OUTEMCNT ONDULATOIRE D*UIÏ TRAIN DE LAGONS, ETC
Posons à cel effet
z^ = J:^ Xj a^, »
^i l — «^i-i «^i ÛTf-i »
nous aurons
-t- Sj, -H . . . -4- Zf, -j- x^=^ x^ — rr^ — a^ — ... — a^^ ,
3j-h Zj H- * . . -}- z^^ -h j:^ = .Tj — a^ — n^ — ... — /i^^, ,
et les équations (i) deviendront
(P ^2 -jTi (^2-+- 23-+-. . • ^- V. -^ •^i) = ^1^1- K^2- KK
Posons, en vue de faire disparaître les /^ ^„
w,, */?îj,.. ., /«i,, étant des constantes qui sont déterminées par les équations
- ns=^ ^'i^^i = V2 '«2 - KA^i^i + ^-1 )•
366 QUATRltU PART». ~ CHAPITM ▼.
Les équations (3) deviennent alors
M. :7r, (r, -»-• • --^ r,) = - ^*iri,
de dt'
dt'
On satisfera à ces équations en posant
y^ = a, Ac0S/ï(f -+- e), j, = ajAc0S/î(f -t-.ï),
/■^j = a.,Acos7ï(r-t-s), j,. = Acos/i(/-+-0>
«,, <7j, . . . , a,..,, A, /», f étant des constantes, et, en substituant, on trouve
— M, n^{o^^ + a, -H ... -h ot^^ + i) = — k^ a,),
— M,/i'(a, -h aj -h. . .-H a., -h i) = — /', a,), »
En éliminant entre ces équations les /' — i coefficients ap..., ^i-n ^^ obtiendra une équation du /*^ degré en w', et qui admet nécessairement la racine /z' = o, comme on le reconnaît à l'inspection des équations (7), qui sont vérifiées par « = o, a, = o, . . . , a,., = o.
A chaque racine positive de cette équation correspondront un système d'intégrales de la forme (6) et des valeurs déterminées pour a,,..., a^,,, et à une racine négative ou imaginaire la somme de deux exponentielles multfpliées respectivement par des constantes.
Gomme, dans tous les cas, l'équation finale en n* est du de^ré i — i, nous n'obtiendrons que i — • i intégrales particulières renfermant chacune deux arbitraires, soit en tout 2(2 — 1) arbitraires, de sorte qu'en faisant leurs sommes pour ^, , 7, , . . . , /n nous n'obtiendrons pas les intégrales générales des équations (5).
Mais > si Ton observe que ces équations sont vérifiées par r,=o,
MOUTEMBNT ONDULATOIHB d'CN TRAIN DB VAGOHS,. ETC. 867
^j = ô, . . . , Xi^i = 0, j'. = B -f- B'*, B et B' étant deux nouvelles arbitraires, les intégrales cherchées seront
y^ ^2a,Ac08/î(/-he), jj= 2ajAc0S«(r H-e),
X, = ûT, -i- flr, -t- ...-+-«., -h /w, -{-... -h w. , -
JTi-, = 2 a., A COS/I (f -H 6 ), jr^ = 2 AC08/î(* -h s) H- B = B'/;
d'où
aM,
-4-2A(a, H-aj-l-.. .-ha^. j-+-i)cos/i(f -f*e)-hB-f-B'/,
j?.^ = ûj-h a^-h ....
On peut supposer B = o en choisissant en conséquence l'origine des x, qui est restée indéterminée jusqu'ici ; on peut faire aussi abstraction du terme B't, qui correspond à un mouvement de translation de tout le système ; de sorte que l'on a, en définitive,
JC, =: a,-h . . ,-hû. , -+- /W, -f- . . . -H IW. , .,
Il .-Il 1-1 j^jyi
Dorénavant nous ferons abstraction des résistances, et nous poserons en conséquence
ix^=a^■+-, ..-h<7.,-h2 A(a, -i-. . .-Ha,, -f-l) COS/î(/H-s), ^2 = ^2 -+-••• »
d'où
— L =— 2 A/l(a, -f-a^-i-.. .-f-a,j-M) 8in/2(^-h6),
^^ ^ -^ =— 2 A/î(a,-+-a3-4-...4-a.,-M)8in/ï(f-+-e),
eu
Les constantes A, s se détermineront par les conditions que i — i des coordonnées x^^ x,,. . . et leurs dérivées par rapport au temps aient des valeurs données à une époque déterminée.
Considérons en particulier une des oscillations; nous pourrons supposer
que /7t est un multiple impair de -9 en choisissant en conséquence
368 QUATRlfcHE PABTIB. — CHAPITRE T. — KOUTEMBlfT, KTC.
rorigine du temps, et nous aurons, en appelant Uj la vitesse initiale d# ^tmt véhicule,
^ -^=D,(a,.,-hl)C0S/îr,
-^ = U, cos/ir.
Admettons que le mouvement ondulatoire soit produit par un choc sur le 1*^""' véhicule; les / — i '*""', i — a""", . . . véhicules posséderont la vitesse Uj au bout des temps donnés respectivement par
cos/?/.. , = j
COS/î/i , = î
cosnt^^^ =
ce. -t- oc. -4- Ot. -è- 1
et qui sont ceux au bout desquels le mouvement aura été communiqué à ces véhicules.
