T- ^Yjf
d'où
27r ou, en supposant 9 =r y = — 1 .
On trouverait de même
ou
Si maintenant, en négligeant le jeu latéral, on suppose a = 2e = 26^, et que l'on admette pour les creux un jeu
TRANSFORMATION DU HOUYBHBNT GIRGULAIRB CONTINU, ETC. 57
de — î soit à peu près ^? on a
/ = 87re ( - H- -^ -H — ) ;
\n n' laoy
< iôttV n\ e f^ \ ^ J
17. Engrenage à lanterne, — Dans cet engrenage, le pignon qui porte le nom de lanterne est formé de deux plateaux circulaires ou tourteaux réunis près de leurs circonférences par une série de cylindres circulaires {fuseaux) équidistants , parallèles à Taxe de rotation, et dont les axes sont à une distance constante de ce dernier. Les dents de la roue [rouet), qui portent le nom d'alluchon, sont implantées dans la roue et sont ordinairement en bois, tandis que les fuseaux, qui s'usent plus facilement, sont en fonte ou en fer et rarement en bois.
Considérons d'abord l'engrenage extérieur : l'enveloppée étant une circonférence, on exécutera le tracé du profil des alluchons, d'après la méthode indiquée au n"* 12, en remarquant que l'on ne devra prendre que la portion de l'enveloppe extérieure à la circonférence 0 pour éviter une forme concave pour les dents. On s'assurera facilement que le contact a lieu exclusivement après ou avant la ligne des centres, selon que le rouet conduira ou sera conduit; mais, dans les deux cas, les rotations seront nécessairement de sens contraire.
Cet engrenage n'étant pas réciproque et nécessitant pour les fuseaux des diamètres relativement grands, ce qui donne lieu, par suite, à des frottements considérables, est peu employé.
58 QUAUtlftHB PARTIS. — GHÂPITIB III.
Dans l'engrenage intérieur, on tracera Tépicycloïde engendrée par un point de la circonférence primitive du pignon dans celle de la roue, puis la courbe obtenue en diminuant ses normales d'une longueur égale au rayon du fuseau. Les dents du rouet ainsi déterminées seront concaves, inconvénient à ajouter à ceux qu'on a signalés plus haut. On remarquera que, si le rayon de la grande circonférence est double de celui de la petite, Tenveloppe des fuseaux se réduit à une droite, ce qui permet d'établir le rapport j entre les vitesses angulaires au moyen de la disposition suivante, qui est assez curieuse. La roue porte six flancs en ligne droite formant rainures dans autant^de bras de la roue; le pignon est muni du trois galets représentant les fuseaux glissant dans les rainures, et dont deux sont toujours en prise.
Une semblable disposition est également applicable à un nombre de galets supérieur à trois, mais la solution pratique devient moins simple.
(a). Minimum du nombre des fuseaux, —Supposons, comme cela a lieu habituellement, que la lanterne «oit le pignon, et proposons-nous de déterminer le minimum du nombre des fuseaux qu'elle peut porter pour que l'engrenage soit possible.
Conservons les notations des n°* 15 et 16, (p= — étant
l'angle au centre de la lanterne correspondant au pas a, ia, l'a
Fig. !{i.
les vides respectifs de la lanterne et du rouet. Soient [Jig. 4^) C, C les centres d'un fuseau dans les positions respectives
TRÀNSFORHÂTIOlï BU MOUVEMENT CIRCULAI RB GONTIlfU, ETC. 5^
OÙ la menée a lieu à la ligne des centres, et où elle finit au point m.
La condition de continuité du mouvement exige que l'angle C'OC soit au plus égal à 9, et, en admettant Tégalité, on a
Pour qu'une dent du rouet puisse pénétrer dans Fintervalle des fuseaux C et C% il faut (15) que
tang/7< 0' A ^ tang î ( i -4- /' ) f*.
* Or le rayon des fuseaux a évidemment pour expression
C'=2Rsin<ï)^i^^
* et, si mN est la perpendiculaire abaissée du point m sur 00%
AOC
/wN = RsinAOC'— wC'cos
= Rsin(3-'0Ï-2Rsin^ — î(pco8(3— 0?
. îà a 4
=-4Rcos(3 — /) J cog(5-3/) ^sin^i^V;
et comme
AN = m N tang j
rinégalité ci-dessus devient
4p 008(3— 0 ^ cos(5 - 3/) 2 sin (i-f- 1) ^
/\ 4 4 4>.n-' (i) = tangpi f.
i-|-4psin(3-i) l cos(5~30 ? sin(i-f-07 ^
Pour donner aux fuseaux une résistance suffisante, on fait en sorte qu'ils correspondent au moins à la moitié du pas; nous supposerons / = i, et, en négligeant d'abord le jeu, nous
aurons 1' =- '
6o QUATRIÈMB PARTIE. — GBàPITRB III.
Si donc on pose
la formule (i) devient
(a) —^ — :—^ — r-5- ^ tangôfAx.
Pour /x = o, on aura
cosSo: cosyjr sinSa:^ |x
0U9 en évaluant x en degrés,
cosSx C087^ sin 3x ^ 0,02617 j:
et, de la même manière,
On trouve, après quelques tâtonnements :
Pour p = o j:=7,2i, d'où «=: 7,
Pour fA = 7 J^ = 6,43 , /2 = 7 ,
Pour fA = I x=5,70, «= 8,
Pour f* = I a: = 4)86, /ï=io,
ce qui conduit à poser
(4) /î = 7 + 3fx (•).
Si maintenant on veut tenir compte du jeu latéral Si', en supposant qu'il soit supporté seulement par les alluchons, on
trouve que — va en croissant de 0,40 ôï' à 0,720/' pour les
valeurs respectives de ijl = o, fz=:i, de sorte que la formule (4) corrigée peut être représentée par
(e). Relations entre le pas et les dimensions des alluchons,— En conservant les notations du numéro précédent et celle
{ ' ) Savary a trouvé
TEÂNSFORHÂTION DU MOUTBHBNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. 6l
des n®* 15 et 16, on a .
km -hR'»^-2A/w.R'cosAOC',
AC' = 2R8in— = aRsin(3~i)?,
wC'=aR8m(i--0l,
(a) Am = AC'— iwC'=4Rsin(i-hi)|cos(5~3i)|,
[h) cosOAC'=sin(3-0 7;
par suite, en supposant / r= |, <p =
1 4- i6u^ sm^ 7 - cos' 7 - -h 8u sm 7 - cos 4 - sm -r - *^ 4« 4/2 *^ 4/1 4/1 4/2
Si nous supposons maintenant que, par suite des valeurs attribuées à n et fx, les derniers termes sous le radical soient assez petits pour que Ton puisse négliger les puissances supérieures à la première» et si nous remarquons que
r =: O'm — R', R' = 5 nous aurons
, . ,, ina [ .,3ir ,771" .37r 77r.5 7r\
(i) /; = ( 2fA sm' -T - cos' 4 - -«- sin- - cos 7 - sm - - ) •
Remarquons également que Ton a
e'^é, = aR'(ÀOA', - /wO'A) =- 2« //20'A
TT
ou, d'après la formule (i) de l'article précédent, en supposant que l'angle mO'A soit assez petit pour qu'on puisse le remplacer par sa tangente,
(in 5 TT 7 TT . 3 7r\ I C08 7 - cos 7 - sin -7 - ) 71 4/2 ^ n ^ n)
n- 4 fx sin 7 - COS 5" - sin - - 4 ^ 4 ^ 4 ^
formule dans laquelle on devra supposer 2e = ût.
62 QUATElftMB PARTIE. — GHAPITRB III.
18. Des trains ou équipages d'engrenages. — Nous avons vu que le rapport du diamètre d'un pignon, rapporté à celui de la roue avec laquelle il engrène, ne devait pas dépasser une certaine limite, qui est {- pour tes maciiines industrielles, et jj pour les chronomètres, limite que nous représentons par v.
Supposons que l'on veuille transformer une rotation coi autour de Oi en une aulre plus grande (<)« autour deO«, telle que le rapport
soit inférieur à v : pour y arriver, on montera sur Taxe Oi une roue que Ton fera engrener avec un pignon tournant autour d'un axe intermédiaire Os et faisant corps avec une roue; on fera engrener cette derilière roue avec un pignon monté sur un second axe intermédiaire Os, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton arrive au dernier pignon tournant autour de 0«. Le nombre s — 2 des axes intermédiaires, les rayons des pignons et des roues ou leurs nombres de dents devront être choisis de manière à satisfaire à la condition (i) et à celle qui résulte de la limite inférieure v pour le rapport du diamètre d'un pignon à celui de la roue correspondante. Soient, à cet effet,
R,,..., R,., les rayons des roues successives, montées sur les axes Oi,. . ., 0,-,;
Ni, ... , N,, les nombres des dents de ces roues ;
Ti, Tj, . . . , r,-., les rayons des pignons tournant autour des axes O», Os, . • . > Oiî
71,, Tis, . . . , »*-. les rayons et les nombres des dents de ces pignons ;
ûit,. . .,(ùs\es vitesses angulaires de Oi,. . ., O3.
On a
bi^ Rj Rj. . . R,, N, Nj. . . N,,
TRANSFORMATION DU MOUTBHSNT CIRGUtÀlRB CONTINU, BTG. 63
On voit ainsi que le rapport des vitesses angulaires extrêmes, OU la raison de l'engrenage, est égal au rapport du produit des rayons ou du nombre des dents des pignons à celui des rayons ou des nombres des dents des roues.
Dans de semblables mécanismes, il arrive quelquefois, comme dans la minuterie des chronomètres, que deux arbres soient concentriques, l'un creux, appelé canon, tournant à frottement doux sur l'autre.
Les vitesses extrêmes (en employant uniquement des engrenages extérieurs, comme nous le supposerons toujours dans ce qui suit) seront de même sens ou de sens contraire, selon que le nombre des axes Intermédiaires sera impair ou pair. Pour établir une distinction entre ces deux cas, nous affecterons e du signe + dans la première, et du signe — dans le second, ce qui revient à poser
On représente généralement un équipage d'engrenages de la manière suivante, en plaçant sur la même ligne horizontale les nombres des dents des organes qui engrènent ensemble, et sur la même verticale ceux qui correspondent à un axe commun
Exemple :
Une horloge à seconde peut être représentée par le diagramme suivant:
Roue d'échappement. . . 3o — 6 Aiguille des secondes,
Roue moyenne 45 — 6 I
Roue motrice 48 — 25 — 6 ;
25 Aiguille des minutes,
72 n des heures, j
le mouvement étant communiqué de la roue motrice à la
roue d'échappement par deux pignons de 6 dents et deux roues, dont Tune a 4^ et l'autre 4^ dents. L'aiguille des se* condes est adaptée à la roue d'échappement, qui est réglée en raison d'un tour par minute, et l'on voit, d'après le tableau précédent, que la roue motrice fera un tour par heure; car on a pour la raison
6tf
Si l'on voulait employer des pignons de 8 ou de i4 dents ou ailes au Heu de pignons de six ailes, qui sont assez défectueux, on remplacerait la partie du diagramme ci-dessus, relative à ces organes, par le suivant
3o — 8 ou
io5
Il résulte de ce qui précède que l'on obtiendra facilement la raison d'un train donné; mais le problème inverse, consistant à déterminer un équipage, correspondant à une raison donnée, exige quelques développements, dans lesquels nous allons entrer après avoir traité le cas particulier suivant.
19. Problème de Young, — Cette question, qui a plutôt un caractère de curiosité que d'utilité, a pour objet de déterminer les éléments de l'équipage qui, pour une raison donnée e, correspond à un minimum du total des dents lorsque les pignons sont tous identiques entre eux ainsi que les roues.
Si l'on pose
f — ■ 1 — AT, j^ — J7,
on a
d'où, en prenant les logarithmes hyperboliques,
Ce qu'il faut rendre minimum, c'est l'expression
TBANSFORHATION BU HOUTBHBNT GIRGULÀllB GORTINUy BTG. 65
dont la dérivée, égalée à zéro, donne l'équation
d'où, par approximation,
Si Ton prend a? = 3,60, celle valeur s'exprime par le rapport de 18 à 5 ou de 36 à 10, nombres qui sont très-convenables comme modules d'une roue etjl'un pignon. On trouve, en faisant varier i^f
Pour k= i 2 3 4 5
Si donc le rapport proposé est une de ces valeurs, on pourra employer l'équipage de Young, eomposé d'un nombre de pignons de 36 dents et de pignons de 10 dents déterminé par la valeur correspondante de k*.
20. Méthode générale pour fixer les éléments d'un train dont la raison est donnée. — Pour établir un système de rouages, on voit qu'il est indispensable de mettre e sous la forme du quotient de deux produits de même nombre de facteurs que l'on puisse grouper deux à deux, du numérateur au dénominateur, de manière que 4e rapport de ce couple ne descende jamais au-dessous de v.
Pour faire cette décomposition d'une manière simple et suffisamment approximative, lorsque les deux termes de la raison sont très-grands, on réduit t en fraction continue et Ton cherche parmi les réduites successives celle qui convient le mieux au but que l'on se propose.
On sait que deux réduites consécutives sont l'une plus grande, l'autre plus petite que la fraction génératrice, que leur différence est égale à l'unité divisée par le produit de leurs dénominateurs, et enfin qu'une réduite jouit de la propriété d'exprimer une approximation par le quotient des plus petits nombres entiers; mais il est moins important d'avoir de petits nombres pour les deux termes de la fraction qui représente approximativement t que d'obtenir des nombres décompoui. 5
66 QUiTRifeME PART». — CHAPITRE III.
sables en facteurs. Aussi, lorsqu'on ne trouve pas parmi les réduites une fraction satisfaisante, il faut avoir recours à des fractions moins simples, parmi lesquelles on en trouvera souvent de plus avantageuses pour l'objet que Ton se propose.
oc
Soit, à cet effet, - une fraction, dont les termes sont indé-
terminés, supposée très-peu différente d'une autre fraction -r dont ^ est l'avant-dernière réduite; on a
aq —bp -=.1^
et, en posant
ajr — bx =i X-,
k devra être très-petit par rapport à by^ par l'hypothèse que
H JC n
la différence 7- = 7 — doit être très-petite. Cette dernière
O y* UT
équation, en vertu de la formule précédente, aura pour solution en nombres entiers
:X^hq, x^hp\
par conséquent sa solution la plus générale en nombres entiers sera
(5) ^=X'y-f-M«, j: = X/7 -h Ma,
M étant un entier quelconque positif ou négatif.
On donnera à M et à Ar des valeurs croissantes positives ou négatives, et Ton s'arrêtera à celles qui fourniront pour ^ et^ des nombres dont la décomposition en facteurs permettra de satisfaire à la question proposée, après s'être assuré que l'er* reur commise est admissible.
21. applications : 1° Horloge à secondes. — On suppose que la roue d'échappement fait un tour par minute, que le nombre des axes est réduit à trois, ce qui est un minimum, et enfin que chaque pignon ne possède que six ailes, ce qui est encore un minimum. On a
60 "" RR, "" 2ieo ^ 45.48
TRANSFORMATION DU XOUYBHBNT GIRGUtMRB CONTINU, BTG. 67
et Ton retombe sur la combinaison indiquée au n"" 18, et qui est la plus avantageuse parmi toutes celles qu'on peut déduire de la décomposition en facteurs de la raison, à cause de la presque égalité des nombres des dents des deux roues.
On trouvera de la même manière la combinaison relative à l'emploi des pignons de huit ailes.
a» Horloge lunaire.— V une des aiguilles marque les heures sur un cadran, et l'autre fait une révolution dans la durée 29Jiîi'*44™ d'une lunaison : on a
7!iO 1 80
42624 io63i
Mais io63i étant un nombre premier, nous prendrons la valeur approximative
correspondant à un train facilement réalisable, et qui ne donne lieu qu'à une erreur d'une minute par lunaison.
3® Horloge de huit jours. — Pour que la longueur de la corde du poids moteur ne devienne pas un inconvénient, il ne faut pas qu'elle fasse plus de seize tours, et il est nécessaire, par suite, que chaque tour corresponde à douze heures; toute paire de roues ayant pour raison xj suffit pour atteindre ce but, et l'on prend généralement 8 et 96 pour les deux termes du rapport, ce qui donne pour diagramme :
96 12 heures
8—105 I heure
12 — 3o I minute
4® Horloge d'un mois. — En admettant toujours seize tours de corde, chaque tour devra suffire pour quarante-huit heures; la raison -^ serait trop petite pour une seule paire de roues, mais elle peut être obtenue avec deux.
En employant, par exemple, des pignons de douze et de
68 QUÀTRlfiaiB PARTIE. — GERLPITRB III.
seize ailes, on obtient le diagramme suivant :
96 48 heures
