R . ACB ^ R

\'CB' j.

Maintenant, si on détermine de la même manière les moments des frottements qui ont lieu sur les autres éléments semblables à AA'B'B de la surface comprise entre les deux cercles de rayon R et R' , et qu’on en fasse la somme , cette somme donnera le moment du frottement total qui a lieu sur l’anneau. Or, il faut remarquer : 1° que cette somme renfermera le fac-

teur commun

sto

— 5 „ que le second facteur se composera de deux

termes dont l’un sera le produit de ^ R multiplié par la somme de tous les secteurs ACB qui forment la surface du cercle extérieur oujR ! . et dont

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. jog

l’autre retranché sera le produit de ~ R' multiplié par la somme de tous

les secteurs A'CB' du cercle intérieur , ou par *- . R' 2 . On aura donc pour le moment total du frottement de l’anneau l’expression

ou cette autre , après toute réduction ,

Enfin , si on nomme l la largeur AA' ou BB' de l’anneau , r le rayon moyen de cet anneau ou la distance de son milieu au centre, le calcul apprend que

R2 ru revient à r — ^ - Nous appelerons cette valeur r,, et le

moment total du frottement de l’anneau deviendra en définitive/. jV. r . .Mais, comme f . N est lui-mème le frottement total, on voit que r 12 /- ^ * 1 ou r ^ — est encore ici le bras de levier moyen du frottement de

I anneau , supposé concentré à une distance r, de son centre.

Puisque le frottement total/. N peut être regardé comme ayant son point

d application à une distance du centre égale à R ou à r 4 -— — r

selon que le pivot frotte sur un cercle entier ou sur un anneau , et d’ailleurs le petit chemin décrit par ce point d’application est censé situé dans la direction même de cette résistance , la quantité de travail élémentaire consommée par le frottement sera donc égale au produit de /N et de ce petit chemin décrit. Or ce dernier, en désignant par s, l’arc décrit à l’unité de distance pendai.t un trts-petit temps, aura dans les mêmes circonstances, pour

valeur gR. s,, ou r,*,. Donc, enfin, la quantité élémentaire de travail

cherchée sera représentée ou par | R. s t .f N, ou par/.N^ r -f JL j ^ .

Plusieurs remarques doivent être faites à cet égard; le coefficient / du rottement sera ici déduit des deux tableaux donnés au n° 106 , parce que e pivot glisse contre sa crapaudine , et que ce mouvement est le même que celui de deux surfaces en contact.

La quantité de travail du frottement augmentant avec le rayon du cercle entier du pivot , ou avec le rayon moyen de l’anneau, il y a*de l’avantage a immuer autant que possible ces rayons ; mais cette limite est elle-même

relative à la solidité du pivot. Au reste , c’est dans ce but que l’on amincit quelquefois les pivots en forme conique ( fig. 186 ). Souvent encore on termine leur extrémité inférieure par une surface convexe ( fig. 187 ) , ainsi que le fond de la crapaudine : il faut alors considérer seulement le petit cercle de contact qui a toujours une certaine étendue par suite de la compression et de l’user. Xous finissons ce paragraphe en rappelant que le moment du frottement se trouvera facilement quand cela sera utile , puisqu on remplace cette résistance par une force unique égale au produit de la pression totale multipliée par un certain coefficient obtenu dans les tables, et que le bras de levier de cette force n’est autre chose que ce que nous avons calculé sous le nom de bras le levier moyen du frottement.

121. Frottement d'un tourillon dans un palier ou boite. Xou» saxons que le tourillon est un cylindre posé sur un autre par une arête; on a soin d'ailleurs de leur donner peu de jeu, c’est-à-dire une très-faible différence entre leurs ravons , afin d’éviter toute espèce d’emboîtement , lorsque la pièce qui s’appuie sur ce tourillon est mise en mouvement. Mais , comme le frottement qui en résulte a été reconnu par Coulomb bien inférieur a celui qui a lieu selon les circonstances prévues par les tableaux du n° 106 , nous commencerons par présenter le troisième tableau , relatif aux pièces de

rotation.

TROISIÈME TABLEAU. Frottement des axes dans leurs boîtes.