F X AB = P X BC

Par conséquent , le travail est le même soit qu’on élève le corps directement. ou le long d’un plan incliné ; ce dernier n’a d’autre but que de faciliter 1 élévation du fardeau selon les localités.

Lorsque le corps est posé sur une surface courbe (fig. 161 ) il ne la touche que selon une petite surface que l'on regardera comme un point , et en imaginant à ce point un plan tangent , le corps sera dans le même état que s’il posait sur ce nouveau plan par un point. Ainsi, les considérations d’équilibre deviennent absolument les mêmes que pour un plan incliné ordinaire.

1 10. Mesure de la tension d'une corde , de la part de son propre poids. — Ce qui précède nous permet d’estimer la tension que le poids d’une corde lui occasionne dans le sens de sa longueur. Soit, en effet, une corde posée sur une surface dont A (fig. 162) est le point le plus élevé; et considérons d abord la partie AF qui tend à se précipiter le long de la surface , abstraction faite du irottement. La question consiste à trouver la force nécessaire pour retenir cette corde, et qui est évidemment égale et opposée à la tension sur cette partie AF. Désignons par^> le poids de l'unité de longueur de la corde, et raisonnons sur l’élément MN dont le poids sera p X MM.

Menons par le point 0 de cet élément , la verticale 0G proportionnelle à p X MX , et décomposons ce poids en deux forces , l’une GQ perpendiculaire à la surface , l’autre QO tangentielle à cette même surface. Il est visible que la première composante sera détruite par la résistance de AMX , et que l’autre donnera la mesure de la tension due au poids de MX. Ayant mené une verticale quelconque af , la verticale MA’ et les horizontales Mm , N» , on formera le triangle MAN' semblable au triangle QOG ; en sorte qu’on aura la proportion

et , par suite ,

QO : OG :: MN' : MX,

QO =

OG X ®X' MX

Remarquons que QO est la tension î due au poids de l’élément MN, que OG représente son poids ou p X MX, et que MX' = mn, D où 1 on tire

p X MX X mn ~ MX

Ce dernier produit est le poids d’un morceau de corde égal àw.ou dont la longueur est celle de la projection verticale de MX. Or , le total de la partie AF se compose d’une somme d’éléments tels que MX et qui produisent chacun une tension égale au poids de sa projection, et la somme de ces tensions, ou la tension totale qui entraîne AF de haut en bas , sera égale à la somme des poids des projections verticales de tous ces éléments , c’està-dire au poids de la projection verticale af de cette partie AF. Par conséquent , la tension ou la force nécessaire pour empêcher une portion de corde de glisser sur une surface est mesurée par le poids d’un autre morceau dont la longueur est la même que la projection verticale de cette portion. On démontrerait de même que la tension de la partie AP qui tend a entraîner la corde en sens contraire à celui de la tension AF est égale à ap ; de sorte que la corde sera entraînée avec une force mesurée par pf ou par le poids d’une longueur égale à la différence de niveau entre ses extrémités, et cette tension résultante agira du côté de l’extrémité la plus basse.

Si les deux extrémités d’une même corde sont à même hauteur, ou si la corde est sans fin (fig. 163) , la tension qu’elle éprouve de la part de son poids est nulle , et il n’y a pas lieu d’en tenir compte.

111. Centre de gravité d’un arc de cercle. — Xous pouvons encore trouver par le même principe le centre de gravité d’un arc de cercle. Car ce qui précède est indépendant de la flexibilité de la corde ou de la chaîne , et subsiste encore lorsque celle-ci est rigide, comme, par exemple, une jante de roue. Soit donc MAX (fig. 164) un are de cercle composé d’une jante inflexible , et disposé de manière que le rayon AO qui passe par

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE, son milieu A soit horizontal. Appelons F l'effort tangentiel appliqué en M pour empêcher la jante SAN de tourner sur son propre cercle autour de O. La condition d’équilihre entre cette force F et le poids P de la jante exige que leurs moments soient égaux. Or , le bras de levier de ce dernier est la distance GO du centre de gravité de Parc au centre de rotation , distance que je désigne par x. On aura donc

Remarquons que P est le poids de la longueur S de l’arc MAN , et que la force F est celui de la projection verticale de cet arc , ou de sa corde MN que nous nommerons C. On pourra donc remplacer P et F par S et C dans l’équation d’équilibre ; ce qui donne

ou la proportion

qui nous apprend que le centre de gravité dun arc de cercle est situé sur le rayon qui le partage en deux parties égales , et que sa distance au centre est une quatrième proportionnelle aux longueurs de Varc , de sa corde et de son rayon.

112. Frottement d’une corde qui glisse sur un rouleau fixe. — Considérons encore une corde qui glisse sur un rouleau fixe ( fig. 165 ) et qui supporte un poids P à une de ses extrémités a , tandis que l’autre est tirée par une force T qui l’entraîne. Cette dernière doit non-seulement soulever le poids P , mais encore vaincre le frottement que produit la corde en glissant sur tout l’arc du rouleau enveloppé par elle ; de sorte que si cette surface était parfaitement polie , le frottement serait nul et T serait égal à P dans le cas de l’équilibre. Partageons l’arc enveloppé ct i en un nombre de parties très-petites et égales ; et menons par les points de division des tangentes qui se coupent deux à deux et parmi lesquelles les directions des forces extrêmes P et T sont évidemment comprises. J’ai dit que les divisions devaient être très-peu espacées, afin que les arcs de cercle qui les embrassent puissent se confondre sensiblement avec les cordes at x , tf . , .... qui les soustendent. La tension de la corde sur la tangente ab est évidemment égale à P. Soit la tension qui agit en Z, sur la deuxième tangente bb'. Elle doit vaincre à la fois et le poids P et le frottement qui a lieu sur l’arc élémentaire af, compris entre les points de contact. Appelons p la pression exercée sur cet élément, f le coefficient relatif au frottement de la corde sur le rouleau qui , comme nous l’avons dit , ne tourne pas , f . p sera ce frottement, et l’on aura

=p -Vf-P-

Pour trouver p , nous ferons abstractions du poids de la corde , et nous observerons que les deux tangentes ab et bt sont égales. De plus , si l’on

construit le losange abtpn , et si l'on considère le côté ab comme proportionnel à la force P , cette même force sera encore la tension qui a eu lieu de 1 en # . La diagonale bm du losange étant perpendiculaire à la corde of, et la partageant en deux parties égales , on voit quelle sera égale à la pression p exercée par la tension de la courbe sur Télément at x . Les deux triangles mab et tpa sont isocèles ; les angles de leurs sommets respectifs a et o sont égaux, parce qu'ils sont suppléments du même angle abt 1 . Ainsi ces triangles sont semblables et donnent la proportion

mb : at 1 * \ ab : oa.

mb est la pression p ; at 1 corde de l’arc compris entre a et équivaut à ce même arc que nous appelerons s ; ab équivaut à P ; enfin , oa est le rayon R du rouleau. Donc la proportion revient à cette autre ,

Donc enfin on a ou

p : s :: P : R ; d’où p = 4 X P-

u = p 4 -fp.

Appelons t 2 la tension qui agit sur la troisième tangente b"t 2 , et au troisième point t 2 de division de l’arc total à partir de a ; on reconnaîtra que cette tension aura à vaincre la tension t 1 sur b't 1 et le frottement produit sur l’arc élémentaire tj 1 égal à s ou à l’arc a*,. En un mot, L, sera dans les mêmes circonstances par rapport à , que t, par rapporta P. Donc on aura

Si on appelle , f 4 les tensions qui ont lieu sur les autres tangentes consécutives, et aux points t s et t t , et si l’on observe que la dernière tension t K est égale à la force T , on aura

L’arc du rouleau , au aurait pu en contenir o ,

lieu de contenir quatre petits arcs élémentaires 6 , . . . . ou n ; et l’on aurait eu

On voit que le rapport de la puissance T à la résistance P croit très-rapidement à mesure que l’arc enveloppé est plus grand ou contient plus d’arcs élémentaires s car , pour obtenir ce rapport, il faut multiplier la quanfs

tité 1 -LE toujours plus grande que l’unité 8 , 4 , 5 1) fois par

elle-même, selon que l'arc enveloppé contient 4 , 5 , 6 , n de ces par-

ties. Supposons, par exemple, qu'une corde soit enroulée trois fois autour d’un rouleau, ou d’un pieu cylindrique de 1 décimètre de rayon. L’arc enveloppé sera égal à S circonférences ou à

3 . 2k- . R = 3 X 2 • ~y~ X l dm = 18 dm ,8 = 19 dm environ. Le coefficient du frottement d’une corde sur du bois ou sur toute autre substance

étant environ —, on a

fj

en prenant ici l’arc élémentaire égal au rayon. D’où

1 Qcîm

et , par suite ,

(1) On peut ramener cette formule à sa valeur comme sous la forme d’exponentielle, ainsi qu’il suit : développant le binôme 011 a

Si on remarque que le nombre n est très-grand quand Tare 5 élémentaire est très-petit , on pourra négliger toute puissance de n devant celle qui lui est immédiatement supérieure; t>n réduira alors la valeur de T à cette autre -

T — yfi ; ns t ■ n * s T , n * $ T i ^ \ 1 R 1 2 R“ 1 2 . 3 R 3 "T” ' ’ ' V'

Or, ns est Tare entier S enveloppé par la corde; d’où

Pe

* est égal à 2./ 182a; c’est la base du système des Logarithmes Népériens.