Occupons-nous maintenant de sa théorie analj'tique en
I!l4 QUATRIÈMB PARTIE. — CHAPITRE YI.
laissant de côté la suspension et conservant autant que possible les notations adoptées jusqu'à présent. Soient
J l'intersection de la coulisse avec l'horizontale OE; 6, A, d les projections horizontales de B, H, D ;
Mzzrffl, a'=IJ, U"=UJ.
On a
(l) u=: ur -h «
La distance OJ sera donnée par la formule (3) du n? 43, en y remplaçant u par u', ce qui donne
OJ
[c* — tt" "l rii' — sinan — cosa 8in{«p-ha) j- C08ac08(f -ha)
^l ^ ^ ~" 477 [^^ "*■ '^'^ ^'°*^ -^- (^ - «') si»' (î -^ *«)]
nous avons, d'autre part, d'après la figure et la formule (a) du numéro précité, en y remplaçant « par u'^
Jh = u'sinc
= (cosa-h jSina j COS(f H-a)H ^ i COSasin (ff-ha) I
H T-J{ [sin'(ç-v2a) — sin'y] cos*acos'(y -+-a){;
enfin, d'après la formule (4) du n® 47, en y remplaçant u par m",
AE
On a donc tous les éléments voulus pour obtenir et l'on trouve, réduciions faites, en éliminant de plus u" au
TRANSFORUàTION d'oN mouvement GIRGULâIEE continu, etc. 125
moyen de réquation (i),
OE
(c* — uu' \ . / .
— sinan — cosaj 8in(f -ha)
ruV r (« — «') . 1 , , I COSa H i — sina I cos(ç -e a)
— |77 [(<^ -*- «) sin'? -h (c - tt) sin* (<p -+- aa)]
-jy [^ — a'(tt'-Haa)]cos'acos*(«p-ha).
Pour que la moyenne valeur de OE, pour 9 = go* + « et f = 270'' + a, soit indépendante de u et u% variables qui sont d'ailleurs fonctions l'une de l'autre, il faut que
Cherchons maintenant à exprimer u en fonction de u^ pour la position moyenne des excentriques.
En menant DM parallèle à BB% on a
DM = «»§| =(«-«')/.
Supposons que les tiges de suspension LI et CD soient égales entre elles, et soit V le rapport des bras de levier LF et FC. Quand I et H coïncident sur OE, le levier LC est horizontal et les tiges de Suspension verticales. Si l'on fait tourner le levier LC autour de F, le centre instantané de BB' se trouve sur OE, ceux de LI et CD sont a rinflni et celui de BE est en E; d'où il suit que les déplacements élémentaires de I et*L sont égaux et verticaux et qu'il en est de même de ceux de C et D, et enfin que les ordonnées de I et D sont proportionnelles à LF et FG; de sorte que, en prenant Déf = DM, on a
DM = «' =^ = i'«',
126 QUÀTBiftHI PAKTIB. — CHAPITBB Tf.
lU
Si Ton porte cette valeur dans l'équation de condition (3 ), on trouve
(5) i^yj'^i'
relation à laquelle on devra satisfaire.
En posant maintenant, pour abréger, y = -: -,y nous au-
rons u' =:yuy et la valeur (a) deviendra
OE
= r ( — sinaH j- — cosaj 8in(<p-4-a)
cosa H ^— — ^sma |cos(f -na)
ac'/
COs'aCOS'(ç-ha).
Quant au système de relevage, on ne peut que recommander de donner aux tiges de suspension d'aussi grandes longueurs que possible.
61. Coulisse de Finck. — Dans celte disposition {Jig. 91 el 92}, la coulisse circulaire HB est fixée normalement à la barre AB d'un excentrique OA articulé en G à une lige LG mobile autour du point L. La lige oscillante, mobile suivant OE, est articulée en E à une bielle EH dont l'autre extrémité H> munie d'un coulisseau» s'engage dans la coulisse.
On peut faire varier à volonté la position du coulisseau dans la coulisse, au moyen d'un système de relevage FCD dont F est l'axe de rotation, CD une lige articulée à la bielle et au levier CF comme dans les deux coulisses précédentes.
En prenant la tige GL suffisamment longue et déterminant le point L de manière que GL soit vertical pour la moyenne
TRANSFORMATION d'uN MOUTEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. I27
des positions de la barre d'excenlrique correspondant 39 = 0 et <p = 180°, le point G décrira un arc de cercle qui se con-
Fîg. 91.
fondra tres-sensiblement avec OE, de la même manière que si G était guidé par une glissière, comme nous le supposerons dans ce qui suit.
Soient
^ l'inclinaison de AG sur GO;
/I9 h! les projections du point H sur les directions de OE et AB ;
r = OA, a = AG, 6 = GB, /' = HE;
p le rayon de la coulisse ;
Nous supposerons, sauf à déterminer ultérieurement à
128 QUATBIÈMB PARTIS. — CHAPITRS TI.
quelle condition il doit satisfaire pour qu'il en soit ainsi, que le mode de '9uspension est tel que u reste à peu près indépendant de f ..
Nous aurons d'abord
(i) 8inp= - Binf.
/* u Nous admettrons que - et j- sont d'assez petites fractions pour
que l'on puisse écrire
co8p = i-Jl=i-— ^sinY
Cela posé, on a évidemment,
(3) OE = — r cosf -h (fl-f- ^-+- x) cosp H-jsinp -»-/' — -^*
* En projetant la ligne brisée G A' H sur la verticale, on trouve
a = jcosp — (a:-H è)sinp
OU, comme la flèche de la coulisse est toujours très-petite,
D'autre part, on a d'où
^ ' 2p apcos*p
En portant les valeurs (4) et (5) dans l'équation ( 3) et ayant égard au degré d'approximation adopté, on trouve, réductions faites.
OE
TRANSFORMATION B UN MOUTEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. I2g
Pour que la moyenne valeur de OE, pour 9 = o el © = 180°, soit indépendante de Uy il faut que
et Ton a par suite
OE = fl -t- ^ -4- /' — rcos<p -+-« ( iH — 1 -sinq) -+- M 6 — a H — I -,• sm'flp.
La longueur u ne variera pas sensiblement avec f pour une
position déterminée du point C, si le point D décrit un arc de
cercle dont la corde soit horizontale; mais alors C se trouvera
sur un lieu géométrique dont il convient de déterminer la
nature.
DE L'abscisse du point D est, en appelant i le rapport -rr^r 9
Od = OE-^dE=OE- iJiE
= a-h b-i-l' — rcos<p-4-M 1 I-+-- I - sin«p
dont la moyenne valeur entre <p = o et © = 180®,
sera l'abscisse du point C. Son ordonnée sera, en posant
CD = l\
/=/''-Drf = /" — /«,
d'où, par l'élimination de u^
équation d'une parabole dont l'axe est horizontal, dont le paramètre est 2/^1 et dont les coordonnées du sommet sont
Cette parabole pourrait être remplacée dans sa partie utile I III. 9
l3o QUÂTBIÈMB PAIITIB. -- CHAPITRE VI.
par un arc de cercle de rayon ri; mais, dans la pratique, on prend CF inférieur à la longueur de ce rayon.
52. Coulisse d'Heusinger de ^aldegg. — Celle coulisse BH {fig, 93 el 94), dont la concavité se trouve du côté de l'axe 0, est mobile autour de son milieu I, tandis que son exlré-
Fig. 93.
mité inférieure B est articulée à celle de la barre BA d'un excentrique OA ; OA' est une manivelle perpendiculaire à OA;
et A'B' sa bielle; l'extrémité B' de cette bielle est assujettie a parcourir une glissière horizontale dont la direction passe par
TRANSFORMATION d'oN MOUTBMENT GIRGULAIRB CONTINU, ETC. l3l
le point 0. La tige verticale B'D est fixée invariablement à la petite tête B' de la bielle A'B'; DK est une autre tige articulée en D à B'D et à une troisième tige KH terminée en H par un coulisseau qui s'engage dans la coulisse. On peut rapprocher ou éloigner à volonté H de I au moyen d'un système de relevage identique à ceux des trois dernières coulisses que nous avons étudiées. Sur le prolongement , au delà de K, de DK^ se trouve l'articulaiion £ de la tige oscillante dont le mouvement horizontal est guidé en conséquence.
Si nous supposons que, pour la position moyenne de la coulisse, dont la flèche est d'ailleurs supposée très-faible, la tangente en I soit verticale, toute corde partant du point I s'écartera peu de cette direction, ou la corde de l'arc décrit par un point de la coulisse pendant une révolution de l'arbre sera horizontale et pourra être considérée comme se confondant avec son arc.
L'application de' l'analyse à celte coulisse conduisant à des calculs inextricables, nous nous contenterons de l'approximation géométrique suivante, en supposant, pour plus de simplicité, que les tiges AB, A' B' soient assez longues pour que l'on puisse en négliger les obliquités.
Soient
r= OA, R = OA'les longueurs de l'excenlricilé et de la manivelle; 9 l'angle formé par OA' avec le prolongement de OB'; 2 c la corde de la coulisse; u la corde IH; (ù la vitesse angulaire autour du point 0.
La vitesse du point B étant
celle de H est
wrcosf -
Concevons maintenant que l'on imprime à tout le système une vitesse égale et contraire à celle g>>R sin<p de la tige DB' :
l32 QUÀTRIÈMB PÀRTIB. *~ CHAPITRE YI.
la vitesse du point H deviendra
w ( r - costf — R siny 1 .
Le point D étant ainsi supposé fixe, le centre instantané de KH se trouvera à Tintersection S de KD prolongé et de la verticale du point H; la vitesse du point K sera par suite
fru „ . \SK
w( — cos<ï) — Rsinçjgrr;
celle du point E
fni . \SK DE
et sa composante horizontale
«|^.C0ST-Rsin7Jgggg,
h étant la hauteur verticale de E au-dessus de D.
Si maintenant nous restituons la vitesse de B'D supprimée par la pensée, la vitesse réelle de la tige oscillante sera
flOK (rn ^ . \SK A ^ .
-^ = a> (^- cosy - R sinyj gg ^ H- a>R sin^,
E' étant la projection de E sur OB'.
Si J est rintersection, avec la verticale de H, de la parallèle menée par D à KH et si Ton remarque que rf<p = w dt^ Téquation précédente devient
On peut intégrer approximativement cette équation en remplaçant HJ par sa valeur X, qui correspond à la position moyenne de la coulisse, ce qui donne
(i) OE = — T sinf "~ ^ ( ' "" T ) c^sy H- const.
Quant au mode de suspension qu'il convient d'adopter, nous nous reporterons aux considérations que nous avons exposées plus haut.
TRANSFORMATION B'uN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l33
§ IV. — Coulisse des machines des bâtiments à vapeur.
53. De la coulisse ordinaire des machines oscillantes. — Le mouvement alternatif, et relatif par rapport au cylindre, de la tige destinée à produire la distribution est généralement obtenu en employant la disposition suivante (7?^. g5] :
Fîg. 95.
OA' est un excentrique monté sur l'arbre 0, et dont la barre A'B' imprime un mouvement alternatif vertical translatoire à un châssis guidé en conséquence, et dont le plan est perpendiculaire à Taxe de rotation. Un maneton m adapté à ce châssis s'engage dans une coulisse dont le plan est perpendi-
l34 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE Yl.
' culaire à Taxe 0, et qui ne peut se déplacer que parallèlement à la tige du piston au moyen de guides disposés suivant les génératrices du cylindre, et c'est à cette coulisse qu'est fixée la tige de distribution.
Soient
OA = R la longueur de la manivelle; 0' l'axe de rotation du cylindre; • a la longueur 00';
0, P les angles AOO', AO'O ;
0'. le point du plan mobile de la coulisse qui se trouvait en 0'
lorsque l'on avait 6 = o ; cf, l'angle dit d'avance que forme OA' avec la perpendiculaire
en 0 à OA ; r= OA', /= A'B' les longueurs de l'excentricité et de la barre
d'excentrique; h la distance mB'; X, y les coordonnées 0', m et mm! du point m par rapport aux
axes rectangulaires 0'^ A et 0', j.
Nous avons établi plus haut (40) les formules suivantes :
sinp = - ( I -+- —. — =ri cosô ) ,
cosp= I —
R'sin'ô
a(fl^-+-R")
La relation indépendante de 9, qui existe. entre x et/, sera l'équation de la courbe qui doit affecter la coulisse pour que la transformation de mouvement proposée soit possible.
On a
x = 0'/7i'-0'0; = 0'/w.cosp — O'O'o, jr = 0'/?i.sinp et, en négligeant Tobliquité de la barre d'excentrique ou les termes de l'ordre — ^j qui sont toujours très -petits,
O'm = O'B'- B'm ==a — OB'— /< = a -h- /h- rsin(0 -+- a).
D*autre part, la vitesse du point B' est
rCOS(0-ha)y,
TRANSFORMATION d'uN MOUTBMENT CIRGULàIRK CONTINU, ETC. l35
et celle de O'o» qui en est la composante suivant O'A,
7*003(0 -ha) COSp-^,
de sorte que Ton a
O'O; = r f CQS (0 -h a) cosp dB
r r^ dQ 1
= r sin(0-h a)co8p — sina -f- / sin(0-+- a) sin{5-~cro .
II vient, par suite, eu négligeant l'intégrale de cette exprès-
sion, qui est de Tordre de -;; — =7-?
, ^ (a;={a — l — /<)cosP -h rsina,
( jr= [a — l — h) sinp^ rs\n{B -h a) sinp.
Si Ton néglige le second terme de /, qui est relativement petit, on a
X — rsina = (a ^ l — /j)cosp, y = (a — l — A)sinp, d'où (3) (x-^rs\noLY-hf={a-l'-h )\
équation qui représente un cercle dont le rayon est égal à la dislance moyenne du maneion à Taxe 0' et dont le centre se trouve situé à la hauteur r sin a au-dessus de cet axe pour 6 = o. Si Ton voulait pousser l'approximation plus loin, il faudrait remplacer, dans Téquation
rsin(Ô-+-a)p
d en fonction de j par sa valeur approchée déduite de la relation
4) 7 — 7 = sinp =
Mais la courbe définie par Téquation finale n'est pas admissible, puisque sa forme dépend de l'angle a, tandis que la coulisse doit se prêter à la marche en arrière , ce qui exige que l'on déplace l'excentrique de i8o degrés par rapport à la manivelle ou que a soit augmenté de i8o degrés.
fx — rsinaV y
l36 QUàTRIÈMB partie. — CBAPITRB VI.
Le mode de transformation dont nous nous occupons est donc vicieux en principe» et ce n*est qu'au moyen d'un jeu convenable dans la coulisse et d'une faible amplitude du mouvement oscillatoire qu'il peut recevoir son application.
En laissant de côté cette imperfection, le mouvement alternatif du tiroir sera défini par la formule (i), qui devient, en remplaçant ^ par sa valeur en fonction de 6,
O'O; = r[sin(0-ha)-sina]
+ ip7V^i[8in(0-a)-2sin(0+a)--|8in(3©-ha)-4sina^
OU encore
0'0', = r[sin(OH-a)--sina]
(6) { -J-TîTij ; [8inOcosa-+-3cos0sina-+-7Sin3Ocosa
-h|cos30sina— ^sina].
Si*. Coulisse des machines oscillantes des bateaux à vapeur des lacs de la Suisse.-- Dans les machines oscillantes de ces bateaux (^g*. 96), l'admission et l'échappement de la vapeur s'opèrent, respectivement pour l'une et l'autre face du piston, au moyen de deux tiroirs adaptés sur le cylindre, symétriquement situés par rapport au plan, parallèle à l'axe de rotation et passant par la tige du piston.
L'extrémité de la tige de chaque tiroir est articulée à l'une des extrémités d'un levier mobile autour d'un tourillon fixé au cylindre parallèlement à Tarbre moteur; l'autre extrémité est terminée par un coulisseau qui s'engage dans une coulisse perpendiculaire à l'arbre, maintenue latéralement par deux guides verticaux et à laquelle un excentrique, monté sur le même arbre, imprime un mouvement de translation alternatif. Le boulon d'articulation de chaque levier avec la tige du tiroir correspondant est nécessairement parallèle au tourillon du levier, et le bras de levier de cette articulation, ou sa distance au tourillon, est horizontal lorsque le cylindre prend la position verticale.
Pour éviter les flexions de la tige de chaque tiroir dues à la courbure de l'arc décrit par l'extrémité du levier, on emploie
TKANSFOBMATIOn D UN MOUVEMENT CIBCULAIRH CONIIKU, BTC. l37
une petite bielle intermédiaire, on allonge un peu l'œil de la lige dans le sens de l'axe de la tige; néanmoins il convient de limiter les angles décrits à un nombre restreint de degrés.
D'après cette description, on voit que tous les organes de la distribution se meuvent parallèlement au plan de la coulisse, soit dans leur mouvement absolu, soit dans leur mouvement relatif par rapport au cylindre.
l38 QUÀTtlkMB PlITIB. — caiFITlB VI.
Soient [Jig. 97 ) 0 l'axe de l'arbre ; 0' celui du cylindre; a la distance de ces axes; K = OA le rayon de la manivelle ; $ l'angle qu'il forme avec 00* ; rrexceniricilé;
a l'angle constant qu'elle Tait avec la perpendiculaire à OA ; p l'angle variable AOO' ;
Fig. 97-
D la position du tourillon de l'un des tiroirs correspondant aux angles |3 et 9;
T = O'D le rayon de l'arc de cercle décrit par ce tourillon autour du point 0;
E la position du coulisseau ;
T sa projection sur 00';
C la position du centre de la coulisse;
p = CE le rayon de la coul isse ;
X l'angle Terme par 0' E avec le prolongement de O'D;
/' = DE la longueur de la tige qui relie le tourillon du tiroir au coulisseau ;
TRANSFORMATION D*UN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. iSg
D«, E« les positions des points D et E, x^ la valeur de x correspondant k 6 =o;
ôx = Xo ~" X I® déplacement angulaire éprouvé par le levier ED à partir deTiostant où la direction de la tige O'À coïncidait avec celle de 00', et qui a donné lieu au déplacement du tiroir.
En négligeant l'obliquité de la barre de l'excentrique, le chemin décrit par la coulisse à partir de la position correspondant à d = o est
/•[sinx — sin(0-f-a)].
Nous supposerons que pour 6 = o le centre de la coulisse coïncide avec le point 0', de telle sorte que Ton ait
O'C = r[sina-sin(0-ha)], p = 0'E,.
En joignant les points 0' et E, la figure donne, en remarquant que Tangle DO'D« est égal à p,
O'E =r»-h/'^-+-arrcosx,
O'E =p'h-0'C H-aO'C.CT=p»^r*[sin(0-ha)-sinap -+- ar[sin{0-ha) — sina]CT,
CT =0'T-0'C = r[sin(Ô4-a)-sina]H-rcos(p-i-A)-t-/'cos(x-S-A),
d'où, par l'élimination de O'E et de CT,
p'= r^-f- l'^-h 2r/'cosx + r" [8in( Ô h- a) — sina]'
-^2r[sin(ô-4-a) — sina] [rc03(P-hA) -+-/'cos(x — P — A)].
D'après ce que nous avons dit plus haut, ^x ^oil être un petit angle, et nous pourrons en négliger les puissances supérieures à la seconde, en considérant, si l'on veut, cet écart
comme étant du même ordre de grandeur que y et =•
Nous poserons donc
cosx = cos(xo- h) = cosxo (ï - -f* ) •^- ^XSinx. , cos (x - ? - A) = C08(x«- P - A) (ï~ —•) - ^Xsinxo'.
l4o QUATRlfcUE PARTIE. — CHAPITRE YI.
L'égalité précédente peut se décomposer dans les deux suivantes :
(i) p^=r'-h/"-haR7'cosx,,
i-hî/Tsinx^^X — ^'ï'^osx«V-+-'^[sin(0-Ha) — sina]* -H2r[sin(0-4-a)— sina][r(cosp-hA)-H/'cos(xo — P — ^) -f-/'sin(x.-p~A)^x] = o.
En ne conservant d'abord que les termes du premier ordre en r et 5x» 1* dernière de ces équations donne
. r[sin(e-i-a) — sina][rcos(p-hA)-h/^cos(Xo— S-A)]
et, en portant cette valeur dans les termes du second ordre de la même équation, on trouve
/ a/'rsinx«'îx = "~ ^''[sin(9 -+-«)— sina]
X ~ — ' „ . , ^ — r^ Isin { Ô -+- a) — sin xj-
r/'sm'Xo
(4) { ^ ( i~cosXoFcos(p-i-A)+/^cos(Xo--P-A)]
( r/'sin^Xo
rsinxo )
Si la valeur (3) était suffisamment approchée, le coefficient r cos(A H- P) -f- /' cos(xo ■— (3 — A) ne variant qu'entre des limites assez rapprochées, la loi du mouvement relatif du tiroir par rapport au cylindre ne serait pas très-différente de celle qui résulte de l'emploi d'un simple excentrique, monté sur l'arbre d'une machine à cylindre fixe. On est donc naturellement conduit à chercher s'il ne serait pas possible de profiter de l'indétermination de quelques-unes des quantités qui entrent dans ce coefficient de [sin(6-ha) — sina]' de l'équation (4) pour annuler ce coefficient ou le transformer en un terme du troisième ordre.
Nous poserons donc
[rcos(|3-hA)-h/'cos(x„-?-A)P
