FE

que l’on augmente son moment d’inertie I, la fraction — - — diminuera , et

par conséquent ces vitesses angulaires différeront d’autant moins. Et, comme le moment d’inertie est en raison composée et de la masse du volant et de la distance à laquelle cette masse est rejetée loin de cet axe, on voit qu’il est toujours possible de disposer ce volant de manière que le mouvement soit très-peu irrégulier, lors même que la quantité totale de travail développée par les puissances serait très-grande. Remarquons encore que si les puissances agissent entre elles de manière qu’elles accélèrent le mouvement, cet excédant de quantité de travail devient une force vive qu’emmagasine le volant. Si , au contraire , de nouvelles résistances surviennent et que le mouvement se relentisse, l’inertie du volant s’ajoutera au travail des forces qui favorisent le mouvement pour vaincre ces résistances. Ainsi, l’utilité du volant consiste à absorber l’excès du travail de la puissance sur la résistance pour le restituer ensuite à la puissance, quand le travail de celle-ci devient inférieur. Aussi y a-t-il certaines machines où sans un volant le moteur ne saurait faire marcher l’outil. Si, par exemple, un moteur est destiné à faire marcher une scie , il est évident que le travail de cette dernière n’est pas le même pendant sa montée et pendant sa descente, parce que la scie ne mord dans le bois que quand elle descend. Ainsi le travail du moteur, supérieur à celui de l’outil pendant une demi-oscillation , doit lui devenir inférieur pendant la demi-oscillation contraire. Dans le premier cas le volant s accélère et absorbe de la force vive; dans l’autre cas, au contraire, cette force vive est restituée et ajoutée à celle du moteur, pour vaincre le travail de la résistance devenu alors plus grand.

63. Distance de l’inertie d’un corps qui tourne autour d'un axe. — On sait que si une masse m reçoit dans un très-petit temps t le degré

ne vitesse», la mesure de la force d’inertie f est — — — . Pour une autre

— . Si de plus les masses

niasse m' on n’aurait f' — m,m', m", font partie d’un même corps qui tourne autour d’un axe, leurs petits degrés de vitesses respectifs sont évidemment proportionnels à leurs distances r, r\ r". Donc, en désignant par v l le petit degré de vitesse imprimé 3 l’unité de distâncG de C 6 t 3X6 , on 3

d’où

nir X ? f ' = m ' r ' X - 7 - 1 et f = t *

Mais si cet accroissement de vitesse angulaire v I a été produit sur le corps par la force motrice F perpendiculaire à l’axe et appliquée à une distance R de cet axe, cette force est la mesure de l’inertie du corps et doit faire équilibre à toutes les forces d’inertie partielles f, f ,f', ... . en sorte que le moment FR sera égal à la somme des moments/r , / r , f' r' - Substituant à f, f , f , . . ■ .

leurs valeurs mr X m ' r ' X -j, m"r" X • • • • on aura enfin FR = V -j (mr 2 -f- mr' 2 m"r " 2 ) , ou FR = V -j X I.

Donc, le moment de l’inertie totale du corps qui a un mouvement de rotation est égal au moment d’inertie de ce même corps par rapport à l’axe, multiplié par le quotient du petit degré de vitesse angulaire imprimé et du petit temps pendant lequel ce petit degré a été communiqué. Malgré l’analogie qui existe entre le moment de l’inertie d’un corps, et ce que nous avons nommé son moment d’inertie , on reconnaît qu’il ne faut pas les confondre l’un avec l’autre. La même équation

Î XR = ^X 1 5 ou v l =

FR X t

nous apprend que quand on connaît la force motrice F qui imprime à un corps un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire à sa direction , on trouvera à chaque instant le petit degre de vitesse angulaire v t communiqué, pourvu que l’on calcule le moment d’inertie du corps par rapport a 1 axe. De là, il est possible , au moyen d une courbe qui a pour abscisses une suite de petits temps t égaux, et dont les ordonnées sont les vitesses acquises, de déterminer la loi de ce mouvement.

64. Théorème sur le moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque. — Le moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque , moment que, dans tout ce qui précède, nous avons représenté pai la lettre I , n est autre chose que la somme des produits des diverses

masses qui composent le corps , multipliée par le carré de leurs distances respectives à l’axe. De tous les moments d’inertie d’un même corps , les plus faciles à obtenir sont ceux que l’on prend par rapport à un axe qui passe par son centre de gravité. Il est donc important de trouver le moment d’inertie par rapporta un axe quelconque, au moyen de celui qu’on détermine par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité. Soient GH ( fig. 76) ce dernier axe, LM un axe quelconque parallèle a GH, m une petite masse du corps GKH par lequel nous imaginerons un plan perpendiculaire à ces deux axes qui le coupe en a et en b. Formons le triangle amb, et abaissons du point m la perpendiculaire md à ah, on aura , d’après la propriété connue du triangle,

[mb) 2 — (ma) 2 -f" “T X «d).

Désignant par r la distance mb du point m à l’axe quelconque LM, par r l celle ma du même point à l’axe GH du centre de gravité, par K la distance constante ah des deux axes qui est encore celle du centre de gravité à l’axe LM, et par d la distance ad du point ïï au plan mené par GH perpendiculairement à celui qui contient les deux axes : l’équation précédente devient

r 2 =.r x -f K 2 -{-2K; . d, et multipliant par la masse m ,

m . r 2 — m , r, 2 -j- m . K 2 2K. . ni . d.

Pour d’autres masses m ' , m " on trouvera

Ajoutant toutes ees équations terme à terme, et appelant I le moment d’inertie mr 2 -j- m'r'- -j- m"r" 2 par rapport à l’axe quelque LM , et Ij le moment d’inertie mr - -j- m'r(- -j- .... par rapport à l’axe GH qui

passe par le centre de gravité , on arrive à cette dernière relation ,

Or , m - j- m! -j- m'' -j- . . . . est la masse totale du corps ;

m . d -j- m! . d' -j- ni ' . d" -j- . . . . est la somme des produits de chaque masse partielle par sa distance à un même plan perpendiculaire à celui des deux axes , ou bien celle des moments de ces masses par rapport à ce plan , ou bien encore le moment de la masse totale M par la distance du centre de gravité au plan. Mais le centre de gravité du corps est situé sur ïaxe GH et par conséquent aussi dans le plan de ces moments : donc, la distance à ce plan est nulle , et il en est de même de la somme

m , d -f- m! . d' ni' . d" . . Donc la relation précédente se réduit

à cet autre ,

2 m0 PARTIE.

46 deuxième partie.

I = 1, 4- MK 5 .

Ainsi, le moment d’inertie d’un corps pris par rapport à un axe quelconque est égale au moment de ce corps pris par rapport à un axe parallèle qui passe par son centre de gravité, augmenté du produit de la masse de ce corps, multipliée par le carré de la distance de son centre de gravité au premier axe. Il résulte de ce théorème que si les distances des diverses molécules d’un corps à son centre de gravité sont petites comparativement à celles qui séparent ce centre de l’axe de rotation , on pourra tout simplement prendre pour le moment d’inertie le produit de la masse du corps par le carre de la distance de son centre de gravité à l’axe. Enfin, si l’on multiplie les deux termes de l’égalité I = I t -j- MK 2 par le carré de la vitesse angulaire Y x avec laquelle le corps tourne autour de l’axe extérieur LM, on aura

y*XI=VXI,+m.k*v».

0r \-[ 2 X I est k* f° rce v * ve possédée par le corps ; Vj 2 est celle qu’il posséderait s’il tournait autour de l’axe parallèle passant par le centre de gravité avec la même vitesse angulaire V t ; MK 2 V t 2 est la force vive du même corps en le supposant concentré à son centre de gravité. Donc la force vive d’un corps qui tourne autour d’un axe est égale à la force vive de ce même corps concentré à son centre de gravité , augmentée de celle qu’il posséderait s’il tournait avec la vitesse angulaire qui lui est propre autour d’un axe parallèle passant par ce centre. Enfin, quand les dimensions du corps sont très-petites par rapport au centre de rotation , ou que I t X Y 2 est négligeable par rapport à I X V t 2 , on a simplement IXV = MK 2 V { 2 , c’est-à-dire que la force vive d'un corps est égale au produit de sa masse et du carré K 2 Y, 2 de la vitesse de son centre de gravité.

65. Moment cCinertie d’un corps par rapport à ses volumes partiels. — tes moments d’inertie dont il a été jusqu’ici question sont relatives aux masses partielles ni, ni , n" . . . . d’un corps. Or si le corps est homogène et que l’on désigne par D sa densité ou le poids d’un mètre cube de la matière de ce corps, par a, a', a!’ le volume des masses mm, ni, ces der-

parce que les poids de

nières sont égales à

ces masses ne sont que le produit de D multiplié par leurs volumes respectifs. Ainsi , le moment d’inertie mr~ -j- mW- -L pourra être mis sous cette

autre forme

^ K + ffl V 2 -f«V ' 2 + ....),

le moment d’inertie du corps par rapport à son volume étant ai 2 -J- a'r’ 2 -fa” r" 2 .... Il suffira de le multiplier par la densité du corps divisée par la gravité g pour en conclure le moment d’inertie par rapport à la masse. 66. Moment d inertie de divers corps par rapport à leurs volumes. — Nous

allons maintenant indiquer divers moments d’inertie de volumes tout calculés.

1° Le moment d’inertie d’une barre (fig. 77) dont la longueur est a, pris par rapport à un axe passant par son milieu et qui lui est perpendicu-

laire , est o°.

2° Le moment d’inertie d’un cylindre droit à base circulaire ( fig. 78 )

dont le rayon est r , et c la longueur parallèle à son axe , est , en nommant

22 , 3 - 5 t le rapport 3,142 , ou y- , de la circonférence au diamètre , ycr 4 .

3° Celui d’une jante ou d’un anneau rectangulaire concentrique à Taxe

( fig. 79 ) et dont a est l’épaisseur parallèle à cet axe , b la longueur dans le

| , ou sim-

plement 2 xr.ab.r 2 , à y-y près , quand b est moindre que § r.

4° Celui d’un segment sphérique pris par rapport au diamètre passant par le milieu de ce segment ( fig. 80 ) , r étant le rayon de la sphère, et f la flèche du segment , est

. Le moment d’inertie de la sphère entière

par rapport à un de ses diamètres est -rrrir . r 5 .

5° Celui d’un cône droit à base circulaire (fig. 81) dont r est le rayon de la base et a la hauteur , pris par rapport à cette hauteur comme axe , est

yj -ar l . Par conséquent

celui d’un tronc de cône droit dont a est la hau-

teur, r et r ’ les rayons de la grande et petite base , pris par rapport à l’axe, r 5 — r ' 5

sera

6° Le moment d’inertie d’un ellipsoïde , en nommant a, b, c (fig. 82) ses

trois axes , et E son volume = -y Trabc, pris par rapport au diamètre a ,

est | ( b 2 c 2 ).

/° Celui d’un parallélipipède rectangle dont les trois côtés sont a, b, c (fig. 83), pris par rapport à un axe passant par son centre et parallèle à r * 1

larete a , est y^ abc (b 2 -f- c 2 ) ; le moment d’inertie étant pris par rapport à une droite parallèle à a et passant par le milieu de la face qui a b et

a pour côtés , est ~ a j c (£2 ,

8° Celui d’un prisme droit à base de trapèze ayant b , b' (fig. 84) pour le

plus grand et le plus petit côte parallèles , c pour hauteur perpendiculaire à la fois sur les milieux de ces côtes; ce moment, pris par rapport à un axe passant par les milieux des grandes bases b des trapèzes et parallèle aux arêtes a , est

Quand b etp sont moindres que -g- c , on peut négliger — que le moment d’inertie devient

en sorte

— (b — SV), a ggpres.

9° Si l’on remplace les trapèzes du prisme ci-dessus par des segments de paraboles, dont c (fig. 85) est la longueur du grand axe, b la corde perpendiculaire à cet axe qui termine la parabole , le moment d’inertie par rapport à une droite parallèle aux arrêtes a du prisme et passant par le

2 , IS.'o.b-

milieu de b est -g- abc

Quand b sera moindre que c l’on prendra

¥ «Z,c — e- = a . ô . e% a —près.

Ce dernier article est en partie relatif aux bras des balanciers , etc. , dont la forme doit approcher de celle de la parabole , pour offrir une égale résistance dans tous les points.

67. Application des moments d’inertie. — Par exemple, dans le cas d’un marteau qui tourne autour d’un axe O (fig. 86) , et dont P serait le poids de la tête , R la distance à l’axe 0 de son centre de gravité , on pourra (2 e partie, 64), attendu que les dimensions de cette tête sont ordinairement assez

faibles a 1 égard de la distance R, prendre — . R 2 pour la valeur approchée

du moment d inertie. Quant a celui du manche, on l’obtiendra immédiate" ment d après le résultat (7°) ci-dessus , puisque sa forme est à-peu-près celle d’un parallélipipède rectangulaire , tournant autour d’un axe parallèle à 1 une a de ces arêtes et passant par le milieu b de son épaisseur. En prenant donc c pour sa longueur et nommant P son poids, R' la distance de son centre de gravité à Taxe, D sa densité , son moment d’inertie à cause de D' X a bc = P' sera

b lX^l

La recherche du moment d’inertie se simplifie pour le volant , en remarquant que toutes ses parties sont rejetées à une distance de l’axe qui est

sensiblement constante. Ainsi, en appelant R le rayon moyen du volant, les distances r, r', r" . . . . des masses m, m', m" à cet axe seront égales à R , d’où P

I = — X R 2 - Qnant à la force vive du volant dont V est la vitesse an-

gulaire , elle est exprimée par le produit I X V r 2 ou par — X R 2 X V i 2 -

Pour avoir la vitesse angulaire du volant , on comptera le nombre de tours qu’il fait dans un temps déterminé 5 on multipliera ce nombre par 2 s- , ou

par ~ ; enfin , le quotient de ce produit , divisé par le nombre de secondes

contenues dans la durée de l’observation , ne sera autre chose que la vitesse angulaire. Supposons que Y, soit de S m pour un volant dont le poids P est 200 kilogr. et le rayon moyen R est 2 m , on aura, en remplaçant

g par 9 m ,81 pour l’expression du moment d’inertie X 4 = 720, et pour

celle de la force vive , 720 X 9 m = 6480 , dont la moitié représente une quantité de travail de 8240 kilogr. absorbée par l’inertie du volant et restituée ensuite lorsque la puissance cessera entièrement d’agir.

YII.