TRANSFORMATION DU HOUTEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
d'où> par rélimination de af^ au moyen de la même équation,
cosA
I — sin^xsin^A
Le rapport des deux vitesses angulaires varie ainsi entre les
limites
cosA
et cosA; ces limites diffèrent d'autant moins
l'une de l'autre, ou la transformation est d'autant plus régulière que l'angle A est plus petit. On voit aussi que la transformation est impossible lorsque A = 90"* ou que les axes sont à angle droit, ce qui ^st visible a priori.
§ III. — Les axes de rotation ne se rencontrent pas.
27. Emploi des engrenages et des courroies. — Nous avons ici à transformer une rotation &> en une autre ct)' ^dont l'axe n'est pas compris dans le même plan que celui de la première, de
manière que le rapport — reste constant.
Soient (Jig* 5i ) •
A, A' deux points respectivement pris sur les deux axes ;
kxy M x' deux portions de ces axes pour lesquelles les rotations sont de sens contraire pour l'observateur coucbé successivement suivant ces deux droites en ayant les pieds en A, A'.
Considérons la droite AA' comme Taxe d'un arbre intermédiaire et établissons dans l'angle ^ AA' un engrenage conique
8o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
donnant lieu autour de AA' à la vitesse angulaire ui, définie par la relation
lu étant une constante ; les rotations o) et &)i seront de sens contraire, la première de la gauche vers la droite, la seconde
de la droite vers la gauche, pour Tobservaleur couché suivant A^, AA', en ayant les pieds en A; mais wi aura lieu de la gauche vers la droite si l'observateur a les pieds en A'.
Montons également en A' un engrenage conique qui puisse transformer tùi dans la vitesse angulaire ct)', dont le sens aura lieu de la droite vers la gauche. Si ht est la raison de ce dernier engrenage, on a
En multipliant cette relation par la précédente, on trouve
Cm
et par suite
On peut se donner arbitrairement Tune des deux raisons A. et A2, de sorte que la transformation peut se réaliser d'une infinité de manières pour un même arbre intermédiaire.
Lorsque les circonstances le permettent, il est avantageux de prendre pour AA' la perpendiculaire commune aux deux axes pour réduire à son minimum la longueur de l'arbre intermédiaire.
TRANSFORMATION DU HOUTEHSNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. 8l
La transformation peut encore s'effectuer [fig. Si) en prenant pour intermédiaire une parallèle A/ à k'x'y menée en un point A de A :r; un engrenage conique permettra de transformer u en une rotation g). que l'on peut se donner arbitrairement; et Ton est ramené à transformer les rotations uiyO)' dont les axes sont parallèles, ce que l'on sait réaliser.
On peut employer encore d'autres dispositifs, auxquels nous ne nous arrêterons pas, pour produire la transformation proposée, à l'aide d'engrenages coniques et cylindriques et de courroies.
28. Fis $ansjin. ~ Ce mécanisme a pour objet de transformer l'un dans l'autre deux mouvements de rotation autour d'axes perpendiculaires non concourants, de manière que le rapport des vitesses angulaires reste constant.
La vis sans fin se compose : i^ d'une vis à filet rectangulaire qui reçoit un mouvement de rotation autour de son axe ; 2" d'une roue dentée montée sur un axe perpendiculaire au précédent; le filet déplace successivement les dents de la roue, dont il détermine le mouvement de rotation, et la transformation est opérée.
Soient [Jig. 53 et 54 )
r le rayon du noyau de la vis;
I l'inclinaison de l'hélice sur l'axe du noyau;
z la dislance d'un point a de l'hélice à une section droite déterminée du cylindre;
B l'angle compris entre les plans méridiens passant par a et le point a% de l'hélice compris dans le plan de la section cidessus;
II le pas de l'hélice.
On a la relation connue
(i) z = ôrcot/ = — ô.
^ . ait
Supposons d'abord que la roue soit réduite à son plan
moyen (P) mené par raxe 00 de la vis perpendiculairement
à l'axe O'O' de la roue, et soient ma' la section déterminée dans
l'une des dents en contact avec le filet; ma la génératrice cor-
8a QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
respondante de la surface hélicoïde, a le point de rhélice situé sur la génératrice du cylindre.
Fig. 53.
Si Tangle 9 qui se rapporte au point a est celui dont a tourné la vis, à partir du moment où a se trouvait dans le plan (P), la génératrice am sera remplacée, au bout du temps dty par une autre a^mi; mais on voit que l'on est ramené à considérer le mouvement d'une droite ant dont la vitesse de translation parallèle à 00 est
(it '2n de '27r
Gt) étant la vitesse angulaire de la vis. Si Ton désigne par &>' la vitesse angulaire de la roue, la con-
Gt}'
dition que doit remplir Tengrenage est que le rapport — reste
constant, et par suite qu'il en soit de même de ^-'t i^^î^ ^^
voit alors que Ton est ramené au problème que nous avons résolu pour la crémaillère, et que le profil des dents doit être la développante de la circonférence primitive de la roue. Dans la réalité, les dents sont des cylindres dont les gêné*
TRAKSFOHKATIOK DU VOUVEMEni GIRCCLAIBB CONTINU, XTC. 83
ralrices font avec l'angle O'O' l'angle go"—/. Le contact entre la vis et une dent n'a lieu rigoureusement dans le plan (P) qu'au point A situé dans le plan mené parpO perpendiculairement à O'O'.
Fig. H-
La vis sans fin n'est donc pas un engrenage mathématiquement exact; mais elle donne une approximation d'autant plus . grande que l'étendue du contact, à partir de A, est plus pe-, lite.
Cet engrenage, comme la crémaillère, peut être rendu réciproque en terminant le profil du filet par une tête cycloîdale.
QIJATKibiB PABTIB. — CHAPITU IT..
