CORPS POSÉS SCR D’AUTRES CORPS OD SCR DES PLA5S OC SURÏACES

98. Idée générale de la réaction des corps posés les uns sur les autres. Lorsque deux corps se touchent et se compriment en un certain point, il se forme à cet endroit une dépression dont l’enfoncement est perpendiculaire à leur petite surface de contact, et qui indique que la réaction des deux corps l’un contre l’autre est elle-même dirigée sur la perpendiculaire ou normale qui leur est commune. Supposons maintenant que 1 un A des corps soit sollicité par des forces dont la résultante se confond avec cette perpendiculaire , et que l’autre corps A' demeure fixe, la réaction de ce dernier détruira alors cette résultante , et le corps A demeurera au repos. Mais il est évident que l’équilibre subsistera encore si l’on remplace le corps A par une force égale à la réaction qu’il exerce contre le corps A , et si l’on considère ce dernier comme libre et comme sollicité par cette nouvelle force concurremment avec les autres forces donnéès. Cette propriété que tout corps résiste à un autre selon la perpendiculaire commune qui passe par leur point de contact , s’étend au cas général où un corps est pose sur différents corps à la fois. Les réactions de ces derniers sont autant de forces véritables qu’il est permis de substituer aux divers points par lesquels le premier corps s’appuie sur les autres, et dès lors l’équilibre de ce corps est, en vertu de cette substitution , ramené à des conditions analogues à celles qui auraiant lieu s’il était libre. Nous examinerons d’abord les simples circonstances d’un corps posé sur un plan par un point unique , ou par deux

ou par trois, ou enfin par plusieurs points.

99. Corps reposant par un point sur un plan. — Considérons une sphère soumise à la seule action de son poids P , et poussée par un point m sur un plan de niveau AB (fig. 188). Puisque la réaction de ce plan a lieu selon la perpendiculaire ou la verticale du point de contact m, et qu’elle doit faire équilibre au poids P, nécessairement le centre de gravité G du corps sera compris dans cette verticale, en sorte que l’effort P du corps sera tout-àfait détruit parla résistance du plan. De même, encore, quand un corps pose par un seul point sur un plan quelconque, et qu’il est sollicite aussi par des forces quelconques, il faut que leur résultante soit perpendiculaire au plan, et quelle passe par le point d’appui. La condition de passer par le point d’appui ne suffirait pas à elle seule. Car, si l’on décompose cette résultante en deux forces, l’une perpendiculaire au plan , et l’autre situee dans le plan, toutes deux passant d’ailleurs par le point™, la première sera àla vérité détruite par la résistance du plan ; mais l’autre composante fera

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. gj

cheminer le corps le long de ce plan, et il n’y aura plus équilibre. Donc, enfin , l'équilibre' d’un corps qui s’appuie sur un plan par un seul point est soumis à deux conditions : 1° que la résultante des forces appliquées au corps passe par le point d’appui ; 2° que sa direction soit perpendiculaire au plan.

100. Corps reposant par deux points sur un plan. — Mais quand le corps repose par deux points A et B (fig. 189) sur un plan , la condition de passer par un des appuis n’est plus indispensable à la résultante des forces qui le sollicitent ; il suffit qu’elle rencontre la droite AB à l’un de ses points compris entre A et B . il faut de plus qu elle soit perpendiculaire au plan. En effet, les réactions exercées par les points d’appui, étant l’une et l’autre perpendiculaires au plan, sont évidemment parallèles; et, pour qu’elles fassent équilibre à la résultante des forces appliquées au corps, cette dernière devra pouvoir se décomposer en deux forces respectivement égales et immédiatement contraires aux résistances des appuis. Or, celles-ci sont dirigées dans le même sens ; ainsi , la résultante en question aura son point d’application sur la droite AB entre les points A et B d’application de ses composantes ; elle devra d’ailleurs leur être parallèle, et, par conséquent, être comme elles , perpendiculaire au plan. — S’il s’agit d’un corps de poids P posé sur un plan de niveau, il conviendra pour l’équilibre que la verticale abaissée de son centre de gravité rencontre la ligne des appuis dans un point de l intervalle qui les sépare.

101. Corps posés par trois ou par plusieurs points sur un plan. — Arrivons enfin au cas où le corps repose par trois points sur un plan quelconque. Les résistances des points d’appui étant toujours perpendiculaires à ce plan , ne pourront faire équilibre à l’action des forces extérieures qui sollicitent le corps qu autant que la résultante de ces forces pourra se décomposer en trois forces respectivement égales aux trois premières. Cette résultante sera donc, comme celles-ci, perpendiculaire au plan; et, comme elles sont dirigées dans le même sens, son point d’application devra se trouver dans 1 intérieur du triangle qui réunit les trois appuis. Cela résulte immédiatement de la composition des forces parallèles. Ces conditions s’étendent au cas ou le nombre des appuis sur un plan est quelconque. Il faut toujours pour 1 eqmhbre du corps que la résultante des forces qui lui sont appliquées soit perpendiculaire au plan , et quelle coupe le plan dans l’intérieur du polygone convexe qui réunit deux à deux le plus grand nombre des points d appui. Si la résultante coupe le plan en un point ni extérieur au polygone •fio- ou ® courbe (fig. 141) qui réunit les appuis, le corps tendra à tourner ou à se renverser autour de l’arète ab du polygone ou de la tangente à la courbe la plus voisine du point m. Quant à l’énergie qui sollicitera le corps à se renverser, elle sera mesurée par le produit de la résul-

tante de toutes les forces , et de la plus courte distance de sa droite de direction à l’arète ou à la tangente autour de laquelle se fera le mouvement de rotation du corps.

102. Exemples divers. — Nous avons déjà examiné les conditions d’équilibre d’une sphère pesante sur un plan de niveau , appliquons ces mêmes principes à d’autres exemples , et commençons par celui d un corps posé sur une table soutenue par trois pieds. Si les trois pieds d appui sur un plan de niveau sont en ligne droite , et que la verticale du centre de gravité du corps passe en dehors du plan vertical de cette droite , la table s inclinera et basculera du côté où ce centre de gravité est situé, avec une énergie égale au moment de stabilité du corps, c’est-à-dire au produit de son poids multiplié par la distance ag de la projection de son centre de gravité à 1 arête de rotation Aa (fig. 142). Si cette distance est nulle, le centre de gravité passera par la droite des appuis, et il y aura équilibre : mais cet équilibre sera non stable, parce que le centre de gravité est alors le plus haut possible et qu’il tend à descendre.

Si les trois pieds ne sont pas en ligne droite et que le centre de gravité G du corps se projette dans l’intérieur du triangle, la table est évidemment en équilibre (fig. 143). Enfin , si ce même centre se projette en dehors , la table tournera autour du côté ab , le plus voisin de cette projection. Dans le premier cas, l’équilibre est stable , parce que , pour déranger la table de sa position, il faut élever le centre de gravité du corps. Dans le deuxième cas , l’équilibre est instable, parce que ce centre tend à descendre. Généralement, pour l’équilibre stable, il faut que le centre de gravité du corps se projette dans l’intérieur du polygone qui réunit deux à deux ses appuis sur un plan de niveau. L’énergie avec laquelle le corps s’opposera à son renversement autour d’une arête sera égale au produit de son poids par la distance de la projection de ce centre à cette arête, et ce renversement sera d’autant plus facile que cette distance deviendra moindre. Voilà pourquoi on nomme moment de stabilité d’un corps pesant le plus petit des moments de son poids, par rapport aux divers côtés de sa base.

Les conditions sont les mêmes si le corps pose par une face plane tout entière et terminée par une courbe quelconque. L’équilibre a lieu quand la projection du centre de gravité du corps tombe dans l’intérieur de la base. Tel sera, par exemple, un cube posé sur un plan de niveau, parce que la projection du centre de gravité coïncide avec le centre de la base (fig. 144). U en est de même pour un prisme droit quelconque, et quelle que soit sa hauteur, seulement sa stabilité diminue à mesure que la hauteur devient plus grande. On conçoit en effet , que le centre de gravité s’élevant de plus en plus, l’angle BAG , que fait avec le plan vertical passant par l’arête A le plan qui passe par la même arête et par le centre de gravité G , est de plus

en plus petit. Ainsi, le centre de gravité G se rapproche de plus en plus du cas de l’instabilité. Supposez d’ailleurs une force horizontale p tendant à renverser le corps autour de 1 arête A et appliquée au sommet du corps. Son moment sera p X AB. Mais le moment de stabilité en vertu duquel le corps résistera à son renversement est égal à P X og. D’où

PX AB = PX Ag, et, par suite, p = P X^|,

relation qui nous apprend que p sera d’autant moindre par rapport au poids P du corps que sa hauteur AB sera plus considérable, ün cône sera difficile à renverser parce que son mouvement de stabilité est plus considérable.

Un prisme incliné conservera l’équilibre stable, tant que son centre de gravité tombera dans l’intérieur de sa face d’appui. La résistance qu’il opposera à son renversement autour de la tangente ab (fig. ]4S) la plus voisine de la projection g du centre de gravité, ou son moment de stabilité , sera égal à P X m 9- Dans le cas où le poids g tombe au dehors, le corps tend à tourner autour de la tangente la plus voisine de la projection du centre. La tour de Pise, quoique inclinée, se maintient toujours dans sa position, parce que son centre de gravité se projette dans l’intérieur de sa base sur le terrain. — Des dominos empilés les uns sur les autres et se dépassant 1 un 1 autre d une même quantité , de manière à former une espèce de prisme incliné , demeurent en équilibre tant que le centre de gravité de tout le système des dominos se projette dans l’intérieur du domino le plus bas. Mais au fur et à mesure que le nombre des dominos ou que la hauteur de la pile augmente, ce centre se rapproche de l’arête A (fig. 146), le moment de stabilité diminue, et finit même par devenir négatif, ou par favoriser le renversement du système lorsque le centre de gravité tombe au dehors de 1 arête A. On voit , d’après ce qui précède, que la stabilité naturelle d’un corps augmente quand sa hauteur diminue ou quand sa base augmente, et que, toutes choses égales d’ailleurs, elle est la plus grande possible lorsque le centre de gravité tombe au centre de figure même de la base. Cela explique pourquoi les soutiens isolés doivent se composer de corps élevés à 1 aplomb et être établis sur des bases plus larges qu’on nomme empâtements.

Si les corps pesants sont sollicités par d'autres forces conjointement avec 1 action de leur poids , il faut que la résultante de toutes ces forces réunies, ainsi que nous l’avons dit (2= partie, 101), aille rencontrer la base de ces corps dans son intérieur. Il y a même telles forces qui, combinées avec le poids d un corps , en augmentent la stabilité. C’est ainsi qu’un prisme incliné dont le centre de gravité tombe au dehors de sa base , serait renversé autour de B v fig. 147) si on l’abandonnait à lui-même. Mais si une force F horizontale tend à le faire tourner en sens contraire, cette force combinée 2” e PARTIE. jO

avec le poids du corps aura une résultante GO qui rencontrera la base AB en un point 0 qui lui sera intérieur et l’équilibre sera stade. Réciproquement, le poids du prisme s’oppose à son tour à ce que 1 action de T ne le renverse autour de l’arète extérieure A et avec une énergie d’autant plus grande que le produit P X A g, c’est-à-dire son moment de stabilité naturelle , sera plus considérable.

Les murs de maison sont ordinairement poussés autour de leur pied extérieur par les combles , ou les poutres qui appuient contre eux du dedans au-dehors ; mais on augmente leur stabilité naturelle en éloignant de cette même arête leur centre de gravité (fig. U»). Voilà pourquoi on leur donne du fruit ou une épaisseur plus grande à la base qu’au sommet. Toutefois ces murs ne cessent pas d’être dressés verticalement. On cache l’effet de ce changement d’épaisseur par des cordons , des plinthes , etc.

Dans les murs destinés à soutenir les terres, afin de résister à la poussée de ces dernières, on cherche à éloigner l’arête extérieure de ces murs de leur centre de gravité, soit par des talus, soit encore par de larges empâtements, et de manière à remplir la condition que la résultante du poids des murs et de la poussée des terres passe dans l’intérieur de la base. Le moment de stabilité naturelle de ces constructions est toujours égal à leur propre poids multiplié par ia distance de leur centre de gravite a l’arete extérieure. On voit même que l’on pourrait supprimer les talus et conserxerau mur un parement vertical, pourvu que sa nouvelle épaisseur donnât lieu au même moment de stabilité , parce que la stabilité naturelle de deux murs est la même , lorsque les moments de leurs poids sont égaux. La condition que la résultante de toutes les forces passe dans l’intérieur de la base est insuffisante pour des constructions qui reposent sur un terrain mou ou compressible; il faut encore que le point de rencontre coïncide avec le centre de figure de la base. S’il n’en était pas ainsi, la pression serait plus forte du côté où la résultante traverse la base : celle-ci tournera autour de son centre de figure , attendu que le terrain n’est plus résistant, mais a l’aide de la nouvelle condition , il n’y aura plus de raison pour que le corps s’enfonce plutôt d’un côté que de l’autre.

Si la charge d’une voiture à deux roues qui est traînée sur un plan de niveau , est telle que son centre de gravité soit en dehors de l'essieu ( fio - 149) elle tendra à basculer dans un sens ou dans 1 autre; tantôt elle exercera une pression sur le cheval limonier, tantôt elle tendra a le soulever et ces deux circonstances sont également des causes de fatigue pour le cheval. Mais , si le centre de gravité est compris dans le plan vertical ne Pessieu, l’action verticale du poids se décomposera en deux autres force passant par les appuis des roues sur le terrain , et qui seront -.media ment détruites parla résistance de ces derniers. Nous verrons plus

si cette dernière condition a encore lien quand le terrain est incliné 103. Définition et équilibre du plan incliné. — Représentons-nous un plan quelconque coupé perpendiculairement à ses horizontales et suivant sa ligne de plus grande pente AB (fig. ISO). Quoique ce plan soit supposé indéfiniment prolongé, son inclinaison suffit pour définir sa base AC et sa hauteur BC , correspondantes à une même longueur donnée AB. Qu’on imagine un corps pesant posé sur ce plan , et dont G soit le centre de gravité. L’équilibre de ce corps sur ce plan exigerait: 1° que la résultante de son poids passât par un des points de la base d’appui de ce corps ; 2° que cette résultante fût perpendiculaire au plan. Cette dernière condition ne peut être généralement satisfaite à l’égard d’un plan quelconque, parce que l'action de la pesanteur est toujours verticale. Dès lors cette action se décomposera en deux autres, l’une perpendiculaire au plan qui sera détruite par sa résistance, et l’autre parallèle au plan , qui fera mouvoir ou descendre le corps selon la longueur. On remarquera cependant que si la verticale du centre de gravité rencontre l’intérieur de la base d’appui du corps, ce dernier ne fera que glisser dans le sens du plan, au lieu qu’il y roulera si cette verticale tombe au dehors de cette même base. C’est ce qui arrivera à 1 égard d’une boule, parce que la verticale passe toujours en dehors de son point d appui m sur le plan. Supposons qu’une force p parallèle à ce plan s’oppose à ce que cette boule ne descende. Appelons P le poids de cette derniere. On sait que le corps devant rester en équilibre sous l’action des deux forces p et P , leur résultante G 31 sera perpendiculaire à AB (ûg. 151), et passera par le point d’appui m. Cela posé, soit GM l’intensité de cette résultante: elle sera telle que les côtés du parallélogramme GG'MN représenteront, l’un GG' = MX la force verticale P, et l’autre GX la force p parallèle a AB. Or, le triangle GMN est semblable au triangle ABC. Car GM et MN sont perpendiculaires à AB et à AC ; de plus ils sont^reetangles l’un en G et 1 autre en C. On aura la proportion

gn ; mx : : bc : ab , ou p ; p * * bc : ab.

Ainsi, la force parallèle au plan qui retient le corps est au poids de ce corps comme la hauteur du plan est à sa longueur; on a

Si, au lieu du tirer dans le sens du plan, la force p qui retient te corps le plan était horizontale, et agissait à lu manière de la puissance qui empeche un écrou de descendre le long de sa vis, G3I (fig. 132) résultante [ ios du co. ps et de celte nouvelle force n’en sera pas moins toujours pe p.ndieüaire à AB, et le triangle G MX qui représente les deux forces qui 6 C0 ‘ P 2 ’ a ‘ ns ! que leur résultante , sera encore semblable au triangle ABC. Mais comme GX est perpendiculaire à BC, et que l’angle droit

du premier triaagle est en N , on aura la proportion

G N : MN BG AC, ou p \ P * * BC : AC; ce qui apprend que la force horizontale qui retient le corps sur le plan est au poids du corps comme la hauteur du plan est à sa base, ou que p est

égala P X ■— -• 0 n remarquera que, dans la valeur de p , le numérateur AC

est le même pour les deux cas et proportionnel à la hauteur du plan , mais que le dénominateur n’est autre chose que le côté du plan parallèle à la force appliquée.

104. Mouvement sur le plan incliné. — Nous sommes maintenant à même de trouver la loi du mouvement d’un corps pesant abandonné à lui-même sur un plan incliné. En effet, nous pouvons en décomposer son poids GM en deux autres forces, l’une MN (fig. 153) perpendiculaire au plan et détruite par la résistance de celui-ci, l’autre GN parallèle au plan et qui produira seul le mouvement. Au moyen de la similitude des triangles semblables GNM

et ABC, on reconnaîtra que la dernière composante p est égale à P X

P étant toujours le poids du corps.

Remarquons que

le rapport-

reste le

même dans toute la longueur du plan , et qu’ainsi la force p qui tend à faire glisser le corps demeure constante comme la pesanteur. Or , quand une force motrice est constante, le corps conserve un mouvement uniformément accéléré ainsi qu’on l’a vu dans la partie. Les vitesses acquises croîtront proportionnellement au temps, et les espaces décrits comme les carres des temps écoulés, etc. Seulement chaque degré de vitesse imprimée sera moindre que pour la pesanteur : car les vitesses imprimées au bout de la première unité de temps seront ici proportionnelles aux forces motrices. On aura donc

et , par suite ,

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