I -h tanga' tang7' (tanga' — tang

2** La partie du corps choqué qui vient en contact avec le corps choquant est une pointe aiguë. — Pour obtenir l'équivalent de l'équation (9'), il suffit de changer l'accentuation des lettres, ce qui donne

reosV.^/? = — r'cos/^/i',

r'w'cosi f = — a ,

/•(p cos V

et enfin, dans le cas où l'angle O'aO est droit, on obtient éga-

47i QUATEIÈHB PART». — CHAPITRB VI.

lement pour le rapport des vitesses normales au contact

w'rcos7

Revenons au cas général, en supposant que les rayons de courbure soient assez grands pour que Ton puisse négliger

les rapports -? -, devant l'unité. Si l'on élimine Sa, âa' entre

les équations (8), que l'on néglige les termes en e dans les coefficients de dn= -^ ? dn'=:&)'/, on obtient un résultat que l'on peut mettre sous la forme

9/sin7 8^

w'cosy tangTi [(i -hsin^v) cosylangy} -+-(n-cos^7)sin7]r

Si l'on remplace dans le second membre t par la valeur

i6> COS7 tan^Yj

y sin7

résultant d'une première approximation, on trouve

(ft sin7

ei>'cos7tangY3

g'opsinv = a ' ^

w'cos7 lang7)[(n- sin^7) C0S7 lang>n- (i ^-cos'7) s'i^v]

Mais on pourra, en général, se contenter de la formule approximative

yfsin7 ^^ w'cos7 taiig>3 '

formule qui est celle que nous avons obtenue dans les cas particuliers étudiés plus haut.

§ 11. — Échappement a ancre.

171. Cette dénomination est due à la forme, se rapprochant de celle d'une ancre marine, affectée par la pièce oscillante qui arrête et laisse échapper successivement les dents de la roue d'échappement* Il existe, pour les chronomètres fixes

DES ÉGHAPPEUBNTS. 4?^

et portatifs, plusieurs variétés d'échappements à ancre. Nous nous bornerons à en indiquer ies principaux types.

172. Échappements des pendules. — i** Échappement à repos, — Soient (Jig^ 201)

O Taxe de rotation de la roue d'échappement dont les dents sont pointues et qui est censée se mouvoir de la gauche vers la droite;

0' celui de l'ancre;

6, a' deux points de la circonférence décrite par les extrémités des dentSy pris à égale distance et de part et d'autre du point de contact de Tune des tangentes menées du point 0' à cette circonférence.

Nous supposerons que l'arc a' b est assez petit pour qu'on puisse le considérer comme se confondant avec la tangente ci-dessus.

Les circonférences de centre 0% passant par les points b et a' , rencontreront la circonférence 0 en deux autres points c et d'y équidistants du point de contact de la seconde tangente menée du point 0'.

Faisons les angles bO' a au-dessus de 0'6 et cO'd' au-dessous de 0' c égaux à Tangle de levée qui est au plus égal à 5 degrés.

Soient a et d les points des droites O'a et 0' c déterminés par les circonférences de centre 0', passant par les points a' et d\ Les lèvres de l'échappement seront formées par les droues ab et cd. Deux arcs de cercle ef, gh de centre 0, com-

prenant entre eux le point 0' et limités respectivement aux deux circonférences ci-dessus, compléteront l'échappement dont ae et ch seront les repos extérieur et intérieur,

La fourchette qui établit entre l'échappement et le balancier la relation voulue est une tige légère fixée à Tarbre de . Tancre, parallèlement à la ligne des centres 00^ et portant à son autre extrémité une pièce fendue dans laquelle s'engage, sans jeu ni frottement, la tige du balancier.

La Jig. 20I représente la position qu'occupe l'ancre lorsque le balancier, arrivé dans sa position naturelle ou verticale, est sur le point de commencer sa demi-oscillation ascendante de droite; la dent dont la pointe est en c, arrêtée en ce point, se dégage, puis vient frapper la lèvre en communiquant une impulsion à l'ancre, et par suite au balancier; elle exerce ensuite une pression sur cette lèvre, et se dégage en d! : tout le corps de rouages se meut alors librement sous l'action de la force motrice, mais pour un très-0etit déplacement angulaire de la roue 0, limité par la rencontre de la dent a^ qui précède a! avec le repos ae sur lequel elle s'appuie pendant tout le temps que s'achève la demi-oscillation ascendante. Lorsque commence la demi-oscillation descendante suivante, le repos ae glisse sur la pointe ai, puis bientôt a et âi coïncident, et enfin la dent ax se dégage et vient frapper ab^ etc.

Soient

r' le rayon bO' de la circonférence extérieure de l'ancre; X l'angle de levée supposé très-petit; e l'épaisseur de l'ancre ;

/, /, les inclinaisons des lèvres d'entrée ab et de sortie cd sur les rayons O'a et O'c.

On voit facilement que

langv', = \ ) langy' = X - •

Dans le cas usuel où

on trouve

DBS ÉGHÀPPEHBKT8. 477

Nous allons nous proposer maintenant de déterminer Tinfluence que peut avoir l'échappement sur l'isochronisme du pendule, en examinant, comme si elle était seule, chacune des causes qui peut apporter une perturbation dans la loi du mouvement du pendule.

En premier lieu, occupons-nous du choc qui termine la période de la chute. La vitesse angulaire du pendule ou de l'ancre peut être considérée, à peu de chose près, comme étant la même au moment où le choc a lieu et lorsque la levée commence, puisqu'à ce dernier instant elle atteint son maximum et que, pendant la chute, l'angle décrit par l'échappement est très-petit.

Reportons-nous à la formule (lo) dun® 170, dont nous conserverons les notations à quelques variantes près.

Soient (o* = <p /, &)'« les vitesses angulaires de la roue et de l'ancre au moment où le choc commence ; r le rayon de la circonférence formée par l'extrémité des dents. Nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le point de la lèvre où le choc a lieu se trouve à la même distance du point 0' que son extrémité intérieure ou extérieure, selon qu'il s'agit de la lèvre de sortie ou d'entrée. Considérons le premier cas, le second pouvant s'en déduire en changeant r' en r' -f- e et attribuant une autre valeur à /. En vertu de la formule précitée, on a

(i) -^ = — cet/.

Les déplacements que nous avons supposés très-petits pendant la chute sont respectivement pour l'ancre et la roue

d'où

Sn'=

— cotv' — >

in =

- cotv'.

Désignons par a' l'angle 00' c et par iaf l'angle que formé

478 QUATRIÈME PÀBTIB. — CBAVITRE VI.

Oc avec le rayon qui joint O au point de la lèvre où le choc a lieu» angle que Ton déterminera au moyen de la formule (10') du n° 171, après y avoir remplacé dn' par la valeur trouvée plus haut.

Soient maintenant

0), &>', après le choc, les vitesses angulaires de la roue d'échappement et de l'ancre ;

r le moment d'inertie par rapport à 0' du système formé par l'échappement et le régulateur;

I le moment d'inertie, par rapport à l'axe 0, que l'on doit attribuer à la roue d'échappement pour qu'il soit permis de faire abstraction du corps de rouages;

p = rsin/, p'=r^ cosy' les distances des points 0 et 0' de la normale à la lèvre;

q = r cosy', 5' = r'siny' celles des mêmes points à la direction de la lèvre;

/ le coefficient du frottement développé pendant le choc entre la lèvre et la dent de la roue d'échappement.

La seconde des formules (4) du n® 151 (première Partie, t. II) s'applique ici et donne, après la substitution de la valeur de Wo déduite de l'équation (i) et de celles dep, ?,/>', 5',

tn-/tang7' ~|

i-+-/tang/-+- Y pi (tang7'-+-/)tang7' J

Gomme le rapport j a une valeur très-notable, à plus forte

raison lorsqu'il est multiplié par —^ on voit que le rapport -r

ne diffère de l'unité que d'une petite fraction, comme nous l'avons supposé au n® 162.

Nous allons maintenant chercher à nous rendre compte de l'influence que peut avoir, sur l'isochronisme, la pression continue exercée sur les lèvres, de l'échappement par les dents de la roue.

Pour simplifier, nous négligerons le frottement, et cela avec d'autant plus de raison qu'il n'est que de 7V enviroa de la

DBS éghâppbments. 479

pression normale, et que, d'après le tracé adopté en général^ son bras de levier par rapport à (y est inférieur à celui de cette presion.

Soient [fig* 202)

Fig. 202.

0', 0 les axes de Tancre et de la roue ;

a la naissance intérieure de la lèvre de sortie;

m le point de contact, à un instant quelconque, de cette lèvre

et d'une dent; n le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur 00'; rfla distance 00'; &, vp' les angles O'Om et OO'a; p' le rayon vecteur O'm; B' l'angle polaire mO'a; mN la portion de la normale à la lèvre, comprise dans l'angle

O'mO;

Nous rappellerons que l'angle 0' dm est égal à tt — y', et nous désignerons par 9o, 4*0 ^^^ valeurs de B et de 4*' qui se rapportent à la position verticale du pendule. La force motrice, qui varie relativement avec une grande lenteur, peut être considérée comme constante dans une période assez longue. Il en est de même, par suite, du moment d$ la force tangente à la roue qui lui ferait équilibre ainsi qu'au frottement dans la transmission. Nous ^désignerons ce moment par fz.

48o QUATRlftMB PAftTlB. — CHAPITRB YI.

Le moment du poids du pendule par rapport au point 0', en négligeant Tangle de chute, peut être représenté par f*' (+' — +'• )f f*' étant une constante.

Le principe des forces vives donne la relation

On a

O'mO = ir — e — otO'O = ir — ô — >|/' -+- e',

Si Ton exprime que les composantes des vitesses normales en m sont égales pour la roue et Tancre, on a

(2) »VC08(7'— 0') =wrC09(ô-l-4'' — /)

et de même L'équation (i) devient ainsi, par l'élimination de (ù, &)•,

(3) ) "" ïr . I ^' ^'^' 1

A réquation de la lèvre

^^^ ^ ~ sin(7'-ô')'

nous joindrons les relations

|p'8in(f-.0')-rsinO, ^ ' î p'co8(f--e')^rcose=rf,

pour déterminer les valeurs de 6 et de & en fonction de ^' et

DES ÉCHAPPSllErïTS. 4^1

substituer ensuite ces valeurs dans l'équation (i). Ce calcul qui, dans toute sa généralité» présente des difficultés insurmontables, se simplifie considérablement si Ton remarque que les angles vj;'— ij;'^ = ô^, 0—0^=30 et ô' sont toujours assez petits pour que Ton puisse sans grande erreur en négliger les puissances supérieures à la première. L'équation (4) se réduit alors à la suivante :

(4') p' = r'(i-4-&'cot7');

les équations (5), en se rappelant que 4''o + do= -? donnent

Comme le rapport y—^ est toujours une petite fraction, on

peut négliger d' et d^' dans le coefficient du terme en (ù^ de l'équation (3). Cette équation devient ainsi

d'où, en différentiant par rapport au temps,

<5') (l' ^ I J cotv) '-§- =-\^^'^ f* ~ coty.

Si nous posons

, , fi - cot/

nous aurons

Gomme nous analysons séparément, ainsi que nous l'avons dît plus haut, les effets des causes perturbatrices, nous ferons abstraction de la chute, et en plaçant l'origine du temps à l'instant où le pendule se trouve dans sa position moyenne, nous aurons

^^ o, -^ = &>; pour / = o;