| =<>•
Soient maintenant
V, la vitesse du train à partir du moment où l'on serre les
freins ; s le chemin parcouru au bout du temps t; Si la valeur de s correspondant à l'arrêt ou à V = o.
On tire de l'équation (4) i6NR^ ^/'7-+-/^ sinvcose) H- (Q'-^ y') I --{0'-t-y')8in/-^/£ 0'
6RN^(/'7-/-siii7COsey^(Q'-f-^')|- (Q'-4-y')siniH-/£Q'
332 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
Si l'on se donne 5, N, Vo, /, celle équaiion permeltra de calculer Q' ei par suile le nombre de wagons que doil desservir un wagon-frein pour pouvoir s'arrêler à une dislance déterminée sur une penie donnée , el enfin le nombre de wagons-freins que l'on doit établir dans un train se trouvant dans les conditions ci-dessus.
Soit/" le coefficient du frottement de glissement des roues sur les rails; pour que les roues du wagon-frein ne glissent pas, il faut que Pi<(Qi 4-Çi)/*, ou, en vertu de l'équation (i), que
/^(i6R^N8inycoâ8-4-0,)<(Q,-+-^.)/'.
Si Ton ajoute celle inégalité à l'équation (4) pour éliminer N, on trouve
rfV et l'on voit que — -tt» c'esl-à-dire le ralentissement, atteindra
son maximum lorsque les roues glisseront sur les rails, ou que le maximum d'effet dii frein sera produit lorsqu'il y aura glissement.
Supposons maintenant que l'on veuille calculer le nombre n de véhicules que doit desservir un wagon-frein serré à fond; pour plus de sécurité nous ferons abstraction des résistances passives autres que le frottement sur les rails, ainsi que de l'inertie des roues, et nous aurons ainsi
- ^-~^' S - (Q. + ?,)/"+ sin; (Q'+ î') = o.
Si Qi + qi représente le poids moyen d'un wagon, nous poserons
CALCUL DBS RÉSISTANCES PASSIVES DAIYS LES MAGHIMES, ETC. 333
et nous aurons
d'où
Le temps au bout duquel le train s'arrêtera est
(Ç-sin/);
et le chemin parcouru correspondant
d'où, pour le nombre des wagons que doit desservir un wagonfrein,
■ — - -h sini
334 QUATRIÈME PàKTIB. — CHAPITBB IT.
NOTE
SUR LÀ SUBSTITUTION PAR APPROXIMATION, ENTRE DES LIMITES DÉTERMINÉES DU RAPPORT DES VARIABLES, d'uNE FONCTION HOMOGÈNE DE DEUX TARIABLBS A UNE AUTRE FONCTION HOMO- GÈNE DU MÊME DEGRÉ.
Soit F (x, 7) une fonction homogène du degré m\ proposons-nous de déterminer les valeurs de deux coefficients arbitraires a, p d'une autre fonction homogène F, (x, y) du même degré, de telle manière que les erreurs relatives
se trouvent partagées, dans les meilleures conditions, entre les limites supérieure k^ et inférieure /*, du rapport -• Nous pouvons poser
F(.r, y) = arfi^^ , F, (X, y)=^U (f ) '
et nous avons par suite
Nous poserons
•^ = tangO,
OU, lorsque la valeur absolue de - ne pourra pas dépasser Tunité,
- = smô.
Dans les deux cas e prendra la forme
Nous pouvons considérer e comme étant la différence du rayon vecteur de la courbe représentée par l'équation polaire
et du rayon, égal à l'unité, de la circonférence ayant le pôle 0 pour centre.
Soient 9( et d, les valeurs de 0 correspondant aux limites k^ et k\ du
Y rapport - •
Les termes dans lesquels nous avons posé la question, nous devons l'avouer, sont assez vagues et peu susceptibles d'une définition analytique. Pour les préciser il nous faut avoir recours à une espèce de sentiment sur la manière dont les erreurs relatives doivent être le mieux partagées en vue de rendre aussi petite que possible la plus grande valeur absolue de e.
La solution suivante se présente naturellement à l'esprit :
Exprimer que les deu-x erreurs relatives pour — = X,, — = /'j sont
égales et de même signe et égales et de signe contraire au maximum ou au minimum que prend la fonction e entre G = 0^ ^/ ô = 0,.
Soient
63 la valeur de 0 comprise entre 0, et 0^ qui rend maximum ou minimum la fonction 7(0] ;
% ^21 ^3 i^s points de la circonférence de rayon égal à l'unité correspondant aux angles 0|, 0,, 0, ;
A„ Aj, A3 les points de la courbe représentée par l'équation (3), situés respectivement sur les mômes rayons que les précédents.
Nous devrons exprimer que l'on a
(5) A3/73 = — A,fl,,
et nous aurons ainsi deux relations qui nous permettront de déterminer les coefficients a et p, ainsi que la valeur absolue e^ de la plus grande erreur relative représentée par ± A, <7, .
Applications, I»
En posant
'^ = tang0,
on a
p = a sinô -h p C03Ô,
équation qui représente un cercle qui passe par Torigine 0. Pour que la condition (4) soit satisfaite, il faut que Oa^ soit (fig. 162)
Fig. 162.
la bissectrice de Tangle a^On^ = B.^—B^, angle que nous désignerons par 2e.
En appelant SI le rayon OC du cercle OA3, la condition (5) donne
I — 2 «^ cose = iSi — I ,
d'où
êi =
par suite,
e,„ = ^^-i= tang'-
Soit 0/w = p le rayon vecteur du cercle de rayon ^ correspondant à Tangle polaire /wO^ = 0; la figure donne
<f = 2^cos[0 — (0, -hê)]= [cos0cos(O,-He)-i-sinôsin(Ô,-i-6)];
cos^-
d'où, par comparaison avec la formule (6),
8m(Ô, +e) ^ cosfô, -t-e) a = — LJ :, 8= i j i
cos'-
Dans le cas où k^ est infini, on a .
et
a = i — tang'-7 p = atang-)
formules qui ont permis de former le tableau suivant (*) :
em
Si Ton sait seulement que 7 est plus grand que x, on pourra prendre
v/p-^'= 0,967 H- 0,40^, en commettant une erreur relative au plus égale à y^ (')•
(*) Poncelet, qai le premier a traité cette question, est parrenu aux formules (7) et (8'), mais non pas aux formules (8), parce qu'il est parti d'autres considérations que les nôtres.
(') Approximation linéaire de ^x*-hjr*-j-z* . Proposons-nous de substituer au
radical ^x*-+-^'*Hrz* le trinôme oLjr-^-^x-hyz dan» des conditions telles que, en considérant or, r, z comme les composantes suivant trois axes rectangulaires ^^, Oj^i Oz d'une force F, l'erreur commise soit aussi petite que possible lorsque la direction de cette force doit être comprise dans l'angle trièdre formé par trois droites données OF^, OF,, OF,. L'erreur relative
aX -^^jc-hyz — Vy* -4- J* -f- -g' __ ccjr-^'^x -j-yz
jc* -H z*
n'est autre chose que la différence entre les rayons vecteurs de deux sphères,
QUÀTKIÈME PARTIE. — CHAPITHB IV.
En continuant à poser - = tango, on trouve
asinô -h f)C086
Tune (Â), dont Téquation est
{b) x'-r-r'-Hz* — (a^-+-/3a:-f- y«)= o,
et qui passe par Torigine, et l'autre (a) ayant pour centre cette origine, et dont le rayon est l'unité.
Le moyen quiparatt le plus avantageux, pour atteindre le but proposé, consiste à exprimer que la valeur de e est négative et est la même pour les droites OFj, 0F„ 0F„ et que, prise positivement, elle est égale au maximum de l'erreur relative.
La question ainsi posée, soient G le centre du petit cercle de la sphère (a), déterminé par les droites ci-dessus désignées; Jl, /t, v les angles formés par oC avec o^, ox, oz, et qui sont des données <le la question, de même que l'angle 2 1 du cône (s) ayant o pour sommet et le cercle précité pour base.
Il est visible que le centre O de la sphère (A) doit se trouver sur oC, et que la position de la somme géométrique F, au lieu d'être limitée par l'angle trièdre, peut occuper une position quelconque dans l'intérieur de (5).
Soient {fig, i63)
Fig. i63.
ojf la trace sur xoy du plan mené par oz et o C ;
A„ a, les intersections de oG avec (A) et (a);
A^, A, les points de (A); a^, a^ les points de (a) respectivement situés sur les
CALCUL DES HÉSISTANGBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. BSg
équation d'une droite qui sera nécessairement parallèle à la corde a, ^^ qui coupera le rayon Oa^ en un certain point I.
Si l'on appelle a la distance 01 et as l'angle ô.^ — 0^, la condition (5) donne
i — a = I , d ou a= i— tang- - ?
génératrices du cône [s] comprises dans le plan zoC, et qui sont le plus petit et le plus grand angle avec ox'; êv = oO = OA, le rayon de (A).
On doit d'abord avoir
Aj a^ = A, a, = A,»,,
ce qui se traduit par l'égalité
a^ — .1 = 1 — 2tR. ces t , d'où
L'erreur relative maximum est par suite
W «^=a^— i = tang«^
a et l'on a pour .l'équation de ( A)
{j—^ C08;)«-H (a: — SI co8/*y -h(z - ^ cosv)"- = Si.^ ou
[e) X* -hy*-hz* {x cosi -i- x cos/* -H z cosv) = 0.
acos*-
De la comparaison entre les formules (a) et (e) on déduit, pour les valeurs des coefficients cherchés,
