CHAPITRE Y

TRANSFORMATION D'UN MOUVEMENT CIRCUUIRE CONTINU EN RECTIUGNE ALTERNATIF, ET VICE VERSA,

34. Dans les machines, la transformation immédiate, Tun dans l'autre, des mouvements de rotation continu et rectiligne alternatif a toujours lieu dans des conditions telles, que la direction du second mouvement est toujours perpendiculaire à Taxe du premier, et c'est ce que tout ce qui suit suppose implicitement.

35. Bielle et manwelle. — Lorsque Ton a la latitude de pouvoir terminer l'arbre par le plan perpendiculaire à son axe 0 passant par le centre de gravité de la pièce à mouvement alternatif, on cale sur son extrémité une manivelle OÀ (Jig. 68)

Fig. 68.

qui se termine par un cylindre {bouton ou man^^on ) ayant son axe A parallèle à celui de l'arbre. Le ms^neton s'engage dans un coussinet adapté, comme nous l'indiquerons plus loin, à l'une des extrémités (grosse tête) d'une pièce appelée bielle. L'autre extrémité de la bielle {petite tête), également munie d'un coussinet, reçoit un cylindre B {boulon d'attache) qui traverse l'extrémité libre {crosse ou coquille) d'une tige fixée d'autre part à la pièce à mouvement alternatif.

TBIRSFORMATIOH D UN MODTBMKIT CttCCLAIBS COKTIKD, STC, g5

La direction du mouvement est d'ailleurs complètement assurée par des patins CC dont la coquille est munie, maiotenus par des glissières DD. On s'arrange d'ailleurs de manière que le plan, passant par les axes de l'arbre et du boulon d'attache, soit parallèle à la direction du mouvement de translation.

Lorsque l'arbre ne peut pas être interrompu à l'endroit, voulu, on le coude (Jig. 69), et le coussinet de la bielle est

Fig. 69-

placé sur la partie moyenne du coude, ou sur une portion de cette partie, limitée par deux saillies circulaires [congés) ; mais on voit qu'au point de vue géométrique les choses se passent de la même manière dans les deux cas. Dans le premier cas, la grosse tête [Jig. 70 ) est d'une seule

Fig. 70.

pièce avec le reste de la bielle, ei présente une cavité rectan* gulaire qui reçoit les deux parties du coussinet. On fixe ces deux pièces au moyen de deux coins {clavette et contre-clavette), que l'on serre contre le corps de la bielle et que l'on fixe par des goupilles pour empêcher le desserrage de se produire. Dans le cas d'un arbre coudé, l'emplacement du cous-

gS QOAHifcm rA.Km. — «hapitib t.

sinei est déterminé par une pièce rapportée ( cAape) au moyen

de deux boulons (/g. 71) ou d'écrtms {fig. 7:^.

Kg. 71.

Théorie géométrique. — Supposons que toutes les pièces considérées quant à présent comme invariables soient réduites à leurs axes de figures et que la rotation ait lieu de la gauche vers la droite.

Soient {^g-. 73), en projection sur un plan perpendiculaire à l'axe de la rotation,

0 cet axe;

OA = R, AB = L les longueurs de la manivelle et de la bielle; B6 la direction du mouvement alternatir de la tige; d l'angle formé par OA avec le prolongement de OB;

(u = -T- la vitesse angulaire de la manivelle;

1 =: ABO l'inclinaison de la bielle sur 0:r ;

e = j- le rapport des longueurs de la manivelle et de la bielle.

TRANSFORMATION D*ON MOUYBMBNT OIRGfJLAIRV COKTINU9 BTG« 97

Nous appellerons points morts intérieur ei extérieur les positions de À sur OB et sur son prolongement.

Fîg. 73.

Le centre instantané de rotation de AB se trouve évidem^ ment au point de rencontre S de OA prolongé avec la perpendiculaire élevée en B sur 06. La vitesse du point A étant caR, la vitesse angulaire instantanée autour de S est

et la vitesse Y du point B

Si H est le point de rencontre de AB avec la perpendiculaire en 0 sur OB, cette expression devient, par la similitude des triangles AOH et OSB,

On voit que la vitesse V, nulle aux points morts, est égale à celle du bouton de la manivelle, lorsque cette dernière est perpendiculaire à la direction du mouvement rectiligne.

Théorie anal/tique. — Soit K la projection de A sur 06;

on a

AK = Rsin9 = Lsin/,

98 QUÂTUftHl PAKTIE« — CHAPnRB Y.

d'où

sin/ = e sinO, cos/ = /i — «* sm*0 =1 sin* 0 h r— sin* 9 -+■

Mais comme dans les applications e est égal à ~, nous pourronsy avec une approximation bien suffisante, négliger devant Tunité les puissances de cette quantité supérieures à la troisième et écrire tout simplement *

cosi = i sin'0.

Maintenant nous avons

(i) 0B = Lcos/ — Rcose = L

d'où

= wR (sin9 — sinaô)

— r(cos0-+- - sin'ôY

dOB

Si le mouvement de rotation est sensiblement uniforme, on a

(A) V = wR(8inw/ sinaw/j»

Dans ce cas, la vitesse moyenne est

W = - r''v^=-«R = o,637wR.

35. Excentrique circulaire. — Le noyau de cet excentrique est un disque circulaire, souvent évidé à l'intérieur pour en diminuer la masse, monté normalement sur l'arbre, mais

Fig. 74.

dont le centre a [fig. 67 et 78) ne se trouve pas sur l'axe de rotation 0. Un anneau {collier de V excentrique) enveloppe à

TRANSFOMIàTIOH ]>*VN MOUYBMBNT CIEGULilftB CONTINU, BTG. 99

frotte ment doux le noyau et fait corps avec une tige ou un châssis triangulaire (la barre de l'excentrique) dont Textrémité b est articulée à la tige, guidée, en conséquence, de la pièce à mouvement alternatif.

Comme Oa, ab sont des longueurs constantes, on voit que Texcentriqué joue le même rôle qu'une manivelle Oa dont la bielle serait ab* On peut dire aussi que l'excentrique circu* laire n'est autre chose qu'un système formé d'une bielle et d'une manivelle dans lequel le bouton aurait un diamètre supérieur à celui de l'arbre.

36. Manivelle et coulisse. — Lorsque l'on n'a que de faibles efforts à transmettre, on peut supprimer la bielle ; le bouton de la manivelle s'engage alors dans une pièce parallélépipédique ou coulisseau {fig. 76), qui peut se mouvoir dans une

Fîg. 75 •

coulisse normale à la direction du mouvement rectiligne et faisant corps avec la pièce à mouvement alternatif.

En conservant les notations du n"" S^, on voit sans peine que la loi du mouvement rectiligne est donnée par la formule

V = &>Rsin0.

37. Des excentriques en général. — Le système d'une bielle et de sa manivelle, et l'excentrique circulaire transforment un mouvement de rotation en un mouvement alternatif dont le

lOO QUÂTiRlfeME PARTIE. — CHAPITRE t«

rapport de la vitesse Y à la vitesse angulaire o) est une fonction déterminée de l'angle 6 que forme, à un instant quelconque, un rayon OA fixé dans Tarbre, avec la position 0A« qu'il occupe dans la direction du mouvement rectiligne, par exemple, de l'autre côté de l'arbre par rapport à la tige.

Mais il arrive souvent que l'on ait à effectuer la transformation de manière que la distance à l'axe de la tête de la tige à mouvement alternatif soit une fonction donnée de l'angle 6 : I® soit pour une oscillation complète ; 2® soit seulement pour une partie de roscillation, la fonction changeant de forme pour une partie suivante, et ainsi de suite. On monte alors, normalement sur l'arbre, une plaque à laquelle, par une certaine analogie, on a donné le nom à* excentrique y dont le pourtour, taillé d'une manière convenable, doit s'appuyer contre la tête de la tige. L'excentrique agit naturellement sur la tige pour l'éloigner de l'axe de rotation, ou pour produire son mouvement direct; mais, pour la conduire en sens inverse, il faut que la tige soit ramenée au contact par des ressorts disposés en conséquence. Dans certaines circonstances, on peut munir la tête de la tige d'un châssis enveloppant l'excentrique qui agit pour produire le mouvement rétrograde; nous indiquerons plus loin une disposition de cette nature.

Soit en 9 l'angle que forme un rayon déterminé OA de Texcentrîque avec la direction du mouvement rétrograde; r=^(6) la loi du mouvement rectiligne entre les valeurs n, r, de la distance r de la tête de la tige à l'axe de rotation; pour que le problème soit possible, il faut que les équations r,=/(6), r2=f{ô) donnent pour 9 des valeurs réelles 61, 6a, ce que nous supposerons. La relation r^=f{9) sera l'équation polaire de l'arc d'excentrique rapporté à l'axe polaire OA et limité aux rayons vecteurs définis par les angles 9i et 02.

Supposons, par exemple, r= a9 -^-b, aeib étant des constantes; la courbe sera une spirale d'Archimède, et le mouvement de translation sera uniforme si la vitesse angulaire

0) = jT est constante. On réalise le mouvement uniforme alat

ternatif de la manière suivante.

TRANSFORMATIO!^ D*UN MOUTEMENT CIRGULAIBB CONTINa, ETC. lOI

Soient {fig* 76) AB une droite passant par le centre de rotation 0; AMB9 AM'B deux arcs symétriques par rapport à cette droite, à laquelle sont limitées des spirales représentées par réquation ci-dessus, OA étant Torigine des angles Q. Il est facile de voir que tous les diamètres, tels que MM', du contour AMBM' sont égaux à AB. Nous prendrons pour profil de

Fîg. 76.

WK —

l'excentrique le contour ambm' intérieur et parallèle au précédent, tracé à la distance e. .Sa tige à mouvement alternatif est interrompue par un châssis rectangulaire, de manière à pouvoir laisser passer l'arbre 0. Les milieux des côtés adjacents à la tige portent des galets G et G' de rayon e, dont la distance des axes est égale à AB. Il est clair que, lors du mouvement de l'arbre, les galets resteront en contact avec l'excentrique, que leurs, centres décriront le contour AMBM', et que, par suite, le mouvement rectiligne sera uniforme.

On construirait un excentrique à mouvement uniformément varié en prenant r — aô^ 4- 60-f-c, a, A, c étant des constantes.

38. Des rainures, — On peut résoudre le même problème que ci-dessus en montant sur l'arbre un plateau dont l'une des faces porte une roulette. Cette roulette pénètre dans une

I02 QUA.TRflQiB PAtTHE. — CHAPITRE T.

rainure pratiquée dans la pièce à mouvement alternatif. Les limites de la rainure doivent être évidemment déterminées par deux parallèles à la courbe décrite par le centre de la roulette, tracées à une distance d'une longueur égale au rayon de la roulette.

Soient (/g". 77)

Fîg. 77.

0 l'axe de rotation ;

R sa distance au centre m de la roulette ;

C un point déterminé de la pièce à mouvement alternatif situé sur la parallèle Oj menée par le point 0 à la direction de ce mouvement;

Cx la perpendiculaire en C à Oy;

y = Clf x = ml les coordonnées du point m de la courbe mK que doit décrire le centre de la roulette pour que le mouvement de translation satisfasse à la condition donnée, définie par OC=/(0), en désignant par 0 l'angle mOy.

On a

j:=Rsinô,

^= Rcose -OC = RcosG-/(e).

L'élimination de d, entre ces deux équations, fera connaître la relation qui doit exister entre ^ et x, c'est-à-dire l'équalion cherchée de la courbe mK.

Supposons maintenant que l'on connaisse la forme de la courbe définie par l'équation

et que l'on veuille trouver la loi du mouvement ou/(e). L'élimination de X eiy entre les équations (i) et (2) donne

/(Ô) = Rcos6-F(Rsine).

TRANSFOaiULTION d'oK MOCTBIIBIIT CIRGCLAHB GOlfTIICC, BTG. Io3

En supposant x =z const., on retombe sur la transformation dun^'Se*

39. Excentrique triangulaire. —- L'organe dont nous allons indiquer le tracé a pour objet de transformer un mouvement de rotation continu en reciiligne alternatif intermittent.

La fig. 78 représente une coupe faite dans le mécanisme par un plan perpendiculaire à Taxe.

Soient

0 la trace de cet axe ;

DOA la direction du mouvement rectiligne;

ODE la trace de l'arbre ;

MNPQ un châssis rectangulaire dont deux côtés opposés MP et NQ sont parallèles à OA; ce châssis, qui est censé réduit k son périmètre intérieur, laisse passer Tarbre et est fixé aux milieux A, D des côtés MN et PQ, aux deux parties de la tige à mouvement alternatif qui sont guidées en conséquence : sur la figure on suppose que le châssis a été amené tangentiellement au cercle ODE ;

AOB = EOD Tangle dont l'arbre doit tourner pendant l'intermittence .

Décrivons du point 0 comme centre» avec un rayon égal à OA, l'arc de cercle AB limité à OA et OB.

I04 QVATKlftlU PARTIS. — GHAPITRI T.

De iMntersection C de OA avec la peqiendiculaire menée au milieu de la droite qui joint les points D et B nous décrirons un arc de cercle limité en D et B. Nous tracerons de la même manière» de l'autre côté de AD, l'arc de cercle AE qui complète le profil de l'excentrique.

La rotation étant censée avoir lieu de la gauche vers la droite, supposons que l'excentrique soit arrivé en A'B'D'E', le point C éunt venu se placer en C et le châssis en M' N' P' (y. Soient m le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur F Q': T l'intersection de la direction de OA avec la parallèle en m à OC; m sera le point de contact de P'Q' avec le côté B'D' de l'excentrique. Mais comme on a OT=C'm, mT=:OC', le point T est fixe et est le centre d'une circonférence sur laquelle reste constamment le point de contact m, dont la vitesse est par suite la même que celle de C; le mouvement oscillatoire du châssis pendant toute la durée de l'action de B'D' n'est donc autre chose que celui de la projection

Ftg. 79-

d'un mouvement circulaire sur un diamètre. L'intermittence commence au moment où B vient en contact avec PQ, et

TBANSPOtHATIOH D UN MODVIIIBHT aBCULklMI COKTIHO, ETC. Io5

se termine à l'iDsiantoii A touche le même cdlé; puis la seconde oscillation a lien par suite de la pression exercée par AE sur MN.

Lajig. 79 représente la réalisation du tracé précédent.

Les cames et pilons, dont nous parlerons dans une autre Chapitre, donneni un aulre exemple de ta transformation dont nous venons de nous occuper.

i-0. Machines oscillantes. — Ceruins bateaux sont munis de machines à cylindre oscillant, disposition qui n'est justiilée que par l'exiguïté de l'emplacement dont on dispose.

Le cylindre est supporté par deux tourillons horizontaux de même axe {fig- 80) s'engageant dans des coussinets. La tige du piston s'articule directement avec la manivelle, dont l'axe horizontal de rotation est compris dans le même plan vertical que celui des tourillons. On voit immédiatement que

Fîg. 80.

Fis- i

le cylindre doit être animé d'un mouvement circulaire alternatif, et qu'une oscillation complète correspond à une révolution de l'arbre.

Soient (Jig. 81), en projection sur un plan perpendiculaire

lo6 QUàTRIÈMB PàATIB. — GHAPITRB Y.

aux deux axes> en réduisant les pièces à leurs lignes de symétrie,

0, 0' les axes de rotation de l'arbre et du cylindre ;

OA = R le rayon de la manivelle ;

0 l'angle qu'il forme avec 00' ;

d6 w = -1- la vitesse angulaire de l'arbre ;

a la distance 00' ;

X la longueur variable AO' ;

dx V = ^ la vitesse relative du piston dans le cylindre.

Théorie géométrique. — La tige du piston étant assujettie à passer constamment par le point 0', son centre instantané se trouve à l'intersection S de OA prolongé avec la perpendiculaire en 0' à O'A. Si donc on appelle &)' la vitesse angulaire de 0' A autour de S, on a

w'xSA=wxOA; d'où, en abaissant la perpendiculaire 01 sur 0' A,

Cette rotation peut être considérée comme résultant d'une rotation égale autour de 0', qui sera la vitesse angulaire du cylindre, et d'une translation

«' X SO' ou V = « X 01, qui sera la vitesse relative du piston dans le cylindre. Théorie analytique. — Le triangle AOA' donne

X = )/a^ -h R' — 2 ûR cosO ,

d'où, en développant en série, .-^ — ^r aRcosQ fl'R' cos'Q o^R' cos'Q "1.

a mais, comme on prend toujours R au-dessous de j? on peut

TB4NSF0R1IATI0N D^UN HOUTEMENT GlftCULAIRB CONTINU, ETC. IO7

s'en tenir aux trois premiers termes Mu développement et écrire

/-5 — 53 r flR . a'R' cos»01

d'où

^r dx «R r . ^ /îR gin'Q'l

^^ v/a'H-R=»L (û'-hR*) 2 J

En négligeant le carré de - ^ on a tout simplement

V = ft>R ( sinô I

Si Ton désigne par p l'angle AO'Oou l'obliquité de la tige

du piston, on a

RsinG=:.2:sinp,

d'où

sinp = -— ={i-h-5 — sâCOSÔ ).

R Le rapport --== est généralement assez petit pour qu'on

puisse prendre

io8

quathièmb partie. — ghapitrb ti.