CHAPITRE VI

§ I. — Généralités.

169. L'échappement, quel que soit le système auquel il appartient ('), est une pièce animée d'un mouvement circulaire oscillatoire qui lui a été communiqué par le balancier.

Les parties de l'échappement qui arrêtent les dents de la roue ou qui correspondent aux intermittences portent le nom de repos. Toutefois, dans certains échappements, la période du repos est remplacée, par suite d'une forme spéciale de la pièce, par un petit déplacement rétrograde de la roue, dans un but que nous ferons connaître plus loin, d'où la distinction entre un échappement à repos et un échappement à recul.

Le frottement, la résistance de l'air, etc., auraient bientôt anéanti le mouvement du régulateur, si ce mouvement n'était pas entretenu par la force motrice à l'aide de certaines dispositions. A cet effet, avant qu'un second repos ou recul commence, la dent qui vient de s'échapper va frapper, après que la roue a tourné d'un petit angle, une autre partie de l'échappement que Ton désigne sous le nom de lèvre ou d'incliné, et communique à cette pièce une petite impulsion dans le sens de son mouvement actuel, impulsion qui est transmise au régulateur.

(*) Nous ne nous occuperons pas ici de l'échappement dit à roue de rencontre, qui par ses défauts est généralement proscrit, même dans les montres communes.

DES ÊCHAPPBBIEMTS» 4^5

En principe, l'action du moteur sur le régulateur devrait se borner à cette impulsion et cesser immédiatement, et, comme nous Pavons vu, l'isochronisme ne serait pas sensiblemeat modifié par cette impulsion.

Mais, si la force motrice continue encore à agir sur le régulateur pendant un instant, quelque court qu*il soit, comme son action peut être comparable à celle de la force qui produit Tisochronisme, et qu'elle suit une autre loi, il pourrait arriver que les durées des oscillations successives du régulateur fussent assez différentes les unes des autres pour altérer notablement la marche du chronomètre.

Les échappements qui se trouvent dans les conditions les plus rationnelles peuvent donc se diviser en deux catégories :

ï^ Les échappements dans lesquels le dégagement entre une dent de la roue et la lèvre correspondante a lieu presque instantanément après l'impulsion communiquée à cette pièce. Dans ce cas, l'échappement peut être monté sur le même axe que le régulateur. Telles sont les différentes variétés de Véchappement à détente, appliqué aux chronomètres de la marine et aux montres de prix, et qui rentrent dans la catégorie des échappements libres ou soustraits à l'action continue de la force motrice*

T,'^ Les échappements dans lesquels le contact a encore lieu entre une lèvre et une dent pendant l'impulsion, et qui sont montés sur un axe parallèle à celui du régulateur. L'impulsion est communiquée par l'échappement au régulateur, au moyen d'une disposition qui permet, presque instantanément, le dégagement de cette dernière pièce, devenue libre, pour toute retendue du contact de la lèvre et de la dent. Cette condition est remplie par Véchappement à ancre des montres, échappement qui, quoique libre, est moins sensible que le précédent, en raison de l'inertie des pièces mises en mouvement et des frottements qu'elles développent.

Il y a en outre les échappements montés sur l'arbre du balancier, dont le mouvement se trouve influencé par la force motrice pendant toute la durée du contact de la roue d'échappement et d'une lèvre : tel est Véchappement à cylindre, qui ni. 3o

466 QUATRifeMB PARTIE. — CHAPITRE YI.

n'est libre sous aucun rapport; ce qui explique pourquoi, malgré la facilité avec laquelle on l'exécute, il n'est appliqué qu'aux montres ordinaires.

Les échappements à ancre de Graham pour les pendules et V échappement à chevilles des horloges sont soumis aux mêmes irrégularités que le précédent; mais ces irrégularités peuvent être notablement amoindries en donnant au balancier une masse convenable, ce que permet d'ailleurs le dispositif de l'appareil.

Chaque demi-oscillation, à partir du moment oii le balancier est arrivé dans sa position moyenne, se décompose en deux parties. Dans la première, la force motrice, par l'intermédiaire de la roue d'échappement et de l'échappement, agit sur le balancier, dont le déplacement angulaire est Varc de levée; dans la seconde, le balancier se meut librement sous l'influence du spiral ou du poids du pendule, et décrit, jusqu'au moment où la vitesse angulaire s'annule, Vangle ou arc complémentaire, c'est-à-dire la différence entre la demi-amplitude et l'arc de levée. Le balancier revient ensuite sur ses pas en décrivant librement l'arc complémentaire ou la demi-oscillation selon les cas. Dans le premier cas, l'arc de levée suivant est parcouru sous l'action du rouage; la demi-oscîllation suivante se reproduit de la même manière que la première, et ainsi de suite.

Avant d'étudier les propriétés des principaux types d'échappements, nous croyons devoir résoudre le problème suivant, dont la solution nous sera très-utile dans ce qui suit.

170. Leume. — Déterminer le temps au bout duquel viennent se rencontrer, après avoir été en contact , deux corps tournant autour d* axes parallèles y lorsque le- corps choquant part du repos.

Nous supposerons que les deux corps sont de forme cylindrique, et que les génératrices de leurs surfaces sont parallèles à la direction des axes; le tout revient, par suite, à raisonner sur la figure résultant d'une section faite par un plan perpendiculaire aux axes. t

DES ÉCBAPPEMBNTS. 4^7

Soient {Jig. 199)

(S), (S' ) les deux corps tournant autour des axes projetés en 0 etO';

ac et ab les surfaces de ces corps à un instant tel que (S) est en repos et s'appuie en a contre (S'), sans qu'il y ait en ce point un plan tangent commun aux deux surfaces;

&)' la vitesse de (S') supposée constante, ayant lieu de la droite vers la gauche;

9 l'accélération angulaire de (S) également supposée constante, mais ayant lieu en sens inverse de w', c'esl-à-dire de la gauche vers la droite.

Fig- 199-

A l'instant qui suit celui que nous considérons, le corps (S'), en vertu de la rotation O)', se sépare du corps (S), qui luimême prend un mouvement accéléré; mais, au bout d'un temps qui sera très-petit, si, comme nous le supposerons, 9 est très-grand par rapport à o)', les deux corps se rencontreront en ayatil, en leur point de contact, le même plan tangent.

Soient

a' h' la nouvelle position de ab;

m le point de contact;

ai la nouvelle position du point de ac primitivement en a.

468 QOATRIÈHB PAETIB. — CHAPITRE TI.

Posons

r = Oa = Oa,, O/n = r-h Sr^

O'Oa = a, (yO/w = a -k ^a,

00' a = a', (WVÎi = a' -+- ^a'.

Désignons respectivement par

les déplacements angulaires de (S), (S') au bout du temps qui s'est écoulé jusqu'au moment du choc.

Soient enfin

d la distance des centres 0, 0';

aT, aT les tangentes en a aux courbes ac et ab;

V, V les angles qu'elles font respectivement avec Oa, O'a.

Nous ne conserverons que les premières puissances des quantités affectées de la caractéristique d. On a évidemment

(i) r'cosa'H-rcosa = <f, r'sina'— rsina = o,

( cosa'^r'-h cosa^r— r'sina'^a'— r sina^a = o, (2) <

( sina' Sr'— sina 3r h- r' cosa' ^a' — r ces a ^a = o.

Nous rapporterons respectivement les deux courbes ab et ac aux centres 0, 0' et à l'axe polaire 00'.

Si l'on conçoit que l'on ramène, par une rotation autour de 0', la courbe a'b' en ab, on voit que l'angle polaire de m, dans sa nouvelle position, sera égal à a' diminué de l'angle

mO'a'=aO'a'— mO'a = ^n* — Sol' -^

on a, par suite, et de même

)>BS tCHAPPElIBlITS* 4^

Si Ton substitue ces valeurs dans les formules (2) et que Ton pose, pour abréger.

on trouve, en résolvant,

r'sinV

— z—^jf = m

rsinV

m sinV CO8 V^^ff^ -h cos V sin (a -h «^ -^ V^ Sn

sin(a-+-a'-+-V-+-V')

/wco8V'sin(a-t- a'-hV) $n'-h sinVcosV^/î /wsin(a-ha'-i- Yh- V)

Soient maintenant (^ig". 200)

A, A' les points où les directions des tangentes aT, aV

rencontrent le prolongement O'x de 00'; £ l'angle formé par aT avec le prolongement de aX' ; I, r les angles respectifs que font aT avec aO' et aT' avec Oa.

La figure donne

d'où par suite

xka = V -h a, O'k'a = V'-4- a' - tt,

xA^ = 27r — V'-a',

fi = a7r — (V-ha-+-V'-+-a').

47^ QUATBifcMB PAETIB. — CHAPITRE YI.

Pour que le point de contact m se trouve à droite du point «r,, comme le suppose la Jig. 19g, il faut évidemment que le point A soit situé entre A' et 0'; dans le cas contraire, il suffirait de changer le signe de e.

Si ai est le prolongement de 0 a au delà de a, on voit que

d'où

(d) sin(a-4- a'-h V) = — sini;

on trouverait de même

(</') sin(a-t-a'-+-V')=-sin/'.

Les formules (3) deviennent, en ayant égard à ces valeurs et remplaçant m par son expression (fr),

î •, r sin /' cos V . ^/i — r' sin V cos V ,$n' \ rsine

' ft , r' sin / cos V .Sn'— r sin V cos V . Sn ~ /gins

Ces deux déplacements étant exprimés en fonction de Sn, Sn' ou du temps / qui est une inconnue de la question, il nous faut une nouvelle relation que nous obtiendrons en établissant la condition que les tangentes aux deux courbes coïncident au point m.

De la formule

(e) colV = i$^

on tire

pour la variation de V correspondant à celle {Sa — Sn) de a, lorsque Ton va du point a de ac au point de cette courbe correspondant à sa position mai. Au moyen des valeurs (a) et [e), la formule précédente se met facilement sous la forme

(5) SY = (^cos'V - ^^ g:) [Sa - Sn).

DES ÉGHAPPKMEMTS. 4?^

On peut simplifier cette expression en remarquant que, si p

est le rayon de courbure de ac en a, d (V -h «) est l'angle de

dr contingence, et r- Télément d'arc correspondant; de sorte

que l'on a

rfV d'où, en éliminant -7- au moyen delà formule (^).

et de même

(6') ^V = (1 ^ a COS'V- yX-^^l (^a' - ^„'),

p' étant l'équivalent de p pour la courbe ab.

L'angle des deux tangentes en m n'est autre chose que ce que devient l'expression de e lorsqu'on augmente respectivement V, V, a, a' de âV, dV, âa — âfi, àx—-^n\ En exprimant que cet angle est nul, on obtient la relation

On voit ainsi que, pour que la collision ait lieu comme nous l'avons supposé, il faut que l'anglee soit très-petit, ce qui est visible a priori, et l'on peut alors, dans les valeurs (4), remplacer s par sine avantd'en faire la substitution dans la formule (7). En remplaçant dans le résultat ainsi obtenu dn et an! par leurs valeurs, on obtiendra une équation du second degré qui permettra de calculer le temps t. Mais nous ne résoudrons complètement le problème que dans le cas où l'angle O'aO est égal à 90 degrés, le seul qui puisse nous intéresser dans la suite. Soient y, y' les angles aigus que forment les directions des tangentes aX, aV avec la perpendiculaire au rayon Oa, au

47^ QUATRIÈHB PARTIS, — GBAPITRB VI.

point a, menée dans le sens du mouyement de ce rayon. Nous

avons

ir ^ ir

/ = V--=7, |-' = V'-- =--7'; par suite, en vertu de la formule (c),

Si nous désignons par ti Fangle que forme Oa avec 00% qui est défini par la relation

r tangyî= ^î

et si nous substituons dans les équations (4) et (5) les valeurs, en fonction de y, déduites des relations précédentes, des angles qui y entrent, nous trouvons, en ne conservant que la première puissance de e,

/ -, » C087(sin7 — ecosy)§n — tangyïSin7(cos7— 6sin7)^/i'

oa — o/i=— ■ 5

«, -, , C0S7(8in7 — ecos 7)^/1' — cotïisin 7(0057-4- s sin 7) (î/i

oa. — on = }

-H (^«'- *«')[Mi+ C08'7)- p-^-e (asinay- ^ ^iï)].

Si Ton élimine i<x et da' entre ces équations, puis que l'on fasse

Sn=::' — j dn'=(ù't, on obtiendra une équation du second

degré en t dont la plus petite des racines, dans le cas où elles seraient toutes deux positives, sera celle qui correspond au choc.

Cas particuliers.

I® La partie du corps choquant qui vient frapper l'autre corps est une pointe aiguë, — Celle hypothèse revient à supposer que la courbe ac se réduit au point qui termine le rayon Oa. Dans les formules (2) il faut supposer dr = o,

DES ÉGHAPPEVBNTS. 47^

èa = in, et en ayant égard à la valeur (^i'], on trouve

j r'cos(V'-4-a')^a' — r'cosV'cosa'^/î'— rsinasinV'^/i = 0, ^^' \ r'8in(V'-ha')<ya'-r'cosV'sma'^«'— rcosasinV'(î/i = o;

d'où, par Télîmination de $a\

(9') r'cosV'^/i' = rcos(V' -h a'-t- a)^/i = — rco&i'$n

et enfin

a/ w' cosV ~~ r <f cos«'

Si les deux rayons Oa, O'a sont perpendiculaires entre eux, on a, en appelant/ Tinclinaison sur O'a de la tangente au point de contact,

et par suite, pour le rapport des vitesses normales au point de contact,

^ ' r w COS7

résultat qui est indépendant de la forme de la surface du corps (S').

Si dans l'hypothèse actuelle on divise les équations (9) l'une par l'autre, après avoir fait passer les termes en en dans

le second membre, on trouve, en remarquant que tang(x= -9

^/l'Yi-^'tanga')