ÂS
AS = -^ = -^, sinABO = s sinO,
BK = L cosABO = L (i ^ je' sin'Ô), en négligeant la quatrième puissance de l'obliquité; d'où
,^ Lfi-ie'sin^ô)
CCS 6
par suite
w'= wscosO(i-h^£'sin*0).
On aura alors, pour le travail élémentaire dû au frottement,
Ffp' • ^ (i — s cosô — -i s* sin'0 cosô) «cft
ou, comme w rf/ = c/S,
(i) --ML:(i--6.cosÔ--iÊ»sin»Gcos0)rf0.
Supposons en particulier que l'obliquité soit assez faible pour en négliger le cube, et que le mouvement soit déterminé par une force constante P appliquée en B, et dont le sens change après chaque demi-révolution; F sera la résultante de P et de la réaction normale N des patins sur les glissières, en négligeant le frottement correspondant; décomposons la force P en deux autres, Tune normale à OB qui détriiira N, et l'autre dirigée suivant AB, et qui ne sera autre chose que F; mais cette dernière a pour expression
^ =P(n-|g»sin*0),
cosABO de sorte que le travail élémentaire (i) devient
(i — g cosô -+-{€* sin'0)c?ô.
Pour une demi-révolution le travail sera l'intégrale de cette expression prise entre les limites 0 = o, S = tt,
97. Du frottement dans les engrenages cylindriques. — Nous ne considérerons que le cas d'un engrenage extérieur; celui d'un engrenage intérieur s'en déduira en changeant le signe du plus grand des rayons des circonférences primitives.
24^ QUATRIÈMB PARTIS. — GHÀPITB1E I¥.
Soient (/g-.i 35)
0', 0 les centres de la roue menante et de la roue conduite,
la rotation de cette dernière étant censée avoir lieu de la
gauche vers la droite ; •
R', R les rayons des circonférences primitives de ces roues; A le point de contact de ces circonférences; m le point de contact des protils mal de la roue 0', et ma de
la roue 0.
p la normale m A; 9 son inclinaison sur mO; ds Tare décrit dans le temps dt par un point de Tune ou Tautre
(les circonférences primitives;
Fig. i35.
P, Q les efforts, respectivement équivalents à la puissance et
à la résistance utile, tangents aux circonférences 0, (>; N la réaction normale de la dent ma sur ma* ; N' la réaction égale et contraire de ma' sur ma; f le coefQcient de frottement.
Les frottements N/, N'/étant directement opposés, il suffit de trouver la direction de Tun pour obtenir celle de l'autre. Le glissement p { ûD 4- w' ) de.ma sur mc^ ayant lieu vers la
gauche 9 les directions de N'/, N/ sont respectivement dirigées vers la droite et vers la gauche^ comme Tindique d'ailleurs la figure.
Soient H et H' les projections de 0' et 0 sur les directions de N et N', on a
0'H'=:R'sin^, OH =Rsinf;
H'/7i = R'cos<p -h/?, Rm=Rcos(f — p.
Mais on a, pour exprimer que les forces, qui sollicitent les roues 0 etO' considérées comme libres autour de leurs axes respectifs, se font équilibre,
PR = N.O'H'-+-N/.H'/w, QR=N'.OH-hN'/.Hw,
ou, en se rappelant que N = N',
d'où
P = N Fsiny 4-/Uos<p -4- ^A\j Q = N Tsiny -h/ Uo8(? - ^ j J;
sin^p-h/^cos^H- ^j siny-i-/^cos<p— ^j
Si / était nul on aurait P = Q ; la force tangente à la circonférence primitive 0' équivalente au frottement est donc F = P — Q, et l'on a
sin?-h/fcosy~^j Soient
Ai le point de la circonférence primitive 0' qui doit succéder à À sur la ligne des centres au bout du temps ^/; A,mi la normale abaissée de ce point sur ma' ; I la projection de A sur cette normale.
On a
AA^= dsy A,I = dpf
aSo QUATBlfelll PARTIS. — CHAPITRE IT. .
et dans le triangle Ai AI
Le travail élémentaire Fds du frottement a^ par suite, pour expression
sinç I sinf +/^co8f — Ç\\
Fds =
et le travail total, en supposant constante la résistance Q ,
Le profil des dents de la roue 0 pouvant être défini par une équalion de la forme /? = F(9), la détermination de S/se ramène à une quadrature; l'intégration peut s'effectuer pour les engrenages à flancs, à développante de cercle et à lanterne ('); mais nous nous bornerons à donner la solution approchée admise dans la pratique.
Si nous négligeons le carré def, qui est ordinairement inférieur à 7~, on a
Cette formule montre déjà que S/, pour l'étendue du contact d'un couple de dents, sera d'autant plus faible que p restera plus petit. Il y a donc avantage, en vue de diminuer le travail absorbé par le frottement, à réduire à peu de chose l'étendue du contact entre deux dents; dans ces conditions, 9 s'écartaht très-peu de sa valeur 90 qui correspond au moment où le contact a lieu sur la ligne des centres, l'équation (1) peut, par approximation, être remplacée par la suivante :
dp = sin<j><> dsj d'où p = siny,^,
(*) Foir, à ce sujet, mon Mémoire sur le frottement des engrenages coniques et de la vis sans fin {Journal de V École Polytechnique, XXXIII* Cahier).
ei réquation (3) par
d'où
(4) ^/ = 0/(i-Hi)J,
expression dans laquelle s est censé représenter le pas de l'engrenage. Le travail utile étant ^„= Q5, l'expression précédente peut se mettre sous la forme suivante :
Soient n, n' les nombres de dents des roues 0' et 0; on a
ns = 27rR, ris = 27r R',
d'où
Telle est la formule que Ton emploie dans les applications pour apprécier le travail absorbé par le frottement.
Cette formule (6) s'applique également dans le cas d'un engrenage intérieur, en changeant de signe le plus grand des nombres n et n'.
98. Du frottement dans les engrenages coniques. — Soient (/ff. i36)
SO', SO les axes de la roue menante et de la roue conduite;
0)', w les rotations de ces deux roues qui ont lieu respectivement de la droite vers la gauche et de la gauche vers la droite pour l'observateur couché successivement suivant SO' et suivant SO en ayant la tête en S ;
SA, Sm les génératrices de contact des cônes primitifs et d'un couple de dents auxquelles, comme on le sait, le plan SA m est normal;
P, Q les forces équivalentes à la puissance et à la résistance utile, respectivement tangentes à deux circonférences des cônes SO', SO passant par un même point A de l'arête de contact SA;
QOàTBIÈIIB PàBTIB. — GHAPITBB lY.
r', r les rayons 0' A, OA de ces circonférences;
d y a les angles connus O'SA, OSA;
OL Tangle AS m;
9 Tangle des deux plans SAO, SA m;
A m la normale menée aux dents par le point m;
ma\ ma les lieux des pieds des normales abaissées des points
des circonférences 0' A, OA sur les dents correspondantes; N la réaction normale de la dent %ma sur la dent Srn'a', qui
est égale et de sens contraire à l'action N' exercée par la
seconde dent sur la première ; n le point d'application de N'; /le coefflcient de frottement des dents.
Fig. i36.
En déterminant le sens du glissement de la dent Smflsur la dent Sma' considérée comme fixe, ainsi qu'on l'a fait pour les engrenages cylindriques, on détermine le sens de N'/, tel que l'indique la figure, par suite celui de N/.
Par le point K où la direction de N rencontre SA, menons les perpendiculaires KF, Kl à SO', SO, en prolongeant la pre-
CALCUL DBS RfiSfSTANGBS P ASSITES DANS LES HAGflINES, ETC. 253
mière en Kx au delà de A; la perpendiculaire Ky au plan des axes, et la parallèle K^ à Taxe S0\
Les angles trièdres SKnx, SK/i/> ayant pour sommet le point K, donnent
cos(N, a:) = — C08/iKa7 =• sinasina'— co6acos«'8in<p,
cos(N, j) = — cosnKy = cosasinf.
En menant la parallèle KH^ à N/, Tangle trièdre SKH, dont K est le sommet, donne également
cos(N/, x) — cosHKx = cosasiny.
Enfin il est visible que
Abaissons du point n la perpendiculaire ni au plan SKx, la perpendiculaire np h SA; ni est le bras de levier, par rapport à SO', de la composante de N/ parallèle à K^; le triangle npl
donne
KF
/;/ = np sinç = nS sina sincp = SK cosasina sino) = -. — , sina cosasinv.
Si J est la projection de n ou / sur K^, T J est le bras de levier de la composante de N/ parallèle à Kj. Or
rj = VK -H KJ = VK -+. nKcosnKx = l'K -f- SK sina cos^K^
— l'v ( sinacosAzK^N
\ sino y
d'où, en remplaçant cosnK^ par sa valeur trouvée plus haut,
FJ = FK (cos*a -f- sina cosa cota' cosf).
L'équation des moments appliquée à la roue SO' est Pr'- Ncos(N,7) FK - N/cos(N/, x) /i/- N/cos(N/, j) l'J = o, ou, en vertu des valeurs que nous venons de déterminer,
(i) Pr' = rK(cosacoSf -l-/coS(pCOs'a H-/cota'sinacosa)N.
On aurait à faire un calcul identique pour la roue SO; ce-
'254 QÙATRitliE PARTIE. — CHAPITRE lY.
pendant la formule relative à celle roue peut se déduire immédiatement de la figure et de la formule (i), en vertu d'une certaine analogie qu'il est facile d'établir. Quoi qu'il en soil, on a
(2) Qr= IK(cosasin«ï> -4-/cosycos*a— /cotflsinacosajN'.
Des formules (i) et (2) on déduit, en remarquant que l'K r'
P siny -f-/co8y cosa sina -^fcota' sina Q~ siny -t-/cos<p cosa — /cotrt'sina
Si le frottement était nul, on aurait P = Q; la différence F = P — Q représente donc la valeur de la force tangente à la circonférence O'A équivalente au frottement, et l'on a
,,. c* rki- sina(C0t<7 -4-COt<7')
sin<p-f-/cosf sina — /cot^sina
On peut mettre cette expression sous une autre forme; menons, à cet effet, au point 0 dans le plan OSO' une perpendiculaire à SA limitée en L' et L à SO', SO, et posons
R'=AL', R = AL, p = Xm;
nous aurons
I f\ • P 1 -/ AS .AS
(4) sma=-^, cotfl'=-g7j cota=-g-j
par suite
Sin^ H-/ COS<p cosa — iT /?
formule aussi simple que celle qui lui correspond dans la question des engrenages cylindriques, et sur laquelle on retombe d'ailleurs en supposant a = o.
Proposons-nous maintenant de trouver l'expression du travail élémentaire F rfs du frottement, ds étant l'élément de la circonférence OA. Soient (fig.iZÇ> et 187) SA m, SA,m, deux plans normaux à la surface de la dent S ma' menés par deux
CALCUL PBS RfiSIST ANGES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 255
points A, Al distants de ds de la circonférence O'A; nous aurons
AS/W = a, A^Sm^ = d-h dct.
Soit AAi/n/n, le quadrilatère sphérique déterminé par les .quatre droites SA, SA,, S/n, Sm» sur la sphère de centre S et
Fig. iS;.
irv
d'un rayon égal à SA. Les éléments de surface AAi m/n„ S mm, sont perpendiculaires au plan SA m, et la projection de Taire SA, m, sur le plan SA m, peut être considérée comme étant égale à elle-même; et comme Taire SA m est égale à la différence des projections des aires SA, m,, SAA, sur son plan, on a
SA* SA^ , , SA , . a = (a H- doL) <wsinç,
d'où
,^. , c. doL ^.cota'da. - coiada.
( 6 ) rW = SA -: = W : = tt :
^ ' sin^ sioîp sin«p
OU encore, en vertu de la première des relations (4),
Les formules (3) et (6) donnent la suivante :
Fd:y = Q/(R'cotV-t-Rcot*fl) -. — r-- r ^^"'''^'' r . • — ^^
•^ ^ ' sin9(siny H-/cos<ï)COSa — /cotflsina)
et Ton a pour le travail total dû au frottement
^r= 0/(R'cot*a'+R cot^fl) r J-. ^inii!^! ,
256 QUàTEIÈMB PÀRTU. — CHAPITRE lY.
formule dans laquelle on devra remplacer cp par son exprèssion en fonction de <x, qui définit la nature de l'engrenage.
L'intégration peut s'effectuer lorsque la surface SA m est un plan méridien ou une développante de cône; mais nous ne nous arrêterons pas à ce détail ( ' ) qui offre peu d'intérêt. Mais, comme il est visible que le trsçvail du frottement pour rétendue d'un contact est d'autant plus petit que les dents sont plus courtes ou que a est plus petit, nous supposerons, comme cela a lieu d'ailleurs dans la pratique, cet angle assez faible pour qu'on puisse considérer son cosinus comme égal à l'unité. Alors les formules (5) et (7) deviennent
sino) sincp '*■«-«-'» î
/(cosç-g)
Or ce sont précisément les mêmes que celles qui se rapportent à un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient R' etR; nous n'avons donc qu'à nous reporter au numéro précédent, dont la formule (5) s'applique, par suite, aux engrenages coniques comme aux engrenages cylindriques.
99. Du frottement dans la vis sans fin. — Nous supposerons, pour fixer les idées, que les axes de la vis 00 et de la roue O'O' (fig. i38) sont horizontaux; que le pas de la roue est assez petit pour que l'on puisse sans erreur sensible considérer le contact entre une dent et le filet comme ayant lieu, sur toute son étendue, dans le plan passant par 00 et perpendiculaire à O'O', et par conséquent sur une même hélice du filet; c'est seulement dans ce cas, d'ailleurs, que l'engrenage est sensiblement exact.
Soient [fig. i38)
R, R', r les rayons de la manivelle, de la roue et du cylindre de l'hélice sur laquelle le contact a lieu;
(*) Voir à ce sujet le Mémoire cité ci-dessus.
P la force motrice agissant sur la manivelle de la droite vers la gauche;
Q la force équivalente à la résistance utile, tangente à la circonférence de la roue;
Gt), ta' les vitesses angulaires autour de la vis et de la roue ;
i Tinclinaison de l'hélice sur la section droite du cylindre.
Fig. i38.
La relation entre P et Q devant varier très-peu avec la position du contact, en raison de l'hypothèse que nous avons faite, nous rétablirons pour le cas où le contact a lieu en A, sur la perpendiculaire commune aux deux axes ; les actions normales égales et contraires N, N' du filet sur la dent et de la dent sur le filet, de même que les frottements N/, N'/, se trouveront alors comprises dans le plan tangent horizontal au cylindre suivant la génératrice passant par À.
Le sens de N'/ étant Tinverse de celui du glissement du filet sur la dent ou de la résultante des vitesses car, — a>'R', ce frottement est dirigé comme l'indique la figure. La com- III. 17
a58 QUATRltHB PARTIE. — CHAPITRE IT.
posante de N' et N'/, parallèle à O'O', ayant pour expression N'sini -4-N'/cos/, on a pour Téquilibre de la vis
PR= N'(sin/-i-/cosO'*-
La composante deN et N/, parallèle àOO,élanlNcosi—N/sin/, réquation d'équilibre de la roue est
QR'=N(cos/-/sm/)R'; d'où
. P sinZ-h/cos/ r
^^' Q~ cosi— /sini R'
ou encore, en appelant a l'angle de frottement,
P r (2) Q = g tang{/+a).
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que ce rapport soit positif ou que l'on ait
autrement il faudrait changer le sens de P pour maintenir Q en équilibre.
Le déplacement élémentaire de w' R' dt^ d'un point de la circonférence de la roue, détermine le déplacement w'R'col/.rf/
du filet, et celui delà manivelle est, par suite, w'R' -col/.rf';
on a donc, par le rapport du travail utile au travail moteur,
T tang/ -
T„ tang(£-4-a) Si l'on désigne par h le pas de la vis, on a
tang/ = 7
valeur que l'on pourra substituer, si l'on veut, dans les équations (i), (2), (3).
Ces mêmes équations s'appliquent encore au cas où la roue conduit la vis, en y changeant /en —/ ou « en — a, et l'on
CALCUL DES RÉSISTÀlfCBS PÀS8ITES DANS LB8 HACmNBS^ ETC. ixSg
reconnaît alors que, pour que le mouvement soit possible, il faut que />a.
100. Frottement d'une corde sur un cylindre. — Supposons {fig'^^9) qu'une corde, censée réduite à son axe, glisse sur la section droite A/nB d*un cylindre quelconque.
Fig. 189.
Soient
T«, T, les tensions motrice et résistante des brins extrêmes de la corde, tangentes respectivement en A et B au cylindre;
T la tension en un point quelconque m de la corde, compris entre A et B;
<p l'angle mCA formé par les normales en m et A;
mm' y m* m" deux éléments consécutifs de la corde égaux à ds, en pariant du point m et se dirigeant vers B.
La tension en m' dirigée suivant m' m" est T -f- -y- dsy et fait
l'angle rfcp avec la direction de T ; en exprimant que les forces T,
— \^^~7r^^i ^^"^ équilibre à la réaction normale Nrfs du
cylindre et au frottement ^fds, on a, en projetant sur les directions de T et de Nrf5,
^-hN/--=o, Nr/^-T^9=o;
d'où, par l'élimination deN,
dl -h /T d(f = O5
26o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.
et enfin» en intégrant,
Si l'on désigne par 91 Tangle formé par les normales en A et B, on a
(3) T, = T,e/îs
et l'on voit qu'il n'y aura pas glissement ou tendance au glissement tant que l'on aura
Les formules que nous venons d'établir s'appliquent encore avec une grande approximation au cas où la corde fait plusieurs tours en spires jointives, à la condition de donner à (p un accroissement de 27r par spire, attendu que l'on peut, sans grande erreur, considérer une spire comme comprise dans un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Si n est le nombre entier ou fractionnaire de tours que fait la corde sur le cylindre, on a a 1= 271/1 et
Ainsi, pour une valeur donnée de To, la résistance T. diminue très-rapidement quand n croit; c'est ce qui explique comment, en tenant par un bout un câble faisant quelques tours sur un pieu vertical fixe, on peut, en exerçant un effort très-faible Ti, ralentir le mouvement et arrêter en peu de temps un bateau fortement chargé, animé d'une vitesse notable et auquel se trouve accrochée l'autre extrémité du câble.
101. De la vitesse des différents points de la corde, en tenant compte de son élasticité et de son inertie, — Soient da un élément de longueur de corde à l'état naturel; ds^, ds ce qu'il devient lorsqu'il est soumis aux tensions To, T.
(* ) Nous sommes déjà arrivé à cette formule au n<* 93 de la deuxième Partie, au changement près de a en fj sans donner à la constante /* la signification actuelle de coefficient de frottement; mais nous avons cru devoir, pour plus de clarté, reprendre directement la question au point de vue où nous devons maintenant nous placer.
Sous Faction de la tension T, d(x éprouvera un allongement relatif, proportionnel à cette tension ; de sorte que, si nous désignons par k une constante, nous pourrons écrire
ds^= d<T (i-t- ^TJ, ds = d<T (i-H X'T) ;
d'où
Si le brin To A se dégage de ds^ du cylindre dans le temps dt^
sa vitesse sera Ve = -jj ^ mais, comme la masse de la portion
A /n de la corde est constante, et que la section et la densité
de la corde ne varient pas sensiblement, il faut qu'il passe
en m dans le même temps dt la longueur ds; la vitesse en ce
ds point est, par suite, V=:-7- ou
D'après M. Kretz(^ ), on a, en désignant par A la section estimée en millimètres carrés,
k = -^ pour les courroies ayant servi quelque temps.
A = -—— pour les courroies neuves.
Gomme on ne doit pas, en vue de la sécurité, faire supporter à une courroie de cuir une charge supérieure à o*'«,25 par millimètre carré, il faudra satisfaire à la condition
et l'on voit, par suite, que A'T sera toujours une petite fraction, dont on pourra négliger les puissances supérieures à la première.
£n supposant la vitesse Vo constante, et en désignant par p le rayon de courbure du cylindre au point m, nous aurons res-
(•) Annales des Mines j 1862, i*' Tolume.
pectivement, pour les composantes tangentielle et normale du point correspondant de la corde
dy ^ A'Y, di df ds k v,v ^T ^ ^ y; di
dt '~ i-h ATq d<f ds dt~ i-\- A Tç p dy p dtf
ya ya
En appelant p le poids de l'unité de longueur de la corde, il est facile de voir qu'au lieu des équations (i) on a les suivantes :
dT ^- p^yidJ
ds -^ g p à<f
d'où, par l'élimination de N, Si nous posons
réqualion précédente devient, au degré d'approximation convenu,
(7) rfT-/,(T-T)=.o, d'où
(8) T = T + (T,-~T)e-Aî,
et enfin
La vitesse Y diminue donc très-rapidement (mais d'autant moins que Yo est plus grand), quand <p augmente et atteint bientôt une valeur peu différente de la limite
