VALUATION APPROXIMATIVE DES AIRES PLANES
6), û les vitesses angulaires autour de 0, de OA et de OB, lorsque B trace
le périmètre de Taire ; &>' la vitesse angulaire de AB autour de A.
Le mouvement de AB résulte de la rotation u' et de la translation or perpendiculaire à OA ; de sorte que la vitesse U du point B est la résultante des deux vitesses w' r', wr respectivement perpendiculaires à AB et à
OA ; or les composantes de U suivant R et sa perpendiculaire étant -r- ) îiR, on a, en appelant a, a! les angles AOB, ABO,
w r sma' — ursma = -r-,
dt
oi'r^COSotf -+- wrcosa = HR
OU, en abaissant la perpendiculaire AI sur OB,
«' - « = -' '-^ , w'.BI - w.OI = ftR; AI (U '
d'où Ton tire
/=^-^Ai7S^=^"-*-R7S-'^^"'
w = il — — — - cotx .
La vitesse Y du point G, estimée perpendiculairement à AB, égale à la vitesse de la roulette à sa circonférence, est la résultante de — ao>»^ et de
la composante correspondante — wrcosOAB de la translation wr; la composante longitudinale de cette translation ne produit qu'un glissement de la roulette dont nous n'avons p^s à nous occuper. Or, dans le triangle AOB, on a
cosOAB = - =^ —
2 rf'
par suite
V = W ; rtW
ou, en remplaçant w, w'' par leurs valeurs (i), 2 V = -, T:—r\ 1 COta'-f-acota)-
Soient
Rj le rayon vecteur correspondant au point de départ de la pointe B, et ô<, Tangle qu'il forme avec Taxe fixe Ox;
384 QUATRlfeMK PARTIE. — CHAPITRE VI.
A Taire décrite par OB, lorsque le rayon vecteur et son inclinaison sont
devenus R et 0 ; 0" le chemin parcouru par la circonférence de la roulette.
On a
et la relation (2) devient
dk = f'dfi^ 'l±jl±2!irLd(i-\-M f^'^'''""'''cota^-t-fl/-'cota^
d'où
j ( COta-+-û/- cota) -=r-
On déduit facilement du triangle AOB les valeurs de cota' et cota en fonctions de R; mais, ces expressions renfermant en dénominateur des radicaux du second degré dans lesquels se trouve R au quatrième degré, l'intégrale du second membre de l'équation ( 3 ) dépend des transcendantes elliptiques ; Tessentiel pour nous est de reconnaître que cette intégrale est de la forme /(R) — /(R,), de sorte que l'on a
/^-+- 7^*-4- lor'
(4) A = r-a-H^^^;^^^^ (e,QJ-/(R)^/(RJ.
S'il s'agit de l'aire d'une courbe fermée, 0 et R redevenant 0^ et R,, on a
(5) A = rVC).
Supposons que l'on veuille faire en sorte qu'à un tour de la roulette corresponde l'unité de surface, soit le centimètre carré, pour fixer les
(*) On peut arriver immédiatement à Téquation (5) par les considérations suivantes :
Soient {fg, 179)
OABC, O'A'B'C deux positions infiniment voisines de la partie mobile de l'instrument ; K le milieu de AB;
I, L les points d'intersection des perpendiculaires élevées à AB aux points K et C avec la direction de A'B';
