Courroies sans Jin, — Soient {Jig. i4o
Fig. i4o.
0. 0' les centres de la poulie menante et de la poulie conduite, la droite 00' étant censée horizontale pour fixer les idées;
R, R' leurs rayons ;
a, a' les rayons des cercles de centres 0, 0', auxquels on peut supposer que la puissance P et la résistance Q sont tangentes ;
y, à les angles que forment les directions de ces deux forces considérées comme positives ou négatives, selon que P et Q sont situés à droite ou à gauche de la verticale;
An, A'^ les points de tangence des poulies 0, 0' avec le brin conducteur, c'est-à-dire celui qui se dégage à chaque instant de 0' pour s'enrouler sur 0.
A,, A', les points de contact correspondants relatifs à l'autre brin;
p, p' les diamètres des tourillons des poulies 0, 0' ;
/ le coefficient de frottement de ces tourillons sur leurs coussinets.
Nous supposerons que la courroie est suffisamment tendue pour que l'on puisse considérer ses deux brins comme rectilignes et nous désignerons par "k les angles qu'ils forment avec la ligne des centres 00' de part et d'autre de sa direction.
La poulie 0 est sollicitée par la force P, par les tensions T»,
Ti des brins ÂoÂ'o, Ai A', qui agissent respectivement comme résistance et puissance, et que l*on peut supposer appliquées en A„ A; de sorte que l'on a pour l'équation relative à l'équilibre de cette poulie
Pfl t-(T,-TJR
^'^^ ~ -4?^ •[PC087 -^-^T, - T.) siiiÀj^^ [IT.-^TJ cosX - Psin7j' = o.
Les tensions To, Ti agissant respectivement comme puissance et résistance sur la poulie 0', on a de même
;Lll-. /[Qcos^-f- (T, - T.) sinX]'-+- [(T, -f- T,)cosX-+-Qcos^y = o.
Il nous faut encore établir une autre équation pour que l'on puisse trouver les valeurs des inconnues P, To, T,.
A cet effet, nous remarquerons que l'on peut considérer la masse d'une courroie comme étant proportionnelle à sa longueur ramenée à l'état naturel; cela tient à ce que, sous l'action d'une tension, la section transversale et la densité d'une courroie n'éprouvent pas de variations sensibles.
Soient, à cet effet, L la longueur de la courroie en place, qui reste la même à l'état de repos et à l'état de mouvemeni; S la tension uniforme correspondant à la mise en place, que l'on peut régler à volonté dans certaines limites, et qui est une donnée de la question.
Quoique, pendant le mouvement, la tension varie entre T, ei Ti dans les portions de la courroie qui embrassent les poulies, on peut néanmoins, par approximation et en commettant une erreur d'autant plus faible que les axes seront plus éloignés, admettre que la moitié L a la tension T», et l'autre moitié la tension T|.
La longueur de la courroie ramenée à l'état naturel est par
suite
k ayant la même signiûcation qu'au numéro précédent; mais
elle a aussi pour longueur
En égalant ces deux valeurs, il vient
i-hA'ï, i-t-A^T, 1-^/6
OU, en négligeant les carrés des allongements relatifs, qui sont toujours de petites fractions,
Pour achever la solution du problème, il conviendra de remplacer approximativement, dans les équations (i) et (2), le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, et alors on n'aura plus qu'à résoudre trois équations du premier degré entre les inconnues T», T„ P.
Soient/ le coefficient de frottement de la courroie sur les poulies; 9, 9' les angles au centre correspondant aux arcs embrassés parla courroie sur les poulies 0, 0'; en négligeant l'élasticité et l'inertie de la courroie (100 et 101), il faut, pour qu'il n'y ait pas glissement, que les valeurs obtenues pour To, T, satisfassent aux conditions
Considérons en particulier le cas simple où les deux cordons sont sensiblement parallèles et où les efforts P, Q, étant perpendiculaires à la droite 00', sont respectivement tangents aux deux poulies 0 et 0'. On a
> = o, fl = R, a' — Wy 7 — 0, (î =r o, et les équations (i) et (2) se réduisent aux suivantes :
P -H T, - T,- --^'— £ )/ê^^TW,
Q + T. - T, - -^x^= ^ var,r65^
d'oùy en ayant égard à la relation (3),
(5) V ^ Q == ^=L=^ (Uv^^'-^^W^fP).
Si Ton néglige le frottement, on a P = Q, et, à la seconde puissance près de/,
103. Du glissement partiel des courroies sur les poulies.— Comme I*a fait remarquer M. Kretz, pour que la tension passe de To à Ti sur les portions de la courroie qui embrassent les pouliesy il faut nécessairement que la courroie glisse sur chaque poulie avant d'être entratnée dans son mouvement.
Soient aO«, A'^O'a' deux angles égaux à la valeur cp, de 9 donnée par l'équation
T, = T, ef^. ;
on a
(7) ?, = jr log^:.
la courroie glissera de A» en a sur la poulie 0 et de a' en A', sur l'autre poulie, et, en vertu de Téquation (5) du n** 101, nous aurons, en considérant les vitesses V|»V, en A» et a ou en A\,a\
(8) Yj-L±1I±.
\r iH-X-ïo
M. Kretz ('), en discutant cette formule, a attribué comme valeur moyenne du second membre de celte équation 0,978 pour les courroies ayant servi et 0,975 pour les courroies neuves, de sorte que, pour 100 tours de la partie motrice, l'autre ne fait que 98 tours environ, soit un ralentissement relatif de 2 pour 100.
De Ao en a ou de k\ en a' la tension T suit la loi
d'où
(*) Annales des Mines ^ iS6a ; 1. 1, p. 76. — Recueil des Mémoires des Savants étrangers de l'Académie des Sciences, t. XXII.
de sorte que la longueur naturelle de Âo a est
i \ « r?* ^9 R f ''^t dï R, T„i-f-^T,
La longueur naturelle de A^ af est de même
(b) -iTlog • '
/•^^T, i + XT,
La somme des longueurs naturelles des portions de la courroie soumises respectivement aux tensions To, T, est, en appelant d la distance des axes, et en ayant égard à la relation (7),
/^^(R^— R)sinX Ii-h/-T,)cosX
— -hR(7rH-2)^-<ï),)-t-R'(ir-2X-yJR'-+-(R'-R)sin)i
