U II

p„= J^(sin9„4-p;,C089„j "ii+i

les formules précédentes deviennent

4^0 QUATRiftMB PARTIE. — CHAPITRE III.

d'où Ton lire

Q,a,-+-Q,P OC ce

a ot (Z 01

M,| «I.J Wj «*^

valeurs dont la loi de succession est facile à saisir. Les s — i premières équations (i') suffisent pour déterminer N,,..., N,, ; et, en substituant ces valeurs dans la dernière des équations précitées, on trouve la relation

Q^a, . . .a^, -h Q^, o^^, . . tx,^ P^,

-hQ,,a,. . .a,3P,.,P,,-f-. . .+ Q,P, P,.. . P,, = o,

dont le terme général du premier membre peut être représenté par

Si maintenant on néglige le carré du coefficient de frottement, on a

P«P«+, • • • P,-t = sinO„sine„^, . . . sinô, et réquation (2) peut se mettre sous la forme suivante :

2QuP«- • • f^,-. R«(l-+- < COtô,-+- ... H- a„iCOt0^,

-+-PuCOtÔ„H-...-hp;^,COtp,,)= O.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces généralités, et nous allons immédiatement étudier le seul cas particulier dont nous ayons à nous occuper dans ce qui suit.

Supposons que le mouvement soit varié, et soient An et 9. le moment d'inertie du m'''"' rouage et Tangle dont il a tourné

à partir d'un instant quelconque pris pour origine. On a

d% dtp, fl^,, d^^

dt ~^' dt'""* dt ^'-' dt '

d'où

r\uy ris étant deux constantes arbitraires. D'autre part on peut écrire

(y^Ru étant le moment des forces extérieures agissant sur le j^ième rouage, et ^h Ru celui du frottement développé sur son axe. L'équation (4) devient par suite

. X(l-+-<COtô,-f-...H-a;^^COt0„.-f.p'^COtÔ„4-...H-P;,COt0,.,)

X (i-h < cot0,H-...-Ha'^^cotO„, -h f;^cot0„-h ...-hS^^cot0,,).

Si les pivots ou tourillons sont d'un diamètre suffisamment petit, on peut, comme première approximation, négliger d'abord Çu devant Q'„, ce qui donne

/ I-h a , COt 0, -h . . . -f- a'j,iCOt0„A

dt' / H- a', cotô,-i- . . . -t- a„,COte„,\

Les actions mutuelles normales seront données par les formules (<;), dans lesquelles on remplacera

Q« par Q«~ r^-'-'P^-»^'' puis

par sa valeur (8), de sorte que finalement elles seront expri-

mées en fonction des forces équivalentes aux forces extérieures agissant sur ce système et des éléments géométriques de ce système.

On peut supposer la force Q',, parallèle à la résultante des forces extérieures agissant sur le m'*"" rouage, à laquelle elle est équivalente, et représenter par suite cette résultante par K0'u9 K/ désignant une constante.

Si, pour éviter toute ambiguïté, on désigne pfr -f- Na, -+-/N„ l'action normale et le frottement résultant du m'*"" système sur le(M-f-i)"'"' système, par — Na, —/Na les réactions correspondantes du second système sur le premier, on voit de suite, en employant la notation connue des sommes géométriques, que la pression exercée sur le w'*'"' axe sera

(9) QL-^N„-.-i-/N„..-.N„-/N„,

expression dans laquelle on éliminera --.\- au moyen de la

formule (8).

En négligeant le cube du coefficient de frottement, le produit de la pression précédente par ce coefficient représentera le frottement sur le pivot, et Ton obtiendra Çu en le multipliant par le rapport du rayon du pivot à Ru. En portant cette valeur de Çu dans Téquation (7), il en résultera une équation différentielle du second ordre en (p„ qui ne dépendra que des forces extérieures Qu et des éléments géométriques de l'équipage. •

154-. Des chocs dans un équipage de roues dentées. — Supposons que le système tournant 0, reçoive un choc de la pari d'un autre système tournant, étranger à l'équipage considéré. Pendant la durée du choc, 0« ne variera pas d'une manière appréciable; les forces continues seront négligeables; on ne devra tenir compte que de la force Q'^ équivalente à l'action normale au contact et des frottements qu sur les axes résultant de la percussion. Or, si l'on ne considère que le cas de chocs peu violents, on pourra calculer j„ sans tenir compte

de l'inertie, et, d'après ce que l'on a vu précédemment, ^

sera une constante pendant toute la durée du choc. Si donc

on désigne par w,, w^ les vitesses angulaires -~y avant et

après le choc, Téquation (7) donne, en intégrant pour toute la durée de la percussion,

.;-(«,) 2(p„...a,ju/^iH-«; cote, H-...-^a;^^cot9„,H-f'„cot9„-+-...-^p;,c^

X (l -+- cl\ COtÔ, H- -H a^,cot0„, -^ ^'„cot0„+ . . . ~h p,^, cotG^,) /Q^ R///.

On voit ainsi que l'effet du choc sur l'équipage est le même que si le i'**"' engrenage, étant supposé complètement libre, avait pour moment d'ineriie

2(p„...fz,,)^A„(i-+-a',cot0,-+-...-f p;^cot0„...)

X (l-f- a, COt Ô, -h . . . -f-a' C0t9„ , H- &' COt Ô„ H- . . . -f- f ', COt 9, ,\

expression que l'on pourra simplifier dans un grand nombre de cas, lorsque les pivots auront un diamètre assez petit pour

que l'on puisse négliger les rapports ^•

155. application aux engrenages à flancs. — Soient ^^y Yjh, les angles respectifs que forme le flanc d'un pignon avec la ligne qui joint son centre à celui de la m'*"" roue, selon que le contact se trouve au delà ou en deçà de cette ligne; 4^'^, xl les limites maximum de ces angles qui correspondent aussi aux arcs de retraite et d'approche. Le dernier de ces angles sera seul supposé suffisamment petit pour qu'on puisse, sans erreur sensible, le considérer comme égal à son sinus ou à sa tangente.

On a, selon l'un ou l'autre cas.

On reconnaît facilement que, au delà de la ligne des centres, on a

4^4 QDÀTBifeHB PARTIE. — CHÀPITBB III.

et que, en deçà de la même ligne,

ru

On peut donc écrire

a;^cote„=(i-f-fiJiang^;„,

et l'équation (8) devient par suite

X [i-^/(i-+- F») tang^;, -h. . . -4-/(i-4- fx„, ) tang>^„, -/(! + /*«) tangx«- . . .-/(n- p,.. ) tangx,.,]

~/{i-^f*u) tangx„-...>-/(i-t-p,.,) tangx,^,].

Nous supposerons dorénavant que qu a été calculé comme on Ta indiqué plus haut, mais en négligeant le frottement/ et en supposant que le contact a constamment lieu sur la ligne des centres, hypothèse plausible, en raison de la petitesse de 9. que Ton rend ainsi indépendant des arcs d'approche et de retraite.

Si Ton remarque que ^'^ ne dépasse généralement pas 47 ou 48 degrés, on peut sans grande erreur remplacer tang ^u par

— T7 — 4^11; en posant

. I tangf„

et remarquant que, par hypothèse, on peut écrire x»= tangx», il vient

X [ï ■+-/(« -^ «*i ) tang^i^, -4-. . .-h/(i -+- fA„.,) tang^l^^, l^^) { -/(i+f*a)tangx„-...-/{n-f^,-»)X..J

Si Ton remplace ^ » par sa valeur calculée ainsi qu'on Ta dit plus haut^ que Ton continue à négliger le carré du frottement^ cette équation se met sous la forme

Bu, Ku étant des fonctions des forces extérieures.

156. Discontinuité dans la loi du mouvement. — Supposons que l'angle 9» soit mesuré à partir de l'instant où la prise a lieu sur la ligne des centres entre le w'**"* pignon et la u'^^ roue, et soit mu le nombre de dents qui se sont succédé depuis cet instant sur la ligne des centres jusqu'au contact que nous considérons actuellement. On a

pour

OU

Au delà de cette limite, >[/« s'annule et Xu» qui était nul, prend brusquement la valeur x„ et suit la loi exprimée par

(^) x«=(«-^'''»)(4'u-+-Xii)-7«+.î

cet angle devient nul pour

et alors on a pour

et ainsi de suite.

Le second membre de l'équation (8) est donc essentiellement discontinu, et si les forces Q'^ sont continues, les accélérations angulaires -^ et -^ passeront brusquement d'une valeur à une autre lorsque le contact cessera entre un couple

de dents pour être remplacé par la prise entre les dents du couple suivant.

La différence entre ces deux valeurs successives d'une même accélération angulaire pourra, dans certains moments, devenir comparable à chacune d'elles, dans un train composé d'un nombre suftisant de rouages, lorsque les arcs de retraite et d'approche auront des valeurs notables. On conçoit, en effet, qu'il puisse arriver que, à des époques périodiques, les arcs de retraite atteignent simultanément leur maximum; les termes en a^, qui seuls existaient, s'annulent subitement et sont remplacés par des termes en p'^, de signes contraires aux précédents, dont la valeur absolue atteint son maximum lorsque l'approche commence. On atténuera cette discontinuité en réduisant les arcs de retraite et d'approche, et même en supprimant ces derniers lorsque Ton pourra se contenter de faire commencer la prise à partir de la ligne des centres.

La vitesse angulaire -~» par suite --—> restera continue,

mais suivra une loi différente, lorsqu'un couple de dents passera de la retraite à l'approche et inversement.

Si les Qa sont constants en grandeur et en direction, les coefficients H„ et K„ seront constants, et l'on pourra, après avoir remplacé ^a et^u par leurs valeurs («) et (6), intégrer l'équation (8) en la multipliant par d(^,y ce qui donnerala vitesse angulaire --jyy et l'on en déduira la valeur du temps par une quadrature. Mais il ne faudra appliquer la valeur finale ainsi obtenue qu'à des déplacements angulaires suffisamment petits pour que, dans leur intervalle, le contact d'un couple de dents, à l'approche ou à la retraite, ne vienne pas à cesser. On pourra ainsi obtenir les valeurs successives de t de proche en proche, et par suite celles de 9» en fonction de t au moyen d'une Table résultant du calcul précédent.

157. De V influence du frottement sur le mécanisme d'une montre. — Proposons-nous de déterminer l'accélération que prend la roue d'échappement, par suite de la détente du ressort moteur, lorsque, après être partie du repos ou du léger recul qu'on lui fait subir , elle vient rencontrer l'échappe-

ment. Nous nous reporterons pour cet objet au n° H6, dont nous conserverons les notations en y supposant s =5.

Les engrenages n'étant jamais lubrifiés, nous pourrons prendre /= 0,20 pour les coefficients du frottement qu'ils développent entre eux.

Le coefficient de frottement/, des pivots en acier sur des irous en rubis n'ayant pas été déterminé, nous le prendrons égal à 0,16, chiffre un peu supérieur à celui qui s'applique au cas d'un graissage peu entretenu, afin de tenir approximativement compte de la résistance due à la viscosité des huiles, et qui augmente à mesure qu'elles vieillissent, résistance sur laquelle on n'a aucune donnée expérimentale.

Pour ne pas compliquer inutilement nos calculs : 1° nous ferons abstraction de l'inertie, du barillet et du ressort moteur, en raison de leur très-faible vitesse par rapport à celle de la roue d'échappement; 2° nous négligerons de la même manière l'inertie du système des minutes et des heures; 3° nous devrons tenir compte de l'inertie de la première et de la seconde moyenne, qui, malgré une vitesse de rotation bien moins rapide, donne des termes du même ordre de grandeur que l'inertie de la roue d'échappement, dont la masse cependant est très-faible; 4° nous considérerons comme négligeable le frottement du canon de l'aiguille des heures, attendu qu'il est réduit à peu près à son minimum, et, comme nous avons fait la même hypothèse relativement à l'inertie du système des aiguilles, il s'ensuit que la quote-part de la force motrice qui met en mouvement leur système peut sans inconvénient être supposée nulle ; 5° pour nous affranchir des irrégularités brusques signalées au n"" 147, et qui sont d'ailleurs atténuées notablement, relativement à l'unité, par le facteur/ dont elles sont affectées, nous remplacerons chaque groupe de termes, fonctions des arcs d'approche et de retraite, par la demisomme des valeurs extrêmes. Nous supposerons de plus, dans les mêmes termes, les coefficients (in- /ul„) égaux à ^, ce qui revient à faire abstraction de chacun de ces coefficients en augmentant de ~ la valeur de / qui sera ainsi portée à 0,22. En opérant ainsi, on n'altérera pas d'une manière appréciable le résultat final.

4^8 QUàTRIÈSIB partie. — CHAPITRE III.

Cela posé, la formule (12) du n'' 155 donne

En posant

/•, = o , II { tang-y, -f- tang y, -+- tang y, 4- tang ^\ ) , /', = o, 1 1 ( tang^!/', -+- Ungf , -h tang^]/; - tangx* ), Â;= o , II ( tang-y, -H tang-J^; ~ tang x', - tang x'4 ) , /•, = o, ï I (tang-y, - tangx; — tangx'3 — tang/*), /•, =- o, 1 1 (tang/, -h tangx', n- tangx'3 -+- tang/*).

La valeur de chacun de ces coefficients sera comprise entre

celles qui correspondent aux cas extrêmes dans lesquels les

pignons ont six et douze ailes, ce qui suppose d'une part

^j;' = 45", x'= '5°, et de l'autre ^p'=3o°, x^=^o. On trouve

ainsi que

/•^ est compris

entre

0,484 et 0,254

moyenne

o,3oo et 0, 190

0,161 et 0,128

Xj n

0,022 et 0,064

—0,088 et 0,000

On voit que, si Ton substitue aux valeurs exactes de ces coefficients leurs valeurs moyennes, on ne commettra que des erreurs dans les centièmes, et nous ne nous proposons pas d'obtenir une plus grande approximation.

La formule (i) devient par suite, en supprimant dorénavant l'accent de la lettre q pour plus de simplicité,

(12 -^ (i,4A,-f-i,2f*îA,-M,ifx5^îA3)

1 = 1,4^51^5 -+-I,2fX,7,B, -h 1,1 U^f/.3<73R3