ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES AIRES PLANES

NOTE

SUR l'évaluation approximative des aires planes.

Formule de Simpson, — Proposons-nous d'évaluer approximativement [fis- 175) Taire comprise entre un arc de courbe A, A,^^,, tracé par points ou dé&ni par une équation, une droite B^Bj^^, et les ordonnées A,Bp A„^,B„^, des extrémités de l'arc par rapport à cette droite.

Concevons que l'on divise la base B, B,,,^, en 2/2 parties égales dont nous désignerons par h la longueur commune. Soit B^ le pied de l'ordonnée j, = A,B. correspondant à l'abscisse (/ — i) ^.

Fifj. 175.

âMX

ia.*ii

Si nous considérons, par exemple, Taire mixtiligne A, B, A3B3, nous pourrons, par approximation, remplacer Tare A, A^ A3 par celui de la parabole passant par les trois points A,, A,, A3, ayant A^B^ pour diamètre; Terreur commise sera d'autant plus faible que Téquidistance h sera plus petite. Soient a^, a^ les intersections de la tangente en A^ à la parabole avec la direction des ordonnées de A,, A3; I celle de k^\ avec la corde A, A3, parallèle, comme on le sait, à a^a^. On a, d'après un théorème connu ,

aire Al A, A3 = 1 aire A, /?, a^ A3 = | A^ I x 2/*

d'ailleurs

4^/ r, -hrA h,, ,

aireB,A,A,B, = /i{j',.-i-^J,

38o QUATRIÈME PARTIE. — GUAPITRE YI.

par suite

aire B, A, A, A3 B3 = - ( j, ^ 4 j, -f- j^ ).

On a de môme

aireB3A3A,A,B,= ( j^ .+- 4 j^ -^ r J ,

aire D^,,^ Aj„, Aj,, A^,,^, ^1,1+1

d'où, pour l'aire totale,

résultat qu'il est facile de traduire en langage ordinaire. Cette méthode offre l'inconvénient de ne pas donner une limite de Terreur commise. Sous ce rapport et sous un autre que nous ferons connaître plus loin, la suivante lui paraît devoir être préférée.

II. Formule de Poncelet, — Quelle que soit la forme de la courbe qui limite l'aire, on peut toujours, par suite d'un mode convenable de décomposition de Taire, être ramené à considérer le cas où le sens de la courbure par rapport à Taxe des abscisses reste constamment le même dans toute Tétendue de Tare. Supposons, en particulier, que Tare A, A,,,^, présente sa convexité à Taxe des abscisses; conservons les notations et le mode de division de la base de l'article précédent, en prenant, pour fixer les idées, « = 6.

Menons par les points A [fig, 176), d'indice pair, les tangentes à la

Fig. 176.

courbe, limitées aux ordonnées qui précèdent et suivent celle du point considéré ; menons les cordes des portions extrêmes de Tare, et de deux en deux, à partir de A,, les droites qui joignent les autres points.