INDICATION DES AXES MIS EN EXPÉRIENCE

4xe de fer dans une boite en enivre

s » avec un enduit de suif.

”, » ^surfaces étant pénétrées °par le suif et restant onctueuses. .

” a '-ec un e e n nduit d (juT n’avait pas été renouvelé depuis longtemps

. - . a, “ . l . i, a! I n m on r

auoique la machine eût servi continuellement ' „ après avoir servi longtemps, sa ns qu on eut rafraîchi 1 enduit

» „ dans une boite d’orme enduite de suit. . • • • • -

* „ l’enduit étant essuyé , et les surfaces restant onctueuses.

Axe de buis dans une boîte de gaïae enduite de suif.

l’enduit étant essuyé et les surfaces restant onctueuses, dans une boîte d’orme enduite de suit. . - • • •

l’enduit étant essuyé , les surfaces restant onctueuses. .

0li2

Examinons maintenant le rôle que joue ee frottement au milieu d autres forces qui sollicitent la pièce de rotation. Lorsque celle-ci est repos . il est évident que le tourillon A ( fig. 188) de cette pièce occupe ^ point o le plus bas du cercle poq qui constitue le profil de sa boite.

machine est ensuite mise en mouvement , le tourillon A tournera autour de son point d’appui contre ce palier ; et il cheminerait même indéfiniment sur la surface de ce dernier, si elle était de niveau. Mais comme il n en est pas ainsi, le tourillon A montera sur le palier poq , tant que les efforts moteurs l’emporteront sur le frottement , puis il s’arrêtera en un point m dont l’inclinaison de la tangente sera telle que le frottement soit capable d’y retenir le tourillon. Ce dernier , posé ainsi par un point m sur la surface poq , ne saura s’y maintenir en équilibre, à moins que la résultante de toutes les forces qui agissent sur le tourillon, y compris le frottement (2 e partie 99 ) , ne passe par le point d’appui m , et quelle ne soit perpendiculaire à la tangente. Or, le frottement s’exerce le long de cette tangente et est immédiatement appliquée au point m. Donc , la résultante N de toutes les autres forces devra aussi passer par ce point et selon une direction quelconque wN. La seconde condition que la résultante du frottement et de cette force N soit perpendiculaire à la tangente, revient à celle que la composante de la première dans la direction de cette tangente soit immédiatement égale et contraire au frottement.

Prenons sur mN une partie md égale à l’unité, et formons sur md le rectangle damb. La composante de N perpendiculaire à la tangente sera ( 2 e partie, 108 ) N . ma, pression qui donnera lieu au frottement/ - . N . ma , /étant un des coefficients donnés par le troisième tableau. Enfin N . mb sera la composante de N le long de la tangente, et l’on aura

d’où

N . mb — /N . ma ; mb

relation qui indique que le rapport du frottement à la pression sur le tourillon est immédiatement donné par l’inclinaison de l’angle de la pression N avec la tangente au cercle de ce tourillon menée par le point d’appui. On aura ainsi le moyen de trouver géométriquement ce point d’appui. Quant au frottement, il est/, ma . N. Remarquons que le triangle rectangle mad donne 0

1 = ma 2 -f- mb" = ma" f 2 . ~mar,

et, par suite,

/ . -ma . N = N — . '

Telle sera donc l’expression du frottement autour du tourillon 5; et pour lavoir il ne suffira pas de multiplier la résultante des forces données par 2 me PARTIE. jg

le coefficient f-, il faudra encore diviser le produit/ - . N par}/ 1 -f f„. Toutefois on remarquera que lorsque /"est moindre que g, {/ 1 -f /= ne

diffère presque pas de l'unité ; en sorte que le frottement est sensiblement f. K ou le même que si la résultante A était perpendiculaire au tourillon , quoiqu’en réalité elie ne le soit pas.

Lorsque le tourillon reste fixe et ne fait pas corps avec la roue , la roue tourne alors de manière que c’est son propre centre A v fig. 189) qui demeure fixe. Le bras de levier de ce frottement est alors le rayon de ! œil de la roue, lequel est plus grand que le tourillon à cause du jeu , au lieu que quand le tourillon est mobile, comme dans le premier cas, c’est au contraire le rayon de celui-ci qui est le bras de levier du frottement. Donc, à égalité de rayon, il y a du désavantage à ne pas rendre le

tourillon mobile.

L’expression du frottement étant indépendante de la longueur

du tourillon, on voit qu’on ne gagne rien à l’allonger ou à le raccourcir ; il n’y a que la résultante N qui puisse modifier l’intensite de cette résistance La quantité de travail consommée par ce genre de frottement est encore très-facile à mesurer; elle est égale au produit de la résistance , et du chemin décrit sur la circonférence du tourillon. Si l’on représente par r son rayon, et par s t l’arc décrit à l’unité de distance, on aura r X s . pour l’arc développé sur le tourillon dans un temps quelconque , et f. N X r X «i pour la quantité de travail absorbée par la résistance du

frottement.

1M . Idée sur les dimensions des tourillons. Avantage des couteaux. - La

quantité de travail consommée étant représentée par f.X. r. s , , on

observera que dans cette expression , les quantités f N et ne sauraient être changées , attendu qu’elles dépendent des substances en contact, des forces appliquées, et du mouvement convenable à la machine. Il ne reste donc que r, ou le rayon du tourillon , dont on puisse disposer. Plus .1 est o-rand, plus la quantité de travail consommée est considérable. Si donc on veut le réduire , il faut construire le tourillon en substance très-dure , en acier, par exemple. On peut encore le diminuer, dans le cas ou les forces appliquées sont d’une faible intensité. Dans toute autre circonstance, i. b J a pas moyen d'affaiblir les frottements des tourillons. Il arrive quelquefois que, pour empêcher l’arbre ou les tourillons de glisser dans le sens e leur longueur, on les interrompt par des espèces de renflements (fig. ™ ) qui circulent dans des logements plus profonds que ceux des tourillons, es renflements sont ordinairement des troncs de cône opposés par une b»» commune. On leur donne la forme d’un tronc de cône, afin de la portion de surface qu’ils présentent à la paroi qui leur sert pour ainsi i

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. lâ7

de guide. 3Iais on commettrait une erreur grave, si l’on prétendait diminuer le frottement, en laissant rouler l’arbre sur l’arête circulaire de ce renflement , sous préteste que cette circonférence est , pour ainsi dire une ligne mathématique.

Loin d'avoir rien gagné, on augmenterait au contraire la quantité de travail du frottement, parce que celle-ci ne dépend pas du plus ou moins de longueur du tourillon , et parce qu’elle croîtrait proportionnellement au ravon du cercle commun aux deux cônes de renflement dont il est question. Cette modification n’a d’ailleurs rien de commun avec les couteaux, dont l’emploi est fort avantageux. II faut d’abord se rappeler que Ienr usage est borné au seul cas où une pièce de rotation (fig. 19 ]) ne doit faire que de petites oscillations. Les couteaux sont alors des espèces de coins qui supportent l’axe , et dont les pointes sont arrondies en cercle fort petit. Le mouvement s’opérant autour du centre de ce petit cercle, et le frottement ne s’exerçant que sur l’arc de ce dernier, on voit comment, par des efforts même considérables, la quantité de travail /X . r X est peu appréciable, attendu la petitesse du rayon r. C’est en terminant son axe de suspension par des couteaux , qu une balance est rendue semblable.

123. Frottement dit de seconde espèce , ou produit pur le roulement de deuv surfaces. 11 est encore une dernière espèce de frottement qui résulte de deux surfaces qui roulent l’une sur l’autre. Mais ici, comme les parties de ces surfaces s’appliquent entre elles une à une, et qu’elles se détachent les unes des autres perpendiculairement à la direction du mouvement qui est celle de la tangente commune, il n’y a point, à proprement parler, de frottement dans ce mouvement, ou du moins il est assez faible pour être négligeable.

Quand un rouleau chemine en roulant sur un plan , les arcs des divers points de sa surface se développent sur celle du terrain; et le frottement n existe pour ainsi dire pas, surtout si ce rouleau est bien cylindrique et que la surface soit unie. En général, ce frottement, dit de seconde espèce, est d autant moindre que le diamètre du cylindre mobile est plus petit. Une roue de deux pieds de diamètre qui roule sur un terrain , et qui est chargée “ Lilogr. , donne lieu à une résistance qui ne dépasse pas

îe trentième de la pression , c’est-à-dire S kilogr. Toutefois, si le corps roule

SJr ’ :n ” s " rI ue raboteuse, telle que du sable, de la terre , etc., cette résistance devient sensible.

)tiement de roulement présente , dans les voitures, des résistances reeiles , surtout quand le terrain est compressible, et que les roues s’y énoncent; car (es voilures sont ensuite obligées de se relever sur un plan cliné , ei eLes exigent alors une nouvelle quantité de travail. ïïais , en n né. al , lorsque la surface sur laquelle un corps chemine en roulant, reste

plane et la même sur une certaine étendue , on peut regarder le frottement de roulement ou de seconde espèce comme très-petit. Son peu de résistance explique l’emploi des rouleaux dans le transport des blocs de pierre, ou des plus lourds fardeaux (fig. 192). C’est, comme l’on sait, sur deux rouleaux qu’est portée la charge ; et ces rouleaux cheminent eux-memes sur es madriers établis à la surface du terrain , afin qu’ils ne puissent pas s’y enfoncer. Un troisième rouleau, placé en avant des deux premiers , reçoit le bloc ou la charge au moment où le rouleau d’arrière est dégagé; celui-ci est remis en avant et destiné à recevoir la charge au moment ou elle est poussée jusqu’à lui. etc. Telles sont les opérations a faire successivement. Le frottement du roulement consomme incomparablement moins de travail que si le bloc de pierre , ou fardeau , était traîné sur la surface même du terrain.

124. Emploi du frottement de seconde espèce pour diminuer les autres frottements.-- le frottement de seconde espèce, combiné, soit avec le frottement des surfaces qui glissent les unes sur les autres, soit avec le frottement des tourillons, peut diminuer ces frottements ainsi que leur quantité de travail. Représentons-nous, par exemple, une roulette et un axe qui lui est fixé et dont les tourillons peuvent tourner dans une crapaudine (fig. 193) ? supposons une charge P en équilibre sur cette roue, et placée sur une table AB , horizontale et tangente à la circonférence de la roulette. Si cette derniere ne pouvait tourner , il est évident que la puissance T, capable de faire g isser la charge P sur la surface de la roue, serait égale à /. P, c est-a-dire au frottement de glissement qui résulterait de la charge P. Mais, si on rend aux tourillons la faculté de tourner sur leur palier , la charge P portera elle-même sur les tourillons , et ce sera sur ces derniers que le frottement f P sera produit. Appelant r leur rayon et s, le chemin décrit a l’umte e distance , /. P X r • s i ^ra la quantité de travail de ce frottement et elle devra être égale à celle de la puissance F capable de la vaincre. Or , le chemin parcouru par le point d’application de cette puissance et dans sa direction sera égal au développement de l’arc de la circonférence de la roulette, décrit en même temps que celui du frottement, o’est-à-dire à R . a, (R etan le rayon de la roulette). On aura donc

d’où F =

Donc, la puissance F , de fV qu’elle était avant le roulement de la roulette,

est réduite à/PX|,o“ dans le ra PP ort du ray0n du tourilIon a cel “ 1 ^ la rou'ette 11 en est de même de sa quantité de travail , qui diminue aussi

selon ce rapport. On remarquera que si les surfaces de AB et de la roue étaient tellement polies que le coefficient /fût très-petit, ou que le frottement

de glissement en M devint moindre que /. P . 1 ou que F , les roulettes ne

tourneraient pas ; mais cette circonstance n’arrive presque jamais dans la pratique.

Quoi qu’il en soit, les roulettes fixes ont l’avantage de diminuer la quantité de travail que développerait le frottement si ces roulettes n’existaient pas. Telle est, par exemple, dans les scieries, la disposition des chariots qui amènent la pièce de bois sous l’action de la scie (fig. 194) ; l’utilité des rouleaux tournants à axe fixe , sur lesquels ces chariots cheminent, devient ici de toute évidence.

Lorsqu’un tourillon est destiné à supporter une charge considérable, sa grosseur doit être proportionnée en conséquence; mais comme la quantité de travail consommée par son frottement augmente à la fois avec la pression qu’il éprouve et la grandeur de son rayon , il importe de réduire cette quantité de travail et voici par quel moyen. Imaginez que ce tourillon A (fig. 193) repose sur deux grandes roues de rayons R et R', qui, ellesmêmes, peuvent tourner avec des tourillons de rayons r et r' beaucoup plus petits que les premiers. Décomposons , au moyen du parallélogramme , la charge ou pression du tourillon A en deux autres forces N et N' , dirigées suivant les lignes qui joignent son centre à ceux des grandes roues. Si ces dernières ne tournaient pas , le frottement du tourillon sur la première (R) serait/. N ; et celui qui aurait lieu sur la deuxième (R') serait/.

La quantité de travail totale consommée sur le tourillon serait enfin

(/.N-f /.Pi')A. Sj ,

A étant le rayon du tourillon et s, le petit arc décrit à l’unité de distance de son axe. Mais si, au contraire, chaque grande roue a la faculté de se mouvoir autour de son tourillon respectif, on reconnaît, d’après ce qui

précède , que le frottement /. N sur le tourillon A est réduit à /. IV X vvj

et le frottement/. N à/. TU X jp. Partant, la quantité de travail devient

ainsi .... ^/NX-g-f- /IV — j As,, quantité bien inférieure à celle

~ fi 11 * aurait eu lieu sans le concours du roulement des deux

gi andes roues , et d autant moindre que R et R r sont plus grands par rapport aux touriiions respectifs r et r'. Une disposition de tourillon établie kUr ce P nnc 'P e uonne lieu à une sujétion que l’on doit éviter, à moins de circonstances toutes particulières. Quand un tourillon repose sur deux ou £r0lS roulettes ùg. 196), il est assez ordinaire qu’il s’use inégalement, et

qu’il fasse naître sur leurs surfaces des cavités qui ne lui permettent plusensuite de tourner.

Nous sommes naturellement conduits au dispositif des tourillons de la cloche de Motte à Metz. Comme elle ne doit faire que des oscillations et non des révolutions, il convient, au lieu de roulettes, d’avoir recours à des secteurs d’une amplitude à peu près égale à celle d’une oscillation. Ces secteurs, au nombre de trois ffig. 197), tournent avec des tourillons trèspetits comparativement à leurs rayons respectifs, et sont placés 1 un audessous , et les deux autres à gauche et à droite du centre du tourillon de la cloche, de sorte que ce dernier, quand il est mis en mouvement, repose constamment sur le premier, et alternativement sur l’un des deux autres. La pression du tourillon principal étant égale à la résultante de la force centrifuge de la cloche et de son poids, qui est au moins de 18,000 livres, on conçoit que les frottements de son tourillon absorberait une énorme quantité de travail, si on ne l’avait diminué par l’influence du roulement de ces grands secteurs; celte diminution se calcule d ailleurs, comme nous l’avons montré pour deux cercles, au moyen du rapport des rayons de chaque tourillon des secteurs aux rayons de ces derniers. Le balancier supérieur, qui supporte deux tiges fixées elles-mêmes à chaque secteur latéral, a pour but d’empêcher que ces secteurs no tombent tout-à-fait lorsque la cloche est poussée contre l’un d’eux par l’effet de sa force centrifuge. On a dans ces derniers temps présenté un appareil analogue, comme s’il s'agissait d’un perfectionnement nouveau ; maïs celui que nous venons de décrire est inventé depuis au moins trois cents ans.

Supposons actuellement que la roulette, au lieu de tourner sur son axe fixe, soit mobile sur un plan AB ( fig. 198 ), et que la charge P, au lieu de reposer sur la circonférence de la roulette, repose sur une chape qui reçoit elle-même l’axe de la roulette : non-seulement la pression aura lieu sur l’essieu , mais encore, quelque part que soit placée la puissance F , le chemin décrit par son point d’application sera le même que celui qui est parcouru par l’essieu de la roulette. Les raisonnements sont d’ailleurs toujours les mêmes , c’est-à-dire que le travail de la puissance est égal à celui du frottement autour de l’axe, en négligeant toutefois le frottement de roulement oui a lieu eu M. Remarquons que le chemin parcouru par la puissance est égal à i’arc que développe la circonférence de la rouiette, ou a R X s i- T je celui fl" 1 est parcouru par le frottement autour de l’axe, dont ie rayon est r, est égal àrX s ii d’où * on t ' re

et, par suite ,

Telle est la théorie des roulettes de lit, ou des roues de voitures. Dans ces

dernières , l’essieu ne tournant p as , c’est autour du centre de la roue que

le mouvement de celie-ci s’opère, de sorte que r est nécessairement V

parlie, 121) plus grand que le rayon de l’essieu. On termine ordinairement les extrémités de cet essieu en forme de cônes dits fusées (fig. 199) ,l ont l’arête inferieure est sensiblement horizontale. Le rayon , ou bras de levier du frottement , est alors la distance du centre de la roue au point de contact de cette dernière avec la fusée. Dans l’emploi des voitures, nous ne pourrions fcdre abstraction du frottement de roulement sur le terrain. On conçoit, en effet, qu’une roue qui parcourt une surface couverte de pierrailles rencontre des obstacles qu’elle doit franchir ou écraser et qui produisent une résistance plus ou moins considérable.

La force de traction , par rapport à la charge , est d'un huitième sur une route en cailloutis ou en pierres concassées ; d’un douzième sur une route dont les pierres sont plus serrées ; d’un vingtième sur une route pavée ; d’un trentième sur une route damée et bien unie. Quand une voilure roule sur une surface bien lisse, telle que de la glace ou de la neige, il arrive que les roues ne tournent pas ; c’est qu’alors la résistance du terrain en contact

des roues est moindre que/ . P . JL.

Le rouleau du laboureur (fig. 200) destiné à briser les mottes de ferre est encore du même genre. Sa quantité de travail diminue avec le rayon de son boulon , et est d’autant moindre que le rayon de sa circonférence R est plus grand par rapport au rayon r du boulon.

On voit enfin 1 avantage des grandes roues; car , si on ne les employait pas, et que la charge fût tirée ou traînée à terre, l 'effort de traction de-

viendrait /. P, et le coefficient /serait à peu près de Sur la neige et la

glace .1 devient, au contraire, très-petit, et de là l’usage des traîneaux dans lesquels on se passe de roues. — Les trique-bales , qui servent au transport des lourds fardeaux , ont des roues de huit à dix pieds. Toutes les fois qu’une voiture a des roues d’inégale grandeur , il faut charger davantage les roues de derrière qui sont les plus grandes, que celles de devant, afin que leur résistance ne soit pas inégale , ou qu’elles ne s’usent pas plul les unes que les autres. Les roues de voitures ont ordinairement de trois à

* IX P,e i d * de d,amèfre : ‘rop grandes elles augmentent la dépense , ainsi que 1 instabilité de la charge (2 e partie, 102 et 104).

1 2o. Résistance due à la raideur des cordages. — Considérons un rouleau ' u • -0/ tournant sur un axe, et portant à sa circonférence une goro-e dans laquelle estpassée une corde. Un poids Q est suspendu à l’une des extrémités,

tond, squ’une puissance F agit à l’autre pour lefaire monter par l’intermédiaire

o de. Celle-ci, par suite de sa roideur, oppose une certaine résistance du cote de Q, pour se plier autour du rouleau , et doit nécessaire-

DEUXIÈME PARTIE, ment consommer une partie de la force motrice F . La m esure de la résistance due à la roideur des cordes a été encore l’objet de plusieurs expériences de Coulomb, d’après lesquelles il résulte que, pour un rouleau donné, cette résistance se compose de deux parties dont une demeure constante quand la corde est la même, et dont l’autre varie proportionnellement au poids Q suspendu. En désignant par K la première, et par I X Q la deuxième partie, la résistance totale d’une corde sera exprimée par k -y- 1 • Q . K peut être regardé comme représentant la roideur constante qui provient de la torsion ou tension naturelle des fils ; I est celle qui est relative à la tension de la même corde pour un kilogramme de résistance. Coulomb observe , en outre , que cette roideur varie en raison inverse des diamètres du rouleau; en sorte que, si K-j-I . Q est la roideur dune corde autour d’un rouleau de 1 mètre de diamètre , et que 2R soit le diamètre de celui

que l’on considère,— donnera la mesure de cette roideur autour

de ce dernier. Il ne reste donc plus qu’à avoir le tableau des valeurs de h et de I pour les cordes employées dans la pratique , lorsqu’elles sont pliées autour d’un rouleau de 1 mètre de diamètre , puisqu’il suffira de diviser la roideur qui en résulte par le diamètre du rouleau véritable autour duquel la corde peut être enroulée.

Toutefois , comme il est impossible de prévoir les diamètres de toutes les cordes, et qu’il y en a une infinité. Coulomb a encore donné la loi sur la roideur en vertu des diamètres des cordes. Il distingue: l°les cordes blanches, sèches ou mouillées ; 2° les cordes a demi usées, soit seches, soit mouillées; 8° les cordes goudronnées ; 4° enfin , les ficelles. La roideur des premières est à-peu-près proportionnelle au carre des diamètres de ces cordes ; celle de la deuxième classe varie comme la racine cubique du carré des diamètres ; celle de la troisième classe est proportionnelle au nombre des fils de caret de chaque corde {voyez plus loin dans la table). Quant à la roideur des ficelles , elle varie proportionnellement à leur diamètre.

TABLEAU des poids nécessaires pour plier différentes cordes autour d’un rouleau de I” de diamètre.

>° i. cobdes blanches sèches. — Roideur proportionnelle au carré du diamètre .

diamètres

DES CORDES EN | CENTIMÈTRES

ROIDEUR N ATURELLE

VALEUR DE K

KOIDECK POUR I K. Il

DE CHARGE 11

OC TACECR DE 7. ||

£ ij

No ii. cordes blanches jmbibées d’eau. — Roideur proportionnelle au ca't'ré du diamètre.