ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES AIRES PLANES

Les tangentes et les cordes détermineront respectivement une aire circonscrite et une aire inscrite entre lesquelles sera comprise Taire cherchée.

On a évidemment

aire inscrite = — — — h -t- (j\ -+- J4) h h- {jt h- jj A -h ^^'' /*,

aire circonscrite = a /* (jr, -+- j^ -^ Je)*

En prenant approximativement pour Taire cherchée la demi-somme de ces limites, on obtient

résultat qu'il est facile d'énoncer en langage ordinaire. L'erreur commise sera moindre que la demi-différence des limites ou que

H et K étant les points de rencontre des cordes A, A., A^A^ avec Tordonnée du milieu A^H^.

Cette méthode offre, en outre de Tavanlaee de donner une limite de Terreur, celui de n'exiger que le calcul de /? + 2 ordonnées, au lieu de 2/7-f- 1 comme Texige celle de Simpson.

IIL Planimètre de M, Amslcr, — Les planimètres, comme Tindiquo leur nom, sont des instruments destinés à mesurer mécaniquement des aires planes.

Le plus simple et en même temps le plus commode des planimètres imaginés jusqu'à ce jour est celui de M. Amsler, professeur de Mathématiques à Schaffausen (* ).

Cet instrument se compose de deux règles métalliques [fig, 177 et 178], représentées par leurs axes de figure OA, AB, et qui sont articulées en A ; la tige OA est munie en 0 d'une pointe que Ton fixe sur le plan (en la surmontant d'une masse pesante pour bien assurer la fixité) en un point extérieur au périmètre de Taire à mesurer et de manière que Ton puisse faire décrire ce périmètre par une pointe projetée en B. Sur le prolonge-

(^ ) Le premier planimètre susceptible d'application parait être celui de Ernst, dont on trouvera la description dans les Leçons de Mécanique pratique de M. le général Morin.

ment de AB au delà de A, se trouve une roulette C dont Taxe est parallèle à AB et dont la jante, qui doit rouler sur le plan, est graduée; l'axe de la roulette est fileté et forme vis sans fin avec une roue dentée dont

Fig. 177'

l'axe porte un plateau gradué; le déplacement du plateau fait connaître le nombre de tours effectués par la roulette dans son mouvement de roulement.

Fig. 178.

^CAauveLdel.

J.filanadetsc

Cherchons maintenant à établir la théorie de Tinstrument. Soient

r, /•', a les longueurs constantes OA, AB, AC; R le rayon vecteur OB ;