F : : bc : ab , ou 9 = 1 X

Ainsi , la relation d’équilibre deviendra

D’où l’on tire F = ^7— ~ •

ab 1 ab

Le rapport / est , comme l’on sait , donné par les tableaux , et ne dépend que des substances du corps P et du plan MX. Quant aux grandeurs ac et bc , elles seront immédiatement données par le rectangle dont les côtés sont parallèles et perpendiculaires au plan et dont la diagonale est proportionnelle à la force appliquée au corps. Comme cette expression se reproduira souvent, il importe delà simplifier, en prenant pour unité la grandeur ab qui représente la force F. Dès lors les côtés ac et bc ne seront plus que des fractions exprimant les rapports des composantes avec la force elle-même. Ainsi , en posant ab = 1 , on aura

p = F X ac j et 2 — F X 6c ,

F («c -)- /. he) =/ X P 7 et F = - 1 -^—.

La valeur de F sera évidemment la plus petite possible ou la plus avanta-

geuse. lorsque le dénominateur ac -f- f . bc est le plus grand possible parce que le numérateur f X P est une quantité constante, ainsi que le rapport / du frottement à la pression. Supposons ce dernier de i, et cherchons dans cette hypothèse la valeur minimum de ac ~ f . bc ou de oo -f ~ bc. Prenons sur la direction de F (fig. i S8 ; une partie ab égale à l’unité. La projection sur l’horizontale «il sera la valeur de ac , et la verticale projectante de l’extrémité b celle de bc. Pour avoir /X bc ou - bc prenez

ad = fy^ab = \ ab , et l’on aura dg = j bc — f ~yi.bc.

Cela posé , sur ap perpendiculaire à ab , portons ad' = ad et abaissons la verticale dg . Les triangles ag d et agd seront égaux comme avant les hypoténuses égales et l’angle g' ad’ égal à l’angle adg , parce qu’ils sont compléments du même angle dag. D’où

a g r — dg' — \ bc = f , bc, et d' g' = ag = j bc = / . ac.

Donc on a

ag' -\-ac = g'c = \bc~i r ac=f .bc-t-ac-,

en sorte que cette valeur , qui n’est autre que le dénominateur de F , est précisément la projection de bd'. Or , cette projection sera la plus grande possible quand elle deviendra égale ou parallèle à bd ' , ou quand on aura d’gf ou ag = abc. Mais ag=fX ac. Donc enfin le minimum de F , c’est-à-dire le cas où cette force sera la plus avantageuse, aura lieu

lorsque bc = f X ac : d’où f= Remarquons que les grandeurs bc et ac

expriment , l’une la hauteur, et l’autre la base de la direction de la force

* Jjp

par rapport au plan , et qu’ainsi le rappport est précisément l’inclinai-

ac

son de 1 angle sous lequel la force de tirage exerce son action. Par conséquent, cette action est la plus petite possible lorsqu’elle tire sous une inclinaison exprimée par le rapport du frottement à la pression ou par la valeur/ relative aux substances en contact.

Les conditions relatives au meilleur tirage des chevaux sur une voiture à quatre roues sont analogues : car leur effort se décompose en deux autres . 1 un horizontal , destiné à produire le mouvement , et l’autre vertical , à soulever les roues de devant , et à diminuer leur résistance , d’ailleurs plus grande en raison de ce que leurs rayons sont plus petits.

Le cas ou un corps de poids P posé sur un plan incliné AB ( fig. 159 ) est dré pai une force F , faisant un angle quelconque avec ce plan et dirigé de bas en haut, donne lieu à des conditions d’équilibre analogues à celui de 1 équilibre du pian horizontal. Décomposez la force F en deux autres , l’une

parallèle , l'autre perpendiculaire au plan. Celle-ci donnera lieu à une composante F . bc dont le frottement f . F . bc diminuera d’autant le frottement général du corps contre le plan , et par conséquent s’ajoutera a la composante parallèle F . ac qui produit le mouvement. Quant a la composante parallèle au plan du poids P , elle s’opposera au mouvement , ainsi que le frottement produit par sa composante perpendiculaire. L une est donnée (2° partie , 108) par la proportion

* : p : : bc : ab ,

et l’autre par la proportion

y : P AC : AB :

en sorte que P . AC et P . BC représentent les composantes du poids , perpendiculaire et parallèle à ce plan, en prenant pour unité la longueur AB de ce dernier. De plus, le frottement produit par la première aura pour expression/. P • AC. Maintenant que nous savons que le mouvement est favorisé par F . ac -f /• F . bo , et qu’il est contrarié par P . BC -f / . P . AC, nous reconnaîtrons que l'équilibre sera établi au moyen de la relation

F . ac -J- f . F . bc = P . BC / . P • AC , ou F [ac -j- /. bc) = P (BC f • AC).