EF
mais on a
d'où) au degré d'approximation convenu,
n étant le rayon relatif au contact des roues avec un railway rectiligne. Il suit de là que l'on peut supposer
EE'-:a/.
Soient p l'angle formé par AA' avec IF, qui est du même ordre de grandeur que ot, et e, et y) l'inclinaison IJ^ de AFsur l'horizontale A'^;.
On a
JA>-a^p, tangp=^r ou p=:^ = '^-
j (a) >î — JAA'-+-s = a -H p-h€,
STABILITÉ DBS MAGHINBS. 34?
Le véhicule, se mouvant de telle manière que Tangle A'AiO reste constant, est animé d'un mouvement de rotation autour
de la verticale 0 avec la vitesse angulaire — (au carré de e près),
y étant la vitesse des points du mobile qui se projettent sur Tare de cercle moyen de la voie.
On reconnaît sans peine que, par suite de la symétrie et du degré d'approximation adopté, les équations d'équilibre qu'il nous reste à établir sont absolument les mêmes que si le vé» hicule se trouvait réduit à sa section déterminée par le plan vertical CiC [fig. i64), en lui attribuant la masse totale M, et que si les deux systèmes de roues et d'essieux, dont nous
représenterons par — la masse et par - le moment d'inertie,
étaient remplacés par un système unique de même forme dont Taxe serait projeté suivant CiC, de masse M' et d'un moment d'inertie égal à T.
Ainsi, dans \^Jig* i65, nous supposerons dorénavant que A» A' sont les points dont Ct, C sont les projections horizontales dans \9ifig* 164.
Soient N' la réaction normale à FF du rail fictif sur lequel A' est censé s'appuyer; H la hauteur du centre de gravité général 6 du véhicule au-dessus de ir.
La composante de la force centrifuge suivant IF est, en vertu du degré d'approximation adopté,
et son moment par rapport à A,
en donnant à ce moment le signe —, parce qu'il tend au renversement du véhicule à l'extérieur, et négligeant n — r devant H.
La pesanteur donne la composante
(a') Mg8iiHQ = M^(aH-p-Hs) = M^(«-Hs-t-^-— jî suivant IF.
348 QOàTIIÈHB partib. — chàpiteb t.
et le moment par rapport à A
La réaction N' donne la composante '
{ a') — aN' sinaa = — aNa, suivant IF,
et le moment
(P") -N'.EE'cosa-HN'(r-r')8ina = -2N7.
La rotation &> des essieux ou plutôt de l'axe fictif développe des forces centrifuges composées dont il convient de tenir compte. Dans ce calcul» nous supposerons £ = o, ce qui ne modifiera en rien le degré d'approximation adopté. Nous remarquerons d'abord que deux points d'une même circonférence matérielle du système tournant, situés sur une même verticale, donnent lieu à des forces centrifuges composées égales et contraires formant un couple dont le moment est — mYcùxxiKùjr, 2j étant la corde qui joint les deux points; d'où il suit que le couple résultant a pour moment
— 2— 2w/wr'= r.
Le rapport — aura des valeurs différentes selon que l'une
ou l'autre des roues roulera, ou qu'elles glisseront toutes deux; mais dans tous les cas il différera peu de l'unité, c'est-à-dire de la valeur correspondant à une voie droite; comme le moment ci-dessus est une petite fraction de celui de. la force centrifuge, nous pourrons sans inconvénient le considérer comme égal à
En égalant à zéro les sommes des expressions {0^)9 {af ),{»'')
STIBILITÉ DES MAGHinSS. 349
etde((3), ((3'),(tâ'').((3«"), ona
Si, après avoir résolu ces équations par rapport àN' et r, on obtient pour la seconde inconnue une valeur inrérieure au rayon n correspondant à la naissance du rebord, la solution sera admissible; mais, s'il n'en est pas ainsi, cela indiquera que le rebord s'appuiera contre le rail qui donnera lieu à une réaction transversale que Ton devrait introduire dans la pre~ mière des équations (3), dont on n'aura plus ainsi à s'occuper; on n'aura alors qu'à considérer la seconde de ces équations dans laquelle on fera r = n.
Dans cette dernière hypothèse, qui sera réalisée pour de grandes valeurs de V, la condition de stabilité N'>> o s'exprimera par
Soient le la largeur de la jante; h la. surélévation du rail y extérieur; on a
par suite
On satisfera a fortiori à cette condition si l'on satisfait à la suivante :
Cette formule, transformée en égalité, donnant à la vitesse V une valeur égale ou supérieure, la plus grande valeur qu'elle peut atteindre fera connattre le dévers lu
35o QUATJRlkME PARTIS. — CHAPITRE V.
Revenons maintenant au cas où r<C n, et soit N la réaction normale du rail extérieur. On reconnaîtra facilement que la relation qui lie N aux autres éléments de la question s'obtiendra en changeant N' en N et a en — a dans la première des équations (3), ce qui donne
(4) ~ — -hM^^-a-+eîl:^*W2Na = o.
€elte équation fera connaître N après avoir éliminé r au moyen de Téquation (3).
§ III. — De la stabilité des machines locomotives.
131. L'inertie des organes, relativement mobiles, d'une locomotive, produit ou tend à produire sur toute la masse des mouvements secondaires ou nuisibles^ mais qui n'affectent que périodiquement le mouvement moyen de translation de cette masse.
Les composantes normales à la voie (censée horizontale pour plus de simplicité), dues à l'inertie de ces organes, ne peuvent donner lieu qu'à des oscillations très-faibles, puisqu'elles n'existeraient pas si la matière des rails et des roues était absolument dure.
Les composantes horizontales produisent un mouvement oscillatoire auquel on donne, par suite d'une certaine analogie, le nom de tangage; mais ce mouvement a lui-même très-peu d'importance, puisqu'il se communique delà machine au tenderet aux véhicules qu'elle remorque.
Le moment, du à l'inertie, des mêmes organes par rapport à l'horizontale passant par le centre de gravité 6 de la partie relativement fixe de la locomotive, et perpendiculaire à la direction des rails, tend à produire un mouvement rotatoire périodique sur lequel l'attelage avec le tender, en raison même du système employé pour les attelages, a peu d'influence. Ce mouvement dit de galop n'a pas plus d'importance que le mouvement oscillatoire vertical et pour les mêmes causes.
Le moment par rapporta l'horizontale en G, parallèle à la di-
STABILITÉ DBS KAGHINBS. 35 1
rection des rails, tend à donner lieu, autour de cette droite, à un mouvement dit de roulis^ qui n'est pas plus important que le précédent, et pour les mêmes motifs.
Enfin le moment par rapport à la verticale de G donne lieir, autour de cette droite, à un mouvement angulaire dit de lacet et qui peut acquérir une certaine valeur, en raison du jeu existant entre les champignons des rails et les rebords des roues; mais, si son amplitude est limitée en raison même de la disposition adoptée, et accessoirement par le frottement latéral de glissement auquel il donne lieu, comme il tend à produire des déraillements, à imprimer aux véhicules des secousses désagréables aux voyageurs et à détériorer, à la suite de chocs souvent répétés, les rebords des roues et les champi* gnons des rails, on doit chercher à distribuer la masse des pièces mobiles de manière à réduire autant que possible le mouvement de lacet.
D'une manière secondaire, il faut chercher à réduire la tendance aux quatre autres mouvements nuisibles, qui peuvent dans certaines circonstances produire des effets fâcheux, par exemple, dans le cas où, par suite de défectuosités delà voie, les points d'appui de la machine seraient mal assurés.
Pans ce qui suit, nous ferons abstraction du mouvement relatif des pièces de la distribution, dont la masse totale et l'inertie sont en effet très-petites par rapport à celles des autres pièces mobiles de la locomotive.
Pour simplifier le langage, nous appellerons plan méridien de la locomotive le plan de séparation de deux machines identiques, qui réunies constituent la locomotive elle-même. Ce plan renferme le centre de gravité de la partie fixe» des essieux et des roues de la locomotive.
Le plan moyen d'un organe mobile sera pour nous le plan passant par son centre de gravité et parallèle au plan méridien.
Nous désignerons sous le nom d'attirail du piston^ d! attirail de la bielle d'accouplement de chaque machine partielle, l'assemblage du piston, de la bielle motrice et de sa manivelle d'une part, de la bielle d'accouplement et des manivelles qu'elle commande de l'autre.
35a QUlTRlteB PARTIE. -^ CHAPITRE Y.
Les pièces composant chaque attirail seront supposées avoir le même plan moyen.
Les conditions que doit remplir une locomotive pour supprimer les causes des mouvements nuisibles, si toutefois elles çont compatibles, est que sa partie Qxe soit animée d'un mouvement de translation dont la vitesse et TaccélératioD soient les mêmes que celles du mouvement des roues à leur circonférence. Si donc on conçoit que l'on imprime, à tout le système une vitesse et une accélération égales et (je sens contraire à celles du mouvement précédent, la partie ûxe devra se trouver réduite au repos, ce qui exige :
I** Que l'inertie de ces pièces ne donne aucune composante parallèle et perpendiculaire à la voie, ou que le centre de gravité de leur ensemble, par suite celui du système total, reste: invariable, quelle que soit la position des manivelles. S'il en est ainsi, il n'y aura aucune tendance au tangage ni au mouvement oscillatoire normal à la voie;
2? Que le moment des forces d'inertie des pièces mobiles pris par rapport à chacun des trois axes rectangulaires, parallèle, transversal et normal à la voie passant par le centre de gravité ci-dessus soit nul, ou encore que le moment semblable relatif aux quantités de mouvement soit constant; on évitera ainsi les mouvements de roulis, de galop et de lacet.
Pour donner autant de généralité que possible au problème que nous nous proposons de résoudre, nous considérerons une machine fictive, telle que Sja partie mobile comprenne comme cas particuliers les différentes dispositions usitées. Mais, tout en supposant que la manivelle motrice puisse être distincte de la manivelle d'accouplement de la roue montée sur le même arbre, conime cela a lieu pour les machines couplées à cylindres intérieurs, nous supposerons que toutes les manivelles d'accouplement lui sont parallèles et ont la même longueur.
Soient (fig. i66)
/ r= AB la longueur de la bielle motrice; B sa masse;
b la distance A 6 de son centre de gravité b au bouton A de la manivelle;
STABILITÉ DES UAGHINBS.
P la masse du piston et de sa tige;
Bp = ph distance de son centre de gravité p h Tapticulation B;
r, PL le rayon et la masse de la manivelle motrice OA;
a la distance Oa de son centre de gravité à Taxede rotation 0;
r', fji' le rayon et la masse des n manivelles d'accouplement supposées identiques CD, CD',. . ., situées d'un même côté du plan méridien, et dont l'une coïncide en projection avec OA;
Fig. 166.
a' la dislance de leurs centres de gravité à leurs axes de rotation respectifs C, C, . . . ;
D, D' leurs articulations avec la bielle d'accouplement; il est évident que le centre de gravité général de ces n manivelles est le même que celui d'une manivelle hypothétique CiD, identiqueaux précédentes, tournant autour d'un axe Ci dont la position est complètement déterminée, mais dont la masse serait /i|:x';
d la distance OC, ;
B' la masse de la bielle d'accouplement;
b'=: AF = OE la distance de son centre de gravité F au boulon de la manivelle d'accouplement projeté en A.
Ib les moments d'inertie de la masse B par rapport à la perpendiculaire à son plan moyen passant par son centre de gravité; .
I z=z BOG l'inclinaison de la direction de la tige du cylindre sur la voie ;
lii. a3
TT
6 = AOB l'angle que forment les manivelles avec la direction ci-dessus;
j3 l'angle aigu formé par la bielie motrice avec la même direction ;
ô H — » P' les angles semblables aux deux précédents pour la
position contemporaine de l'autre système mobile; €, e^ les distances au plan méridien des attirails d'un piston et d'une bielle d'accouplement.
Nous prendrons pour origine des trois axes rectangulaires Q,x, Qx> ^^> respectivement parallèle^ perpendiculaire et transversal à la voie, le milieu 12 de l'axe projeté en 0; le plan xy déOnit ainsi le plan méridien.
132. Conditions relatives aux oscillations normales et au tangage. — D'après la figure on a
(rt) sinp=jsin9, OB = rcosô-h /cosp.
Les ordonnées des points p exb parallèles à Taxe des /sont respectivement
— (/? -+-OB)sinz=— (/?-+-rcos9 4-/cosP)sin/, — ^sin [i -+- P) -- rsin (Ô — 0 = — ^( sin/cosp-4- -j siûQcos/ ) — rsin (0 — 0-
La somme des moments des masses du système par rapport au plan xz est par suite
— B ^(sin/cosp-i- jsinôcos/j -f-rsin(0 — 1) 1 — P(/?-Hrcosô-i- /cosP)8in/-h sin{6 — i)(fAûrH- tîjx'û'h- B'r),
ou, en réduisant,
l -— (BZ>H-P/)cospsine-HSinôcos/ —Brf iH-y Wpû -h/iftV-^B'r ( — cosôsin/[(B'-- BH-P)rH-fxfl-i- «^V]. '
En ajoutant cette expression à elle-mêmei aprè^ y avoir rem-
placé 6 par 0 ■+- - et p par (3', on aura la somme des moments
des pièces mobiles (à part les roues et les essieux dont le centre de gravité est fixe) par rapport au plan jjc. Or, pour qu'il n'y ait pas d'oscillations normales à la voie, il faut que celte somme soit constante, quel que soit 0, ce qui exige que les
coefficients des termes en sind, cosd, cos(3= l/*^ n sin^0,
/ 7' cosP'= V '"" 77 cos'^ soient séparément nuls. On a ainsi
. — Brf i-f- - J -hB'r-H fxrt -h /2'a'«'=o, (B'--B-+-P)/'-hfx«-h«>V= o.
Or, comme en retranchant Tune de l'autre les deux dernières de ces égalités on retombe sur la première, on voit qu'il suffit de satisfaire aux deux conditions
(i) BA-i-P/ = o,
(a) (B' — B -h P)/- H- fxa -i- ny-Wt' = o,
pour qu'il n'y ait pas d'oscillations normales»
Les moments par rapport au plan yz des masses B, P, fj. s'obtiendront en remplaçant dans les équations que nous avons obtenues ci-dessus relativement au plan xz, i par 90"+ i, ceux des masses B', n/z' par W[b'-^r cos( 9'—i)], n'ii'[d -hr cos (6 -- 1 )]• Or on peut faire abstraction de la somme WV -^ n^jJ d qui est constante, de sorte qu'en définitive les conditions pour qu'il n'y ait pas d'oscillations horizontales s'obtiendront en remplaçant i par / -i- 90** dans celles qui sont relatives aux oscillations normale»» ce qui conduit naturellement aux résultats ci-des* sus.
Ainsi donc, si les conditions (t) et (2) sont satisfaites, il n'y aura ni oscillations normales, ni oscillations longitudinales; on pourra en général supprimer ces deux mouvements nuisibles en disposant, en conséquence, des çoûire-poids sur la grandeur et la position desquels nous reviendrons plus loin.
356 QUATRIÈJIE PARTIE. — CBAPITRE Y.
Remarque, — Supposons que les conditions (i) el (2) ne soient pas satisfaites. La partie variable de la somme des moments des masses mobiles, par rapport à l'un ou l'autre des plans \a:j, zjr, sera de la forme
F cos? -f- FcosP'-f- G cosQ -h G'sinQ
= F4/i- ^sin'0-+-F'i/i— ^, cos'0-hGcosO-t-G'sine,
F, F', G, G' étant des constantes.
Soient M la masse de la partie fixe des roues et des essieux de la machine; Ç la distance de son centre de gravité à sa position moyenne estimée perpendiculairement au plan des moments. Si la machine est isolée, nous aurons
Mi; = Fi/i-
\/ i— Y2 sin'Ô ■+-^' K/ ^— p cos'Ô -+- G cosO -4- G'sinÔ.
Dans le cas d'un mouvement uniforme correspondant à la vitesse angulaire &), on a 6 = côi, et Téqualion précédente, qui donne ^ en fonction de /, définit complètement le mouvement oscillatoire dont il s*agit.
133. Conditions relatives aux mouvements de lacet et de roulis. — Les résultantes, estimées suivantûj, des quanti tés de mouvement des masses B, P, /ut, B', nii! ne seront autre chose que les dérivées par rapport au temps < des termes correspondants de l'expression (6). Si, pour abréger, nous désignons par «
la vitesse angulaire -r- et si nous remarquons que la première
des formules (a), élevée au carré, donne
r/cosS r^ sinsèÔ
dt ~" "" '^ ST^ cosf» '
la somme des moments des quantités de mouvement des pièces mobiles par rapport à une parallèle quelconque àÛ^, comprise dans le plan méridien, sera
[^hr [ r sm? smaÔ ^ .\
— • B -7- ( j ^ h cosôcosi ) / \ 2/ cosp J
-h (Br + ufl)cos(Ô~ /) 4- Pr (^sm© h- -^ -^^j sin/J
+- W(?'C09(Ô — /)(«fAV-f-BV)
STAaiUTÊ DES AIÂCUIKES. 357
OU, en développant,
^^ /ni. ni\ • . sinaô
»c— T5(Bt»-hP/)sinz — 5-
2/*^ ' cosp
-4- wsin6sin/[(Pr-hpirt — Br)eH- (/zp'û'n- B'r)e''].
Or, en ajoutant cette expression à celle qui en résulte et y
changeant 0 en 0 4- - et p en [3 , on doit obtenir, pour qu*il n'y
ait pas de roulis, un résultat indépendant de 0, ce qui exige, conime il est facile de le reconnaître,
— B^T-f i-j- ^ j -f- i*.ae-\-(nit.'a'-h B'r)e'=: o,
(3) {Vr-hita- Br)e -i- [nu'a'-hB' r)e' = o,
conditions dont la première a déjà été obtenue plus haut et sur laquelle on retombe en faisant la différence des deux autres. Nous ne trouvons ainsi qu'une nouvelle condition exprimée par l'équation (3), et qui suffit avec la condition (i) pour qu'il n'y ait pas de roulis, et par suite de lacet, puisque, pour passer des équations relatives au premier de ces mouvements à celles du second, il suffit d'y changer i en / -h 90**.
Pourqu'il n'y ait simultanément ni tangage, ni oscillations normales, ni lacet> ni roulis, il faut qu'il y ait compatibilité entre les équations (2) et (3). Or, si l'on retranche de la seconde la première multipliée par e', on trouve
condition oui peut être vérifiée, soit en posant
ou
(6) fiû-H(P — B)r=o,
oa encore, en vertu de la formule (3),
(6') /ipi'a'-hBV=:o.
358 QUATniÈHB PARTIE. — CHAPITRE Y.
Dans les machines à cylindres extérieurs on a sensiblement e = e', de sorte que, pour éviter les quatre mouvements précédents, il suffit de satisfaire aux équations (i) et (2).
Dans les machines à cylindres intérieurs, la diflférence e' — e est notable» de sorte que, pour annuler simultanément ees quatre mouvements, il faudrait que la condition (6') fût vérifiée, ce qui conduirait à adapter des contre-poids en sens inverse des manivelles.
Laissons de côté cette dernière condition, pour ne nous occuper que des équations (i) et (2). Pour qu'elles soient vérifiées, il faut placer des contre-poids sur le prolongement des bielles motrices et des manivelles, ou suivant les manivelles, selon que P -hB' — B sera positif ou négatif. Si nous appelons /x., /jl', les masses de la manivelle ^jl' et de son contre-poids; a,, a, les distances de leurs centres de gravité à l'axe de rotation, il vient, en attribuant à Bi, B3, 61, b^ des significations semblables,
d'où
^"^^ \ /zp;< = (PH-B'— B)r-f-pifl-h«pXi,
formules dans lesquelles on pourra considérer les masses comme représentant les poids correspondants.
La valeur et la position des contre-poids des bielles motrices, comme celles des contre-poids des manivelles, ne sont soumises qu'à une seule condition. Il y a donc, dans la solution du problème, une indétermination dont on profitera dans chaque cas pour faciliter pratiquement l'adaptation des contrepoids.
Pour les machines à cylindres extérieurs, on dev/a supposer lJL = Oy puisque la bielle motrice est articulée à une manivelle d'accouplement. On fera
/i = I pour une machine non couplée,
72 = 2 » à quatre roues couplées,
/» = 3 » à six ' » •
Généralement le contre-poids m, est compris entre le cercle
intérieur de la roue et deux rais consécutifs ou non et se termine par une surface cylindrique de même axe que la roue. L'essentiel est que le rayon moyen du profil mixtiligne ainsi déterminé passe par le centre de gravité de la manivelle. Soient
R le rayon intérieur de la roue;
X le rayon intérieur du contre-poids;
HCC Tangle formé par les deux rais quilimitentle contre-poids;
p le rayon vecteur d'un point quelconque de cette masse;
^ l'angle qu'il forme avec la bissectrice de l'angle aa;
e l'épaisseur de la roue;
A le poids spécifique de la matière.
On reconnaît facilement que
' d^ I p'cos4'fl?p = Ae|(R^ — o:^) sinij/,
comme /x^ai est censé connu, cette équation permettra de déterminer x, et par suite la masse du contre-poids;
Si, pour une machine à cylindre extérieur, où e = e', le contre-poids jut'j a été calculé d'après la formule (7), en d*autres termes s'il a satisfait à la condition (3), le coefficient du terme en cosô du groupe (A) se réduit à
— wsiniy (B^H-P/).
Si donc on change i en 1 + 90** dans ce groupe pour avoir celui qui correspond au lacet, qu'on l'ajoute à lui-même après y avoir remplacé 9 par 6 4- go®, on trouve, pour le moment de lacet,
(0(Bb-h?l)e\ -^cos/sin20( — ^ r;) — TSin/fcosÔ — sinô) 1
^ ' La/^ \co8^ cospj t ^ .J
r mais, en s'arrêtanl aux secondes puissances de y ? on a
=11—-- cos'9 I = IH 75 C09*ô,
36o QOATltfcHK PAITIE. — CHAPITIE ▼•
et le moment de lacet devient
— «(B^-+-P/)e2r — g^gia4ôco8i-+-8ini(cosO — sinô) j.
Comme i est toujours nul ou petit, que -j ne dépasse pas 7,
ce moment sera toujours une très -petite fraction de (<)(B6 + P/)e, ety par suite, la condition (3) est surtout celle qu'il importe de remplir, en vue de réduire les amplitudes du mouvement de lacet.
Soient maintenant I le moment d'inertie de la partie fixe de la machine, y compris les roues et essieux, par rapport à la parallèle à Q.y passant par son centre de gravité; 9 l'angle décrit autour de cet axe par le plan méridien, mesuré à partir de la position moyenne de ce plan.
Si l'on fait abstraction du frottement développé par le lacei sur les rails, et si l'on suppose que la machine est animée d'un mouvement uniforme depuis assez longtemps pour que les conditions initiales du mouvement aient disparu, on a
I~ — «tf(B6>-+-P/)r- 1 -r^cos/8in4Ô — (cosO — sinô) sin/ =0
ou
I^ = c(B£»-f-P/) J ^- cos/sin4ô — sin/(cosS — sinô)
et
(B^-hP/)^ r
j ^ 7 "*" "7; 7» ^^' cosaO -+- sm«(cos0 -h smô) ,
en n'Introduisant pas de constante par suite de l'intégration, puisque nous avons supposé que les conditions initiales du mouvement ont disparu.
Si / = o, on a
T = -^— j— ^^-^COS20.
La demi-amplitude
(B^-hP/)g r* 1 16/»
est très-petite, d abord parce que le rapport ^ ^ —
STABILITÉ DES UACHINES. 36l
l'est lui-même, et ensuite parce qu'il est multiplié par le fiacre leur -Tv^» qui ne dépasse pas j-~7-
m. De la tendance au mouvement de galop. — Le mouvement de galop tend à se produire en venu du moment des quantités de mouvement des pièces mobiles par rapport à la parallèle à Q.z menée par le centre de gravité G de la partie flxe de la machine.
On peut considérer ce moment comme résultant :
i"" Du moment semblable par rapport à Q,z;
2® Du moment par rapport à la parallèle en G à Hz de la résultante des quantités de mouvement supposées transportées parallèlement à elles-mêmes en û, dont nous avons les expressions des projections sur ûx et ûj, et qui serait nulle s'il n'y avait ni oscillations normales ni oscillations transversales.
Le tout se réduit donc à trouver l'expression du moment des quantités de mouvement par rapport à Qz.
Il n'y a pas lieu d'avoir égard aux quantités de mouvement des roues et essieux et de la manivelle motrice, puisqu'elles ne donnent lieu qu'à des moments indépendants de d.
Le moment de la quantité de mouvement de la manivelle d'accouplement CD, par exemple, se compose de son moment par rapport au point G, qui est indépendant de d, et du moment, par rapport à i2z, delà quantité de mouvement fxVci) de son centre de gravité où toute la masse serait concentrée, supposée appliquée en G. Toutes les quantités de mouvement /x'a'w se composent en une seule n^xfa'tù perpendiculaire à GiDi, appliquée en Ci, et dont le^ moment par rapport à ùz est
(c) niL'a'(>id.cos9.
Le moment de la quantité de mouvement de la bielle d'accouplement B', animée de la translation (u.EFsind, est
[d] B'wrsine x rsinG = B'«/^ ""^^^^
II nous reste maintenant à calculer le moment des quantités de mouvement de la bielle motrice.
36^ QUATRItHB PARlil. — CRAPITEB T.
Soient u la distance au point B d'un élément matériel de la bielle; x» fi les coordonnées de cet élément parallèle et perpendiculaire à OB en prenant le point 0 pour origine, on a
X = '•cosO-h /cosp — ttcosp, >i=asinp, Le moment cherché sera
Si Ton substitue les valeurs précédentes, en remarquant que
on trouve pour résultat
-w[lB~B^(/-^)]^-i-Ba)/^^smSsinOH-cos0cosp^V ou (e) .[Ib-BJ(/-6)]|-hÇ^.
La partie variable des expressions (c), (d)^{e) ou du moment total relatir aux pièces mobiles est donc, abstraction faite du facteur û),
-~[Ib~B^(/-6)]^ t.^'^V^.cosô-B'/^^!^.
En y changeant 9 en 9 -+- - et (3 en (î', on a, pour l'autre piston,
on a donc enfin, pour la partie variable du moment relatif aux deux attirails de pièces mobiles,
- [Ib - B6(/- b)\ (^ -H J') -^ /ipW,(co8e ^ sinO).
STABILITÉ BBS MACHINES* 363
^ dQ r sîn 0 . rf(3' , / \
Or ^ = j — — et ■— ne pouvant pas s exprimer
linéairement en fonction de sind, il faut» pour que cette expression soit constamment nulle, ou qu'il n'y ait^pas simultanément de mouvement de galop, de trépidations normales et parallèles à la voie, que
(8) Ib = ^('-^),
Celte dernière condition n'est pas remplie que dans les machines simples ou à six roues couplées.
L'équation (8) exprime que, si l'on considère la bielle motrice comme un pendule oscillant autour d'un axe perpendiculaire à son plan moyen passant par le centre de l'une de ses articulations, le centre d'oscillation doit coïncider avec le centre de l'autre articulation.
Les équations (i) et (8), quoique exigeant toutes deux que chaque bielle motrice soit prolongée au delà du boulon de la manivelle, sont cependant incompatibles, parce que d'après l'une 6 doit être positif, et négatif d'après l'autre; de sorte qu'il est complètement impossible malhématiquement de faire disparaître simultanément les tendances aux cinq mouvements nuisibles d'une locomotive.
364 QUATBiftVB PABTIB. — CHAPITRE V.
NOTE
