CHAPITRE V
DU BESSORT SPIHÂL.
165. Le ressort spiral est une lame d'acier à section rectangulaire, encastrée d'une part dans la virole du balancier et de l'autre à la platine.
Dans les montres ordinaires, la fibre moyenne, qui a une Torme spiraloTde, est comprise dans un plan parallèle à la platine à laquelle le ressort est fixé par son extrémité extérieure. Les ressorts de cette forme ont reçu le nom de spiral plat. Il va sans dire que le long côté de la section du spiral est perpendiculaire à la platine.
Dans les montres soignées {Jig. igS) le système de spires
Fie. .&5.
se raccorde avec une courbe qui ramène l'encastrement dans la région diamétralement opposée à celle du point de raccordement.
Le ressort réglant des montres marines, appelé spiral cylin-
DD RESSOHT SPIRAL. 4^S
drique, est formé [^g. 196), à l'étal naturel, de spires hélicoïdales se raccordant avec deux courbes qui ramènent les extré-
Fis. 196.
mités de la lame vers l'axe pour s'encastrer respectivement dans la platine et le balancier. Le pas de l'hélice est trèsfaible et le long côté de la section normale de la lame est normal à la courbe. Les deux encastrements se trouvent à égale dislance de l'axe du balancier qui est en même temps celui de l'hélice; les deux courbes de raccordement, qdi peuvent être considérées comme situées dans des plans parallèles à celui de la platine, font des angles égaux, mais en sens contraire, avec les raj'ons menés à leurs extrémités; de plus, en projection sur le plan de la platine, ces lames sont symétriques par rapport h la bissectrice de l'angle des deux rayons cidessus.
En raison du faible pas de l'hélice, nous pourrons considérer chaque spire comme un cercle dont le plan est parallèle à celui de la platine.
Le spiral cylindrique' est le seul que l'on puisse rendre isochrone dans des limites très-étendues de l'amplitude des oscillations ou vibrations du balancier. Nous nous en occuperons en premier lieu en reproduiiiant en substance les belles recherches de M. Phillips sur ce sujet.
QOATRltMB FAKTIV. — CHAPITKB Y.
166. Spiral cylindrique, — Proposons-nous de déterminer les conditions auxquelles doivent satisfaire les courbes de raccordement pour que, dans une position quelconque du balancier : i"^ les réactions de chacun des encastrements sur la lame se réduisent à un couple ; n^ les parties primitivement hélicoïdales de la fibre moyenne restent sur un cylindre ayant pour axe celui du balancier, ce qui a pour conséquence de rendre constamment symétriques les deux courbes de raccordement par rapport à la bissectrice de l'angle des rayons menés aux encastrements.
Soient (Jig. 197 )
Fiç. 197.
^>rL; le moment du couple produit par chacun des encastrements;
IJ. le moment d'élasticité de la lame;
L la longueur totale du ressort;
/celle de chacune des courbes de raccordement;
o la trace de Taxe du balancier;
A' Tencastrement fixe;
A" le point où, à un instant quelconque, la courbe partant de A' se raccorde avec les spires.
s une longueur d'arc quelconque du ressort mesuré à partir du point A';
po, p les rayons de courbure au point de la fibre invariable
correspondant à cet arc lorsque le ressort est à l'état natu-* rel et qu'il est déformé; a la distance A'o.
Nous prendrons la direction de Mo pour celle *de Taxe des X, A' étant censé situé sur la partie négative de cet axe, et nous désignerons par do, 9 les inclinaisons de po» p sur ox.
Nous aurons
Comme p« est constant pour Thélice, il en est de même de p et la courbe reste ainsi une hélice en se déformant. Cette équation peut se mettre sous la forme suivante:
d'où
Si a est l'écart du balancier ou la valeur de 6 — d» pour s = L, nous aurons
Le moment du couple qui sollicite le balancier étant proportionnel à l'angle d'écart» le mouvement de cette pièce sera isochrone et, en appelant A son moment d'inertie, la durée d'une oscillation sera
Nous supposerons dorénavant que les lettres p, 6, s se rapportent uniquement à un point quelconque m de la courbe A' A", en employant la lettre r pour désigner le rayon de courbure de la partie hélicoïdale.
Les équations (a), (b) donnent, en ayant égard à la valeur (rf) de 3Tt,
IH---— H--r^
458 QDATRltaB PAâTIB. -~ CHAPITEB Y.
Comme les rapports y^i^T ^^^^ toujours très-petits, il en
Ij Mji Li
est de même de leurs produits par a, quand même cet angle est supérieur à Tt, et nous pouvons ainsi, sans inconvénient, négliger, devant Tunité, les secondes puissances de ces produits, ce qui nous donne
et
1 sinô = sinô, ■+- cosO,, y^?
oosO^ 008 0^— smôo -=-•
Soient maintenant c, c' les centres de courbure aux points m, m' infiniment voisins de la courbe A' A'' ; ^, y] et ^ 4- rf$, m -h dm les coordonnées de ces points parallèles à 0^ et à sa perpendiculaire 0/. Nous avons c& ==: rfp, et la figure donne
<iÇ = — djpcosô, dn = —d^s\nB,
Si nous affectons respectivement d'un accent et de deux accents les lettres qui se rapportent aux points A' et A'^, nous aurons, en intégrant,
I dO Si l'on intègre par parties en se rappelant que - = ^> on
trouve
l" = Ç' — p^cosÔ'-f- p'cosô'— / sine^^j.
Soient Cet C/' les centres de courbure de la courbe en A', A", le second de ces points devant se trouver sur ok", en vertu de
la seconde des conditions que nous nous sommes imposées. En supposant que le point m se déplace sur la courbe en se rapprochant du point A% on reconnaît que l'angle 0' est Tangle négatif formé avec Ox par le prolongement X'C au delà du point A.', et la figure donne
(<?) . 5' = — p'cos0'--«, >]'=— p'sinô',
(/) 5''=(r-p")co80', ^"=(r-p'')sinG\
Les équations (4) deviennent» par la substitution de ces valeurs,
l rco8Ô"-f- a = — / sinô^.v, I rsin9''= / cosB ds.
Telles sont les conditions qui doivent être satisfaites, que! que soit l'angle a; si l'on y substitue les valeurs données par les formules (i) et (3) en continuant l'approximation adoptée, puis que l'on égale à zéro le terme constant et le coefficient de a, on trouve
/ cosGp
(7) J cosG.^^=7',sin"G;,
(8) / cosG„jrf^ = r;cosQ;-hr,/sinG;,
(9) / sin Q^sds = rj sin G"^ — /r„ cosG^ .
Si l'on désigne par x ely les coordonnées du point m, et si Ton remarque que l'on a
dx = — ds sin G,, dy = ds cosG^,
on reconnaît que les équations (6) et (7) se réduisent à des identités*
460 QUATRiftMB PAETIB. — CHAPITRE Y.
Nous avons maintenant, en intégrant par parties,
is cos^ds = / sdjr = sy — ijds^ JssinBds = -^ Ssdx = — sx-hfxds.
Si donc on appelle Xt et ji les coordonnées du centre de gravité G de la courbe A'mk", les équations (8) et (9) deviennent
De ces deux équations on déduit
J = - cote», x/x] ^x] = OG = ^,
et l'on peut énoncer ainsi les deux conditions auxquelles doit satisfaire chaque courbe de raccordement non déformée :
i** Le centre de granité de la courbe doit se trouver sur la perpendiculaire au rajron mené au point de raccordement avec les spires.
2? La distance de ce centre de gravité au centre des spires doit être une troisième proportionnelle à la longueur de la courbe et au rayon des spires.
Pour faire passer par les points A' et Â'', supposés donnés, une courbe satisfaisant à ces conditions, on procédera par tâtonnements géométriques en modifiant successivement une courbe tracée au jugé et normale au rayon OA''.
La ^^*^ 198 représente l'ensemble des deux courbes; à Tétat naturel» les points semblables sont indiqués par la même lettre affectée de l'indice i pour Tune des courbes. Soit H le centre de gravité des deux courbes situé sur la bissectrice de Tangle A^^OA^^aç; on a
G,OG = 180" — 2(p, OH = OG sin(ï> = -f siny,
d'où
2 /.OH = arj sinf.
On peut considérer le ressort comme composé d'un nombre
entier de spires, commençant et finissant en des points projetés en k^y dont le centre de gravité se trouve sur Taxe o, de^deux courbes et de l'arc A" A",. Or le moment de cet arc
Fig. 198.
par rapport au point 0 est égal à ar^ sînf; d'où il suit que le centre de gravité du ressort entier à l'état naturel doit se trouver sur l'axe du balancier.
167. Spiral plat. — Nous admettrons, comme cela a lieu dans la réalité, que le ressort se raccorde tangentiellement avec la virole du balancier.
En considérant A' et A"" comme étant les extrémités flxe et mobile du ressort, tout ce que nous avons dit sur les courbes de raccordement s'applique ici à l'ensemble des spires, en supposant que L=:/, et que o est le centre de courbure en A''.
Nous devrons donc faire $" = o, »"= o dans les équations (4) et y remplacer p" par le rayon donné v; il vient ainsi, en ayant égard aux formules (e),
t'COSÔ'
J o Jo
cosBds,
46l QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITBB Y.
Comme j a pour limites zéro et l'unité, nous ne pourrons
négliger le carré de -j- que si a est sufQsamment petit. C'est
le seul cas dans lequel on puisse arriver à quelques résultats et où, comme paraît l'indiquer l'expérience, la condition de l'isochronisme soit remplie d'une manière satisfaisante. On trouve, en opérant comme plus haut.
sinô^ = 1 cosB^dSj cosô^ = — - / s sin^ds.
II est facile de reconnaître que, comme pour le spiral cylindrique, les deux premières de ces conditions sont des identités, et, en intégrant par parties, que les deux autres expriment que le centre de gravité du spiral à l'état naturel doit se trouver sur l'axe du balancier.
On comprend maintenant l'emploi du spiral ramené, la courbe ayant pour objet de placer autant que possible le centre de gravité du ressort sur l'axe.
168. De Vinfluence de la température sur le spiral cylindrique. — Supposons que, par suite d'une variation de température, tous les éléments linéaires éprouvent une dilatation relative e, positive ou négative; les rayons de courbure seront respectivement égaux' à leurs valeurs primitives multipliées par (i + e); mais les angles polaires B ne subissent aucune modification; de sorte que toutes les longueurs dans les conditions (7), (8), (g), à l'exception de a, doivent être multipliées par (i + e), ce qui ne change pas les trois dernières;
DU BBSSORT SPIRAL. 4^3
mais la première devient
et, pour que cette relation fût admissible avec elle, il faudrait que a=:o, ce qui exigerait que les deux encastrements fussent placés sur V axe du balancier pour que le fonctionnement du spiral fût à l'abri des variations de température.
iMf
464 QUATRIÈMB PARTIB. — CHAPITRE TI.
