MACHINES SIMPLES. ASSEMBLAGES DE BARRES OU CORDAGES

82. Équilibre d'une corde ou barre tirée par ses deux extrémités ; sa tension. — Nous allons passer à l’examen des machines simples , appelées ainsi parce que toute machine quelconque se compose du système de 1 une ou de plusieurs d’entre elles. Nous commencerons par la machine funiculaire , ou assemblage dé cordes ou de barres, et nous supposerons généralement les cordes ou les barres parfaitement rigides, inextensibles; nous ferons même abstraction de leur pesanteur et de leur inertie. L’inertie est, en effet , peu de chose comparativement aux forces appliquées si le mouvement venait à varier. Lorsque d’ailleurs il deviendra utiie d en tenir compte, on le pourra au moyen des principes déjà poses. Il en est de même du poids des cordes ou des barres, lorsque ce poids est comparable aux forces extérieures, mais ce cas est fort rare dans la pratique. Enfin, 1 hypothèse qu’elles sont inextensibles est fondée sur ce que , dès qu une corde a été étendue sous l’action d’une ou de plusieurs forces, celles-ci restant les mêmes, elle se comporte ensuite comme si elle était inextensible.

Soit donc une corde AB (fig. 1 12) , tirée à ses deux bouts A et B par des forces quelconques; imaginons à chaque bout des plans tels que MN, M'N, perpendiculaires à la direction de la corde, et décomposons les forces chacune en deux autres , l’une dans le pian perpendiculaire placé au bout de Sa corde qui lui correspond , et l’autre dans la direction AB de cette corde. Comme cette corde n’est pas destinée à cheminer perpendicuiairement à son mouvement , il est évident que les composantes perpendiculaires à sa direction devront se faire équilibre d’eiles-mêmes. Il ne restera plus qu’à considérer celles qui agissent dans la direction AB. 11 conviendra évidemment pour l’équilibre que cette corde soit continuellement tendue , et qu’en vertu du principe de l’action égaie et contraire à la réaction , i a somme ou la différence des composantes qui agissent selon la direction AB à l’extrémité A soit égale et contraire à la somme ou à la différence des composantes qui agissent au point B : autrement dit , toutes les forces données devront se réduire pour l’équiiibre à deux forces égales et contraires. I! sera de plus nécessaire que ces deux forces exercent leur actif» 1

en tirant en sens contraire sur la corde , car si elles poussaient contre cette dernière , elle se plierait et ne pourrait transmettre intégralement leur action réciproque. Si, au lieu d’une corde, il s’agissait d’une barre, les conditions d’équilibre seront encore les mêmes; seulement alors , la barre étant susceptible de résister aux refoulements , les deux forces appliquées à ses extrémités pourront aussi Lien la pousser que la tirer. Quoiqu’il en soit , en se rappelant ce qui a été dit sur la composition des corps , on peut supposer que les petits ressorts placés entre chaque point de la barre ou de la corde sont tendus ou comprimés par deux forces égales et contraires et de même intensité que les forces qui agissent aux extrémités. Ces forces égales qui s’entre-détruisent à chaque point C sont ce qu’on nomme la tension de la corde ou de la barre. La tension est la même en chaque point , sauf le cas où une barre est tirée verticalement, parce que, outre les forces des extrémités , il y a ici d’autres forces qui font varier la tension d’un point à un autre'.

Quand on tire sur une barre ou sur une corde , elle s’allonge et même elle peut se rompre. Si elle était également résistante, cette rupture devrait avoir lieu simultanément dans tous ses points, et cependant il n’en est pas ainsi dans les arts : les barres ou cordes ne sont point homogènes . et on les voit se rompre là où la résistance est la plus faible. — Quand deux morceaux de ficelle ont des longueurs égales , il n’y a pas de raison pour que l’une se rompe plutôt que l’autre sons une même résistance ; savais lorsque les longueurs sont inégales , il y a plus de chance pour la rupture de la ficelle qui est la plus longue. Voilà pourquoi une grande corde ou ficelle se rompt plus facilement qu’une plus courte. Nous reviendrons plus lard sur ces résistances ; nous nous bornerons pour le moment à observer que leur force se mesure soit avec des poids , soit avec des dynanomètres.

8 t>. Quantité de travail exercée sur une corde. — On vient de voir que , pour que des forces se fassent équilibre aux extrémités d’une corde, il faut que la résultante des forces qui agissent à un bout soit égaie et immédiatement contraire à celles des forces de l’antre bout , et que les directions de ces résultantes se confondent avec celle de la corde. Le travail de ces résultantes devant être le même , on en conclut que la quantité de travail des forces qui agissent à un bout est égaie à celle des forces qui agissent sur le bout oppose. Enfin , l e travail de ces résultantes est aussi égal à celui de la tension de la corde en un point quelconque C ; et pour l’évaluer il suffit de multiplier cette tension par le petit chemin décrit par ce point dans la direction de cette tension ou de la corde. Ainsi , le travail de plusieurs forces appliquées à une même corde est encore égal à la quantité de travail de la tension de la corae. Dans la sonnerie des cloches on fixe ordinairement au bout de la corde principale AB (fig. i 13 ) un certain nombre e 00. déliés sur lesquelles un même nombre d’hommes tire séparément.

chacun pour son compte. 11 serait difficile d évaluer le travail partiel de chaque sonneur , parce que la direction de son effort varie à chaque instant. Mais il v a une tension générale exercée sur le câble AB , et la quantité de travail de cette tension est précisément égale à la somme des quantités de travail développée par les hommes. Remarquons que leurs efforts se décomposent en efforts horizontaux et en efforts verticaux ; que les uns doivent se faire équilibre par eux-mêmes et s’entre-détruire ; et que les derniers seuls travaillent , et sont égaux en somme à la tension du câble. Les efforts horizontaux sont donc exercés en pure perte et fatiguent mutilement les hommes. Ainsi , quoique toute la quantité de travail des hommes soit transmise au câble , la disposition des cordelles inclinées est une cause de fatigue d’autant plus grande qu’elles sont plus inclinées. C'est pour cette raison qu’on a imaginé de les relier à un cercle commun horizontal dont le centre est à l’aplomb du câble , et dont la circonférence supporte d’autres cordelles ou tirandes verticales auxquellesleshommes sontapphques.

8-i. Équilibre sur des cordes qui concourent en un même point. Lorsque plusieurs forces agissent sur des cordes qui concourent en un même point, la tension de l’une étant égale à la résultante des efforts qui ont lieu sur toutes les autres , on voit que , pour qu il y ait équdibre , cette même tension devra être égale et directement opposée à la force qui sollicite la corde que l’on considère. Donc, si des forces sont appliquées à des cordes concourantes, la condition de leur équilibre exige que l'effort de l’une d elles soit égal et directement contraire à la résultante des forces qui tirent toutes les autres. — On sait qu’un réverbère est suspendu par une poulie mobile C (fig. 114), dont la gorge peut glisser sur une corde ACB , attachée a deux points fixes A et B. S'il y a équilibre , il est évident que le poids P du réverbère doit être égal à la résultante des tensions t et t' qui ont lieu sur les deux branches AC et CB de la corde de suspension , ou que , sur la verticale CE on prenne CD proportionnelle à ce poids, et que l'on construise le parallélogramme C#Di'; les côtés C t et Cf devront représenter ces tensions respectives. Or, la longueur de la corde ACB étant constante, le point C appartient en outre à une ellipse dont A et B sont les foyers ; et sa position sur cette ellipse, comme pour tout système pesant en équilibre, doit être telle que l’équilibre soit stable; ce qui n’aura lieu qu’autant que le point C sera le plus bas possible. Ce point est d’ailleurs celui où la tangente à la courue est horizontale. Or, les angles que la tangente à l’ellipse fait avec les rayons vecteurs AC et CB sont égaux : donc, pareillement, la verticale CD parta géra en deux parties égales l’angle ACB de ces rayons vecteurs. Par conse quent, la figure CtDt' est un losange, et l’on a t = t'. Cela résulte immédiatement du principe de la réaction égale et contraire à l’action , attendu q u les cordons se tirent entre eux immédiatement au travers de la gorge o e poulie C, comme au travers d’un anneau. — Si le point C d’application d ul

fardeau ne peut glisser , il n’y a plus à rechercher sa position , il est le sommet du triangle ABC. En faisant la décomposition du parallélogramme, on trouve que les deux tensions ne sont plus égales et que la plus grande a lieu du côté où la verticale du fardeau est la plus rapprochée de celle de chaque point fixe. En effet , si le fardeau était placé dans la verticale de A ou que la ligne AC fût verticale , la tension serait la plus grande possible du côté de ce point , puisque alors elle serait égale au poids du fardeau ; de plus, la tension exercée sur la branche BC serait zéro. On voit encore qu’il serait impossible que le point de suspension C laissât du même côté les verticales des points fixes A et B. Si, par exemple, le cordon a une longueur AC'B (fig. 115) et que le point donné de suspension soit C', ce dernier prendra la position C" sur la verticale de A, et la branche de corde du côté B sera détendue.

80 . Équilibre du polygone funiculaire. — Considérons un polygone funiculaire ABCD.... (fig. 116), composé d’un assemblage de cordes ou de barres , et tiré à ses sommets A , B , C , D par des forces quelconques P , 0 , R, S. Soient, en outre, N et N' deux forces de tirage agissant aux deux sommets A et D , suivant les directions AA' et DD', et qui représentent les efforts exercés aux deux extrémités par lesquelles ce polygone est attaché. Les conditions d’équilibre sont analogues aux précédentes , et la figure que formeront entre eux les côtés en tournant autour de leurs articulations pour satisfaire à cet équilibre est dite polygone funiculaire. Elle sera telle que 1 équilibre subsistera sur chaque sommet en particulier. Ainsi , en décomposant chaque force R en deux autres forces dirigées sur les côtés BC et CD adjacents à son sommet d’application C , ces deux forces seront égales et directement contraires aux tensions t , et t z de ees côtés. Observez que cet équilibre est indépendant de la longueur des côtés, et qu’il aura lieu lors même que ces côtés seront devenus nuis. Dans ce dernier cas, toutes les forces extérieures auront été transportées parallèlement à elles-mêmes autour dun même point, aussi bien que les tensions des côtés; mais, comme chaque côté est tiré par deux tensions égales et contraires, celles-ci se détruiront entre elles , et il ne restera que les forces étrangères aux tensions. Ces forces se faisant encore équilibre autour du point sur lequel elles auront été transportées, on voit que la condition de l’équiiibre d’un polygone funiculaire est que toutes ses forces qui lui sont appliquées se fassent équilibre lorsqu elles sont transportées en un même point parallèlement à elles-mêmes.

86 . Equilibre d’un poligone supportant un poids. — Si toutes les forces P,Q, Rj S(%- 1 17) sont parallèles, la force est dans le plan des côtés BC et CD adjacents à son sommet d’application C; la force Q est également dans le plan des côtés AB et BC : donc les trois côtés AB , BC et CD sont dans le même plan qui passe par les directions des forces parallèles Q et R. On démontre- 2 me PARTIE. i n

7g deuxième partie.

rait delà même manière manière que tout le polygone est dans nn seul et même plan , ainsi que les forces parallèles qui lui sont appliquées. Si l e polygone est , par exemple , un assemblage de barres pesantes , les forces qui sollicitent chaque côté sont précisément leurs poids respectifs. Soit p le poids de la barre AB. Ce poids devant passer par le milieu de AB , ou par son centre de gravité , se décomposera en deux autres forces , égalés a f p, appliquées en A et B ; de même, le poids q de BC donnera lieu a deux composantes § q , appliquées en B et C ; et le poids r de CD a deux autres composantes \r, appliquées en C et D. Ainsi, chaque sommet B et C sera

soumis à l’action des forces f (>+ 5 ), i ( 3 + r )’ <I ui seront *& ales à ia demi-somme des poids des côtés adjacents : il n’y aura que les sommets extrêmes qui supporteront le demi-poids du côté qui leur aboutit respectivement. On n’aura plus ainsi à s’occuper que d’un polygone sans pesanteur chargé à ses sommets. Dans tous les cas, puisque toutes les forces verticales P, Q. R, S doivent être en équilibre avec les forces X et X' qui supportent le polygone , ou qui sont exercées à ses deux points de supension A' et D', il faudra que la résultante des premières soit égale et directement opposée à celle de ces dernières. D’ailleurs , la résultante de tous les poids P. Q, R. S a sa direction selon la verticale qui passe par leur centre de gravité G. Par conséquent , les directions AA' et DD' des efforts X et X , ou tensions extrêmes, se coupent en un même point O de cette verticale. Si donc 031 représente la somme de tous les points P, Q, R, S , ou leur résultante , les côtés OV, OU du parallélogramme construit sur les prolongements de ces tensions extrêmes et dont 031 est la diagonale donneront, l’un la tension N exercée au point A' , et l’autre la tension X' exercée au point D'.

87. Moyen général de trouver les tensions. — Il est utile de connaître la tension de chaque côté intermédiaire du polygone funiculaire pesant , afin de proportionner convenablement les grosseurs de ses côtés. Soit ABCDE. , . . (fig. 118) un polygone pesant en équilibre , en vertu des poids P , Q, R . S, T qui agissent à ses sommets , et des forces extrêmes N et N' dont les directions sont AA' et EE'. Je remarquerai que, puisq« e l’équilibre subsiste autour de chaque sommet A , la force X dont l’action a Heu suivant AA' est égale à la résultante des deux forces P et f,, et que 81

l’on prend Are = X sur le prolongement de A'A et que l’on construise le

parallélogramme ktpnp sur Are comme diagonale , les côtés du triangle A pn représenteront , l’un kp la force P , et 1 autre pn la tension d' 1 côté AB. Cela posé, menons une horizontale a'e sur laquelle, a p artir du point arbitraire a', nous porterons des parties a' a , ah , hc , cd , de , P r ^ portionnelles aux forces P, Q , R , S, et T. Si , par le point a' je même « perpendiculaire à la direction A'A de la force X et dont la longueur soi proportionnelle à la force X ou An , et que je joigne aS , il est évident q

le triangle o'Sa sera semblable à kpn. Car les côtés du premier a a et a'S sont proportionnels aux côtés Ajo et Are du deuxième. Déplus, ces côtés étant perpendiculaires entre eux, les angles qu’ils comprennent sont respectivement égaux. Ainsi, le troisième côté aS du triangle a'Sa sera proportionnel à pn ou à la tension #, deAB.Par la même raison ah étant proportionnel à Q, le troisième côté bS du triangle <zSô sera proportionnel à la tension t, du côté BC, puisque les trois forces l l Q et t 2 se font équilibre autour du sommet AB. Enfin , puisque a'a et aS sont perpendiculaires aux directions Are et kp des forces N et P, «S sera perpendiculaire au côté AB dont cette grandeur mesure la tension f,. II en sera de même par rapport au côté BC , de bS qui mesure sa tension Donc, si les poids se font équilibre sur un polygone funiculaire, et si l’on prend sur une horizontale une suite de divisions proportionnelles à ces poids , les perpendiculaires menées par chaque point de division à chaque côté du polygone concourront en un même point, et leurs grandeurs , comprises entre l’horizontale et ce point de concours , seront proportionnelles aux tensions des côtés du polygone , auxquels ces lignes convergentes sont perpendiculaires.

88. Chaînette, son utilité dans les arts. — Les côtés du polygone peuvent être très-petits et n’ètre soumis qu’à l’action de leur propre poids; ce cas est précisément celui d’une chaîne suspendue par ses extrémités A et B (fig. 119), et le polygone devient une courbe qu’on nomme chaînette. Celte courbe est employée avec avantage pour la forme à donner aux voûtes, et l’on en voit un exemple au dôme du Panthéon de Paris , dont une des voûtes est tracée en chaînette renversée. Il faut concevoir que , pour une telle position de la cbaînette , des boules égales et juxtaposées sur sa couruure y resteront en équilibre , parce qu’il n’v a aucun changement ni dans I action de la pesanteur sur ces boules, ni dans Faction réciproque en vertu de laquelle elles se foulent l’une contre l’autre. Ces refoulements remplacent ici les tractions qui auraient lieu sur les éléments de la chaînette si cette dernière était pendue naturellement, et qu’elle soutînt toutes les boules enfilées. C est donc pour cette raison que les voussoirs d’une voûte qui aurait pour cintre une chaînette renversée, s’y maintiendront en équilibre. La chaînette est encore employée dans les ponts établis sur une ou plusieurs chaînes tendues parallèlement et également d’une rive à 1 autre , et qui sont chargées de madriers. Mais , dans leur construction, il importe de connaître les tensions extrêmes de ces cordes, afin de s’assurer que les points fixes qui leur servent d’attache sont suffisamment résistants.

89. Propriétés générales de la chaînette. — Une chaînette ÀCB (fig. 121), suspendue à deux points fixes A et B , n’est autre chose, avons nous dit , qu un polygone pesant en équilibre et dont les côtés sont infiniment petits; en sorte que si, sur une ligne horizontale A'B', on prend une longueur ATT proportionnelle à son poids , et qu’on divise cette longueur et la chaînette

en un même nombre de parties égales, il existe un point de concours S jouissant de cette propriété , que toutes les droites menées de ce point à toutes les divisions de A'B' sont perpendiculaires aux petits côtés ou éléments de la chaînette correspondant à ces divisions . et que les grandeurs SA', SE', .... de ces mêmes lignes sont proportionnelles aux tensions qui ont lieu dans les éléments de la courbe perpendiculaires à ces directions. De toutes ces tensions , la plus petite est donnée par la perpeniculaire SC' à l’horizontale A'B'. Or, l’élément de la chainet'e auquel cette tension correspond étant lui-même horizontal, ce sera le point le plus bas C de la chaînette. Les tensions devenant plus grandes a mesure que ies obliques SE'. . . . s’éloignent plus de la perpendiculaire SC', on voit que les tensions des éléments d’une chaînette augmentent à mesure que ces éléments s’écartent du point le plus bas. Il suit de là que les tensions les plus grandes possibles sont aux points d’attache A et B. Beux tensions égales SE' et SG' appartiennent à deux éléments de la courbe situés à égale distance du point le plus bas C ; de plus , ces éléments forment des angles égaux avec la verticale LC passant par ce point : donc ces éléments 31 et N sont situés sur une même horizontale NM, et cette corde NM, ainsi que toutes ses semblables, seront partagées en parties égales par cette verticale. Ainsi, la chaînette est une eaurbe symétrique par rapport à la verticale passant par son point le pins bas. Il résulte encore que si les points d’attache d’une chaînette sont sur une même horizontale, les deux tensions extrêmes sont égales, et que le point de concours qui détermine toutes ies tensions est sur la perpendiculaire menée par le milieu de l’horizontale proportionnelle au poids de la chaîne. A et D étant, par exemple , les deax points de suspension, et A'D' étant une longueur proportionnelle au poids de la chaînette ACD, SC' perpendiculaire à A'D' et passant par le point de concours S , coupera A'D' en deux parties égales A'C' et C'B'.

90. Chaînettes semblables. — Deux chaînettes ACB et acb ( fig. 121 ) sont semblables lorsque leurs points de suspension A et B d’une part et a et b de l’autre sont situés sur des droites AB et ab parallèles, et lorsque leurs longueurs ACB et acb sont dans le même rapport que les distances AB et ab. Remarquons, en effet, que si l’équilibre subsiste sur la chaînette ACB, cet équilibre ne sera pas troublé ( 2° partie , 85 ) en diminuant proportionnellement les longueurs de ses éléments ou de ses diverses dimensions. Ainsi , lorsque ACB est réduit à la forme acb, non-seulement l’équilibre aura lieu pour cette dernière, mais encore il r.’y aura pas une seule de ses parties qui ne soit parallèle et proportionnelle à une des parties de la première. Mais, puisque les éléments de la petite chaînette acb sont parallèles à ceux de la grande ACB, toutes les tensions de cette dernière pourront être comprises dans l’angle A'SB' qui intercepte les diverses tensions de la grande on pourra alors trouver dans cet angle la position d’une droite a'b' parallèle

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE, à A'B' et qui représente le poids de la petite chaîne , comme A'B' représente le poids de ia grande. Avec un peu d’attention, on reconnaît que les deux tensions S f et SF', situées sur une même droite convergente en S, appartiennent anx éléments parallèles des deux courbes, et sont ce que j’appelle des tensions homologues. Or, à cause des parallèles A'B' et a'b ', on a la proportion

S/" : SF' ; ; a'b' : A'B',

qui nous apprend que, pour deux chaînettes semblables, les tensions aux points semblablement placés sur chacune d'elles sont entre elles dans le rapport des poids de ces chaînettes.

91. Construction de la chaînette en se donnant son poids , sa longueur et le

point de concours des tensions. — — Soit A B' (fig. 122) une droite horizontale proportionnelle au poids de la chaînette, S le point de concours des tensions qui ont lieu dans ses divers éléments. Partageons la droite A'B' et la longueur de ia chaînette en un même grand nombre de parties ; joignons les droites SA, SI, S2 , S'3 ; ces droites seront autant de perpendicu-

laires aux directions des divers éléments de la chaînette. D’un point A quelconque, abaissons une perpendiculaire Al' à la première direction SA', égale à une division de la longueur de la chaînette; du même point 1' une droite l'2' égale à la première Al' et perpendiculaire à SI , etc.; chacune de ces petites perpendiculaires se terminant où sa consécutive commence, et cette construction étant continuée un nombre de fois égal à celui des points de division , on formera un polygone dont les côtés donneront la chaînette avec d’autant plus d’exactitude que le nombre des divisions aura été plus grand.

Le même point de concours S donne encore le moyen de mener une tangente ci une chaînette quand celle-ci est tracée. En effet, si E (fig. 121) est le point par lequel on veut mener cette tangente, et que l’horizontale A'e représente le poids de la portion AE ; joignez Se, et du point E abaissez à cette droite la perpendiculaire EG ; ce sera la tangente en ce point de la chaînette.

92. Détermination du point de concours de toutes les tensions de la chaînette. — La connaissance du point de concours dépend de celle des tensions qui s’exercent aux extrémités de la chaînette. Car A'B' (fig. 12-4) étant le côté horizontal proportionnel au poids total, si des extrémités A', B' comme centres ou décrit des arcs dont les rayons A'S et B'S sont proportionnels aux deux tensions extrêmes , leur intersection S sera ïe point de concours cherché. Supposons d’abord que le tracé de la chaînette , soit donné , il est évident que , d’après les conditions de l’équilibre , les deux tangentes AO, BO (fig. 12o) anx deux points extrêmes se couperont en un même point O de ta verticale OL passant par le centre de gravité de la chaînette, ou par sou point le plus bas. Si donc on prend sur cette verticale, à partir du

point de concours 0 de ces tangentes , une partie OG proportionnelle au poids total, et que l’on construise sur ces tangentes un parallélogramme dont OG est la diagonale , les côtés A'O et OB' donneront l’un la tension extrême en A et l’autre la tension en B. Mais, si l’on a seulement les deux points de suspension A et B (fig. 126), ainsi que la longueur et le poids total d’une chaînette, voici comment on procédera pour avoir les deux tensions extrêmes. On prendra une chaîne beaucoup plus courte, et on la suspendra sur un tableau vertical, à deux points a et b situés sur une droite parallèle à AB et distants entre eux d’une quantité ab qui soit avec AB dans le même rapport que celui des longueurs des deux chaînes. Cette petite chaîne étant ainsi suspendue, on mesurera avec un dynamomètre les efforts exerces par elle aux deux points a et b ; et il est évident que les tensions qui auront lieu sur la grande chaîne aux points A et B seront respectivement égales aux produits des efforts précédents multipliés par le rapport, non plus ici des longueurs , mais des poids des deux chaînes.

Au lieu de mesurer avec le dynamomètre les tensions aux extrémités de la petite chaînette , on pourra mener par le point a de suspension le plus bas , l’horizontale ad qui coupe en d la petite chaînette , et réduire ainsi le problème au cas où les deux tensions extrêmes seraient égales, car alors la portion de chaîne acd est en équilibre aussi bien que la chaînette totale acb. Cela posé, connaissant la longneur et le poids de acd, et portant sur une horizontale quelconque une partie a'b' (fig. 127) proportionnelle au poids total de acb , on sera sur que le point de concours des tentions sera sur la perpendiculaire C'K/ qui partage également en C' la grandeur a'd' proportionnelle au poids acd (fig. 126) de la portion de chaînette située au-dessous de l’horizontale ad. Prenons sur C’K/ un point 0 arbitraire, et construisons par ce point de concours, et à partir de a, la chaînette dont tous les éléments soient perpendiculaires à toutes les tensions a 0 oui concourent de a'b' nu point G ; on portera perpendiculairement à C'K' une ordonnée Og égale à la différence de ab (fig. 128) , véritable distance des points de suspension, et de la corde ae qui termine la chaînette obtenue. Celte ordonnée 0 g sera portée à droite ou a gauche de C'K/, selon que ae sera plus petit ou plus grand que la vraie distance ab. Recommençant pour un nouveau peint 0‘ (fig. 127) , on aura une nouvelle chaînette ac' et une nouvelle perpendiculaire 0 g . La courbe passant par les extrémités y, g’ de ces perpendiculaires coupera C K' en un point S qui sera le point cherché ; et dès lors les distances Sa' cl S b seront les tensions aux points extrêmes.

93. Plus petite et plus grande tension sur une chaîne verticale. — Nous avons vu que dans toute chaînette les tensions sont inégales d’un point à un autre, et que la plus petite a lieu au point le plus bas. Cette loi se maintient , lors même que la chaîne est verticale. En effet , le maillon le plus bas C (fig. 129) de cette dernière est seulement chargé du poids Q suspendu

à la chaîne ; le maillon D supporte à la fois le poids Q et le maillon C ; le maillon D' est chargé du poids Q et des deux maillons C et D, etc. , en sorte que le premier A supporte le poids Q et le poids total de la chaîne. Par conséquent, une telle chaîne devrait être plus forte au haut qu’au bas de sa longueur.

94. Mesure directe de la tension en un point quelconque de la chaînette. — Considérons encore une chaînette dont A et B (fig. ISO) sont les points de suspension, et dont D est un point quelconque. Il est évident que si la chaînette entière est en équilibre , cet équilibre ne sera pas troublé en supposant que ce point quelconque D soit fixe et que l’on supprime la partie AD. Mais alors si la partie DCB est en équilibre , il en sera de même à l’égard de la portion de cbaînelte comprise entre le point D et le point le plus bas C . parce que , par un raisonnement analogue , nous pourrons encore supprimer la partie CB. Or , il est à observer que la partie DC étant en équilibre par rapport aux points D et C considérés comme ses points de suspension , il faudra , pour les conditions de cet équilibre , que le point de cette portion de chaîne fasse équilibre aux tensions en D et C ; ce qui ne peut avoir lieu qu’au tant que les deux tangentes OD et OC coupent en un même point O la verticale P3I passant par Se centre de gravité de la chaînette CD. Donc, alors, en désignant par P le poids de cette dernière, P est égal et opposé à la résultante des tensions en D et C. L’nne, suivant la tangente en D , sera désignée par T ; et l’autre agissant suivant la tangente horizontale OC , sera désigné par T'. À partir de l’intersection 0 des tangentes, prenons sur la verticale OM une partie OM égale au poids de la portion DC de chaînette , et construisons sur ces deux tangentes un parallélogramme dont OM soit la diagonale : l’un des côtés, ON ou DM , représentera la tension horizontale qui s’exerce au point le plus bas; et l’autre , DO , la tension T au point D. Mais, par la raison que les trois forces T, T’ et P, ou les lignes DO, ON et OM qui les représentent respectivement , soit en équilibre , on pourra regarder l’une d’elles T comme égale et immédiatement opposée à la résultante des deux autres , ou ces dernières comme les composantes de la première. L’une de ces composantes T' étant, comme nous l’avons déjà dit, une force horizontale égale à la tension qui a lieu au point le plus bas C, et 1 autre P étant le poids de la chaînette comprise entre le point D et le point C, on en conclut que la tension en un point quelconque d’une chaînette a deux composantes , composante horizontale et composante verticale , dont l’une est la tension au point le plus bas de la chaînette , et dent l’autre est le poids même de la portion de chaîne comprise entre le point le plus bas et celui que l’on considère.

Cette meme conséquence se déduit aussi de la considération du point de concours d où partent une suite de lignes qui, aboutissant aux diverses divisions d une droite horizontale et proportionnelles au poids delà chaînette, représentent elles-mêmes les tensions de la chaînette. Car on sait que

DEUXIÈME PARTIE, la perpendiculaire SK. à l’horizontale (fig. 131) représente la tension au point le plus bas, et que KG est proportionnel au poids de la portion de chaine comprise entre le point le plus bas et celui qui correspond à G sur la chaînette , et pour lequel l’élément de la courbe est perpendiculaire à SG. Ainsi, cette tension SG est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont un côté est constamment égal à la tension du point le plus bas , et dont l’autre côté est égal au poids de la portion de chaine interceptée entre ce point et celui pour lequel la tension SG a lieu.

Puisque la tension à un point quelconque de la chaînette a pour composante horizontale la tension au point le plus bas, et pour composante verticale le poids de chaîne comprise entre ce dernier et le premier point , il est évident que si celui-ci est un point de suspension fixé à un pilier (fig. 182), il pourra être considéré comme sollicité par ces deux composantes. Or, celle qui provient du poids de la chaîne est détruite par la résistance du pilier , et tend elle-même à appuyer ce pilier sur sa base ; tandis que la compo- « santé ou poussée horizontale, qui tend à le renverser, est constante et égale à la tension horizontale du point le plus bas de la chaine. I) où 1 on conclut que, dans toute chaîne suspendue à deux points fixes également ou inégalement élevés, ces derniers sont soumis à des efforts horizontaux, constants , et égaux à la moindre tension de la chaîne.

93. Tensions extrêmes d'une chaînette dont la fléché est fort petite. Il est facile de calculer les tensions d’une chaîne à ses deux points de suspension , lorsque sa flèche est peu considérable. Soit, en effet , ACB ( fig. 133 ) une chaîne donc C est le point le plus bas , et CD la flèche, c’est-à-dire l’abaissement de ce dernier au-dessous de l’horizontale passant par l'un des points de suspension. D’après ce qui a été dit plus haut, l’équilibre peut être regardé comme ayant lieu séparément sur les parties CB et AC. Or, à cause de la petitesse de la flèche CD, la branche BC a peu de courbure, et son centre de gravité G est à-peu-près placé à son milieu comme si elle était une lio-ne droite; les tangentes BG' et CG' couperont d’ailleurs en un même point G' la verticale GG'. Désignant par T la tension au point B suivant la première, par T„ la tension horizontale au point le plus bas C , et parp le poids de la portion déchaîné BC, on aura, à cause de l’équilibre des trois forces P , T et T 0 , les deux proportions

P ; t :: bh : hg', et P : t •; bh : bg'.

La première donne i<> — P • »

et la dernière, B — P - j]{£ ’

sur quoi on observera que BH est égal à la flèche CD que nous appelerons f, que HG' est la moitié de CH ou de BD que nous nommerons l, parce que

G est le milieu de la ligne BC regardée comme droite , et que BH est verticale et parallèle à GG'. Enfin , à cause du triangle rectangle BGH, on a

BG' = \/ BH 2 -f G fl 2 —

Faisant ces substitutions dans les expressions de T 0 et de T . en

La première exprime la tension au point le plus bas , qui est, comme on l’a vu , la même chose que la poussée horizontale exercée sur le point d’appui ou de suspension. La deuxième donne la valeur de la tension totale exercée sur ce même point d’appui et tangentiellement à la courbe. Cette dernière tension , essentielle pour en déduire les dimensions convenables à donner à la chaînette, peut se mettre sous une forme plus commode pour la pratique. En effet , on démontre qu’un radical de la forme [/ a- L jE et p 0Ur lequel on sait que a est plus grand que b , est équivalent, à ^ près , à cette autre valeur rationnelle

et , comme dans le radical de l’expression de T , on a

a — -y et b = 1 ,

on pourra donner à cette expression cette autre forme

96. Application aux ponts établis sur des chaînes tendues d’une rive à Fautre • Nous avons déjà donné une idée de la manière simple d’établir un pont sur une rivière , en la traversant de deux ou plusieurs chaînes tendues également et parallèlement , et en chargeant ces dernières d’un ou de deux rangs de madriers. Supposons que le poids total de ces madriers soit de 2000 k , ou que le demi-poids p = 1000 k ; que la largeur de la rivière, dont l est la moitié, soit de 16 m , ou que 1= 8 m ; et qu’enfin la flèche soit de l m ,

,JU f — 1 5 on aura — = 4 m , et, par suite,

Ce sera 1 effort qui devra tendre l’ensemble de toutes les chaînes ; et , si elles sont au nombre de cinq, l’effort sur chacune d’elles sera réduit 2“ e PARTIE. if

77gk. Portons à 10k l’effort qu’une chaîne peut supporter par mil-

limètre carré de section: la section sera égale à-^- millimétrés carres, ou

à 78 millimètres carrés environ ; en sorte que la section sera un carre ayant pour côté de 8 à 9 millimètres. Telle serait du moins la dimension necessaire à un barreau de fer, pour qu’il supportât le pont. Mais si au lieu d’un barreau, on se - sert d’une série de trousseaux de fils de fer reunis entre eux par d’autres fils en spirales , on déterminera le nombre de fils de fer convenable, pour que la section de la trousse, tant pleine que vide, soit la même que celle du barreau ; je dis tant pleine que vide, parce que le fil de fer a une force beaucoup plus grande qu un barreau.

L’inconvénient des ponts posés sur des chaînes est que celles-ci ne peuvent être tendues en ligne droite , et que ces ponts ont ainsi peu de stabilité. Nous venons de démontrer en effet que la tension horizontale d une

chaîne était égale expression qui prouve que si /est rendu dix

fois, cent fois, etc., plus petit, la tension horizontale devient dix fois, cent fois plus grande , et qu’ainsi, malgré ces efforts énormes , la fléché ne sera jamais nulle. La même remarque s’applique à la tension extreme , puisqu’elle est la résultante du poids de la demi-chaîne et de la tension

horizontale p

97. Ponts suspendus au-dessous des chaînes par des suspensoires équidistantes

et verticales. — Afin d’obvier aux inconvénients des ponts posés sur des chaînes tendues, on les suspend au contraire à deux chaînes supérieures UABC • V , portant des suspensoires verticales en fer AA' BB , CC , . ... qui se "correspondent sur les deux chaînes. Chaque couple de suspensoires est réuni par des traverses horizontales dans lesquelles ces suspensoires sont boulonnées par le bas , et qui reçoivent des poutrelles qu’on recouvre de madriers. Soient alors TJ et V les points de suspension du polygone funiculaire UABCD .... V. Chaque couple de suspensoires peut etre regardé comme chargé de la moitié de la travée du pont qui le précède, et de la moitié de celle qui le suit ; en sorte que , si toutes les travées sont égales ou si les couples de suspensoires sont équidistants, on pourra regarder le poids supporté par chaque suspensoire comme connu , et déduire la force du fer qui convient à cet effort vertical. D’ailleurs , ces poids étant très-considérables comparativement 'a ceux des suspensoires ellesmêmes , il est permis de faire abstraction de ces derniers , et de ne tenir compte dans l’équilibre du polygone funiculaire , que des poids du pont répartis sur chacune d’elles. — Soit uv (fig. 185) une droite horizontale, et S un point tel que «S soit perpendiculaire au côté extrême UA , et pro-

portionnel à la tension de ce côté. Supposons d’abord que le polygone UABC .... V soit disposé de telle sorte que l’un de ses côtés DE soit horizontal , et prenons sur l’horizontale uv des parties ua , ab , bc , cd , etc. , proportionnelles aux parties du poids du pont supportées par les angles A, B, C , D, . . . . On sait que les lignes convergentes S n , Sa, S b , S c , représenteront les tensions qui ont lieu sur les côtés UA, AB , BC, CD,. . . . auxquelles elles sont perpendiculaires , et que la perpendiculaire Sd représentera la tension du côté horizontal DE. Cela posé , veut-on trouver la différence de hauteur d’un angle A au-dessus de son consécutif B? en menant l’horizontale BA" , on observera que le triangle AA" B , a ses côtés perpendiculaires à ceux du triangle Sud , et que ces deux triangles semblables donnent la proportion

AA" : A"B t: ud : Sd ,

et , par suite,

AA" = ~ X ud.

Supposons d’ailleurs que les suspensoires soient équidistantes , en sorte que A"B sera une partie constante égale à la longueur d'une travée. Observons , en outre , que ud est le poids de la portion du pont A'D' ou 7; X A'D' , sv étant le poids du pont sur une unité de longueur ; que Sd est la tension t 0 qui a lieu sur le côté le plus bas de la chaîne ; on aura alors

AA" = A " B X g X A ' D ' to

Mais A" B X *• n’est autre chose que le poids p d’une travée , on aura donc enfin