TRANSFORMATION DU HOUTBHENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
roue D montée sur le levier établit la communication entre les roues A et C. Si A est fixe, on a a = o; par suite
et D est animé d*un mouvement épicycloïdal.
Dans le train de Fergusson (Jig. 44 )> ^^ ^oue A est fixe, ou rt = o, de sorte qu'on a encore la relation (a); mais, au
lieu d'une roue C, on a trois roues indépendantes, de même diamètre, montées sur le même axe, engrenant avec la roue intermédiaire D; ainsi les e, pour ces trois roues, sont proportionnels aux nombres de dents correspondants. Si pour la première roue C on a e > i, pour la deuxième e = i, pour la troisième e<<i, en faisant tourner le levier B, les deux rouages extrêmes tourneront en sens contraires, tandis que l'intermédiaire ne sera animé que d'un mouvement de translation.
Dans le train représenté par la Jig. 4^, A est fixe et est
Fig. 45.
monté sur le même axe que B et C, qui ont le même diamètre; un pignon D établit la communication entre A et C. Supposons que C et A aient respectivement n — i et n dents; nous aurons
g = i et - = -
n en
Si n = loo, le rapport des vitesses angulaires est ^r» ? on voit ainsi comment les trains épicycloïdaux se prêtent à la réalisation des rapports très-pelîts entre deux vitesses angulaires.
Nous donnerons plus loin d'autres applications des trains épicycloïdaux.
§ II. — Les axes de rotation sont concourants.
24. Engrenages coniques, -^ Proposons-nous de transformer une rotation w' autour d'un axe 0^' en une autre w autour d'un autre axe Ox, qui rencontre le premier au point 0, de
manière que le rapport — soit constant, et désignons par (S')
et (S) les systèmes matériels qui tournent respectivement autour des deux axes ci-dessus.
Considérons deux portions correspondantes de ces axes pour lesquelles les rotations (ù% cû sont de sens contraire pour l'observateur couché successivement suivant 0^', Ox^ en ayant les pieds en 0, et concevons que Ton imprime au système des deux corps (S') et (S) une rotation égale et contraire à celle du premier, qui se trouve ainsi ramené au repos; fS) sera animé d'une rotation Q autour d'un axe O^, dont l'inclinaison sur Ox' et 0;r est constante et est celle de la diagonale du parallélogramme, construit sur des longueurs proportionnelles à (a', cû, portées à partir du point 0 sur les deux axes.
Concevons deux cônes circulaires (</), (ex), engendrés par la droite Oj, tournant autour de 0^', Ox; le second cône, dans son mouvement relatif, roulera sur le premier; mais en revenant à la réalité, s'il y avait entre eux suffisamment d'adhérence, ils réaliseraient la transformation de mouvement dont il s'agit, et c'est ce qui leur a fait donner le nom de cônes primitifs.
Comme, en général, l'adhérence est insuffisante pour obtenir l'effet voulu, on munit chaque cône de saillies ou dents, ayant une forme conique dont le sommet est en 0, séparées par des intervalles ou creux: dans chaque creux pénètre, dans une certaine région, une dent de l'autre cône, qui pousse
TRANSFORMATION DU HOUTEMEIfT CIRCULAIRE COIfTINU, ETC. 78
une dent de la seconde roue de manière à établir la continuité du mouvement.
Une sphère d'un rayon quelconque R ayant pour centre le point 0 déterminera : i° dans les deux cônes (ex'), (ex) Jeux cercles {5'), {s) roulant l'un sur l'autre; 2° dans deux dents en contact de (S'), (S) deux courbes (a'), (a), dont la première sera l'enveloppe des positions de la seconde.
En faisant sur la sphère le même raisonnement qu'au n^ 12, sur le plan» on reconnaît que l'arc de grand cercle normal au point de contact m de (a') et (a) passe parle point de contact A des deux cercles (*'), (s), que (a) étant donné, on déterminera {a') par la construction du numéro précité, en substituant aux expressions de centre et de rayon celles de pôle et d'ouverture de compas sphérique.
Mais comme le contact, en vue de réduire l'influence du frottement, est toujours peu étendu de part et d'autre de la génératrice de contact des cônes, on peut substituer approximativement à la construction précédente, qui présente des difficultés pratiques, celle qui suit.
Soient {Jig. ^6)0X = R le rayon de la sphère déterminé
par la direction de O7; B, B' les intersections de la perpendiculaire en A à OA avec O^, 0^'.
^4 QUÀTRlJkHK PAETIB* >- CHAPITRE III.
Concevons deux cônes, engendrés par la révolution de BA, BA' autour de 0^, Ox' ; ces deux cônes, que nous supposerons matérialisés^ seront tangents à la sphère en A, et détermineront, dans les dents, des courbes que Ton peut considérer comme se confondant avec les profils sphériques dans rétendue du contact à partir du point A.
Soient coi, cùt les composantes de cù suivant BB' et sa perpendiculaire dans le plan des axes; (ù\y &>, les composantes semblables de 0)'. Des rotations coi, (ù\ ne résultent, aux.environs du point de contact, que des vitesses de Tordre de retendue du contact et qui peuvent, par suite, être négligées. Les rotations (k)2, (o, donnent lieu au déplacement des profils dans le plan tangent dans lequel on peut supposer que les deux cônes ont été développés; on obtient ainsi deux secteurs dentés engrenant Tun dans l'autre à une faible distance de la ligne des centres et dont les vitesses angulaires sont respectivement &>>, (ù\. Or on a
w^ = 0» cos{x, r), «2= w'cos(a/,j),
w' "~ sin(x,j)
d'où
«5 tang(3:\.r) AB^ ^ ~ tang (x,x) ~ AB
Il suit de là que les dents des secteurs doivent être tracées comme celles d'un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient AB, AB'.
L'épure, faite et découpée en patron, sera appliquée sur le double cône (B, B') sur lequel on tracera le profil des dents.
En nous plaçant maintenant au point de vue pratique, le double cône sur lequel s'effectue le tracé est celui qui termine l'engrenage dans la région la plus éloignée du point 0; les dents tracées, on coupe les cônes B, B' par des plans CD, CD', perpendiculaires aux axes 0^, 0^', de manière à ne laisser subsister que les zones correspondant à l'épaisseur transversale des deux roues, qui sont limitées à l'intérieur par les cônes de sommet 0, ayant pour bases les cercles détermi-
TRingFOBV&ItON hO MOnTEIIUIT CIBCDLIIKB GOHTIND, ETC. "jS
nés par les plans CD, CD'. Soient AAi l'épaisseur que l'on veut donner à l'engrenage dans la direction de OA ; C, C, les intersections de la perpendiculaire en A, à AO avec OC, OC; on termine l'engrenage dans la région la plus rapprochée du sommet par les troncs de cône engendrés par les droites A,C,, A'i C,, tournant respectivement autour de Ox, Ox" {fig. 47).
Fif. 47.
Les profils sphériques des dents des engrenages coniques jouissent de propriétés géométriques Intéressantes, pour l'élude desquelles je renverrai à mon Traité de Cinématique pure.
25. Trains épicycloldaux. — lAjig. 48 représente un train épicycloldal à engrenages coniques. La roue A fait corps avec son arbre; la roue G est mobile sur l'arbre qui la traverse et dont l'axe se trouve sur le prolongement de celui du précédent; l'arbre de C est relié à angle droit au levier B, autour duquel tourne le pignon B, qui met en rapport A et C.
La formule (1) du n" 23> qui peut se mettre sous la forme
s'applique au cas actuel, a, b, c étant les rapports des vitesses angulaires de A, B, C à celle de Tarbre qui produit le mouve-
Fief. 48.
ment, et e là raison des engrenages C et A, supposés développés dans un plan (Sb). Si les roues A et C sont identiques, hn a
bn a
et
Cette disposition permet d'établir entre les vitesses angu-
laires de deux arbres un rapport ^5 dont l'un des termes au
moins renferme des facteurs premiers trop considérables pour que les équipages ordinaires soient suffisants.
En multipliant, si cela est nécessaire, les deux termes de cette fraction par un nombre choisi convenablement, on peut
toujours la mettre sous la forme --r-» a, (3, y étant trois fac-
apy '
teurs dont deux au moins, a, (3 par exemple, sont premiers entre eux.
L'équation
admet une infinité de solutions entières, positives ou négatives. Supposons que l'on ait trouvé des valeurs convenables pour X et 7; nous pourrons identifier l'équation (2) à la suivante :
«67 py ay
TRANSFORMATION DU HOUTSHENT GIRGULÀlRB CONTINU^ ETC. 77
OU poser
apv'
On est donc ramené, au moyen d'engrenages, à transformer la rotation c dans la rotation a autour de l'arbre A, situé dans le prolongement de celui autour duquel la transformation doit être opérée.
26. Joint universel. — Pour transformer l'un dans l'autre deux mouvements de rotation autour d'axes concourants, dont il est nécessaire de faire varier l'angle à volonté, pourvu qu'il n'atteigne pas 90 degrés, on emploie le joint universel, qui consiste dans la disposition suivante.
Les arbres se terminent chacun vers le point de concours de leurs axes par une fourche {Jig. 49) dont les branches sont
Fîg. 49.
percées d'ouvertures circulaires; l'axe de ces yeux rencontre celui de l'arbre auquel il est perpendiculaire. Dans les yeux des deux fourches pénètrent les extrémités des branches d'un croisillon formant, d'une seule pièce, deux tourillons rectangulaires. Le centre du croisillon coïncide avec le point de concours des axes de rotation.
Il est visible que les axes de figure des croisillons sont con-
•jS QUàTVÈIIK partis. — CHAPITRE lit*
stamment compris dans deux plans perpendiculaires à l'axe de rotation passant par le centre du croisillon^ et dont la direction de Tintersection est complètement déterminée. Soient (yîgr. 5o)
Fig. 5o.
PQ l'intersection de ces deux plans; A l'angle aigu qu'ils comprennent; 0 le centre du croisillon ;
Oa, Oa' les positions, à un instant quelconque» des portions de l'un et l'autre axe du croisillon, situées respectivement dans deux régions des plans faisant entre elles l'angle A;
X, x' les angles formés par Oa, Oa' avec OQ.
Le triangle sphérique déterminé par les droites OP, Oa, Oa' donne^ en se rappelant que l'angle aOa* est droit,
cosx cosa/ H- sinx sin j:' cosA = o,
d'où
tangj: =—
cosA
cota?'.
Les vitesses angulaires u, (ù' de Oa, Oa' ou des deux arbres
dx dx^ étant respectivement égales à --r-t -j-^ on déduit par la dif-
férentiation de l'équation précédente
cosA sia'x
