AA" = K X A'D
formule qui nous apprend que la hauteur d’un angle du polygone au-dessus de son consécutif est égal au rapport K multiplié par l’intervalle compris entre la suspensoire attachée au premier angle , et l’extrémité du côté horizontal. Représentant par l la longueur d'une travée , cet intervalle sera l, 2/, 3/, . ... ni pour la l r % 2 e , 3 e , . . . . 71 e suspensoire à la suite de celle qui supporte une extrémité du côté horizontal. Ainsi, la hauteur du sommet C au-dessus de D sera Kl; celle de B au-dessus de C , 2K/ ; celle de A au-dessus de C , 3K 1 : donc, enfin , les hauteurs des points C, B , A , U, . . . . au-dessus de l’horizontale MDEX, seront Kl, Kl -J- 2K/, K/’-{- 2K/ -f*3K/ , ^ 3K/-L 4KI , et , en général , s'il va n travées entre l’extrémité
DEUXIÈME PARTIE, du coté horizontal , et le sommet que i on considère , la hauteur de ce sommet au-dessus de l’horizontale donnée par le côté le plus bas sera
Cette expression n . — — -—K/, en y faisant successivement n = 1 = 2 ==
S = 4 = 5 , donne K/, 3K/, 6KZ, 10KZ, 15KZ, .... pour les hauteurs des 1 er , 2 e , 3 e , -4 e , 5 e sommets à la suite du côté le plus bas du polygone. Ces nombres sont connus sous la dénomination de nombres triangulaires, parce qu’avec un nombre déboulés égal à l’un d’eux (fig. 136) on peut former un triangle équilatéral qui a pour côté le plus élevé des nombres naturels dont la somme donne le nombre triangulaire que l’on considère. En partant des valeurs trouvées pour les ordonnées des divers sommets C, B, A, . ... du polygone , au-dessus de l’horizontale passant par le côté le plus bas , on démontre que tous ces sommets sont sur une parabole (1) dont 1 axe est vertical et passe par le milieu du coté horizontal. De là résulte un moyen très-simple de déterminer la verticale qui passe par le point milieu K du côté le plus bas du polygone. Il suffira de trouver la position 0 (fig. 137) de celui où cette verticale rencontre la ligne qui passe par les deux points de suspension ü et V. Or, la parabole jouit de cette propriété , qu’une ligne droite coupe son axe OK en un point dont la distance OK du sommet est moyenne proportionnelle aux abscisses UM et XV des deux points U et V où cette même droite coupe la parabole (2). Remarquons d’ailleurs que l’on
(1) Soit y la hauteur de l’un de ces sommets, x — ni sa distance horizontale au point milieu du côté le plus bas , on a
y — K (—j—) nl — ^ + *) X ~ 2 (* ^ T
C’est l’équation d’une parabole dont l’axe vertical passe par le milieu de DE, et dont le soml Ki
met a pour abscisse x = et pour ordonnée y = ; ainsi, le sommet s’abaisse au-
KJ
dessous du côté DE de — , quantité que l’on peut négliger dans la pratique.
(2) En effet, les abscisses KP et KQ sont proportionnelles aux carrés des ordonnées UP et VQ, et celles-ci, à cause des triangles semblables UOP etQOV, sont proportionnelles a PO et à OQ. On aura donc la proportion
ÔP 2 : ïïq 2 :: kp : kq ;
d’où l’on tire OP 2 X KQ = OQ X KP ,
ou (OK - KP) 2 X KQ = (KQ — OK) 2 X KP.
Développant les carrés, on trouve, toutes réductions faites,
0J£ 2 = KP X KQ , ou bien OK 2 = KM X VN.
doit se donner la hauteur dn pont au-dessus de la rivière, et celle au-dessus du pont, de l'horizontale qui tient lieu de garde-fou et qui se confond avec le côté le plus bas dn polygone funiculaire. Par conséquent, la droite MN est donnée de position , et les hauteurs 3IU et NV des points de suspension U et V sont connues. Pour trouver le point 0 , et par suite le point K. portez U3I de N en P' ; décrivez sur P'V comme diamètre la demi-circonférence P'TY ; menez par le point N , à cette circonférence , la tangente NT qui sera la moyenne proportionnelle cherchée ; portez enfin par un arc de cercle la distance NT de N en T' ; et par le point T' menez à AIN la parallèle OT' qui coupe la corde UV au point 0. La verticale 0K rencontrera l’horizontale AIN en un point K que l’on pourra regarder comme une extrémité du côté horizontal du polygone, à partir de laquelle on portera les intervalles égaux de chaque suspensoire. A ces intervalles correspondront les
ordonnées successives K l, SK/, SK/, . ... n — i-li K/. En supposant
que cette dernière appartienne au point de suspension U, il est évident qu’elle doit être la même que la hauteur connue h de ce point au-dessus de 3IN; ce qui donne le moyen de trouver le rapport K. Car on a
Ih
Ainsi , les longueurs successives des suspensoires K/,- 3K/, 5K/, seront elles-mêmes déterminées. — Nous avons vu que le rapport K est égal à— , cest-à-dire au poids d’une travée divisé par la plus petite tension. Donc on
, P n(n-\- 1 )lp
Partant on aura obtenu la tension t a . Celle du premier côté à la suite du côté horizontal sera égal à [/ t 0 - -j-p-, celle du deuxième à (/ t 0 2 -{- (V) 2,
troisième à ]/ t 0 - L (3pJ 2 , du n e à {/ t 0 2 -{- (np)-. Si les points U et V de suspension sont à même hauteur, il est évident que la courbe devient symétrique par rapport à la verticale OK ; on n’a plus alors à chercher la hauteur du point 0 , et il ne reste qu’à calculer le rapport K d’après la hauteur des points de suspension au-dessus du côté le plus bas du polygone.
