CALCULS RELATIFS A LA TIS ET A SOS ÉCROU

1S6. Description succincte de la vis à filets carrés et de son écrou. — Pour se faire une idée de la forme d’une vis à fiiets carrés , qu’on se représente un cylindre BCED ( fig. 21 S ) plein à base circulaire qu’on nomme noyau, et dont l’axe AA' est vertical. Si on fixe à la surface de ce noyau un rectangle abcd dont le plan contienne l’axe AA' et qui n’est autre chose que le profil du filet de la vis , il est évident que , par suite d’un mouvement de rotation autour de l’axe AA', ce rectangle engendrera un anneau, tant qu’il demeurera à la même hauteur. Mais si en même temps qu’il tourne, il descend le long de l’axe de quantités proportionnelles aux arcs décrits , ou si pour un quart de révolution, il est descendu du quart de la hauteur verticale que ce profil parcourt pendant une révolution complète , on aura ce qu’on appelle un filet carré en saillie sur le noyau. Chacun des sommets du rectangle a décrit une courbe rampante qu’on nomme hélice , et qui jouit de la propriété que l’un de ses points étant pris pour origine , tant par rapport à la courbe elle-même qu’a sa projection sur un pian horizontal quelconque, les hauteurs de tous ses points au-dessus du premier sont entre elles comme les arcs décrits horizontalement à partir de ce point d’origine. On nomme encore pas de la vis la hauteur dont le profil s’est élevé après avoir parcouru une circonférence entière autour de l’axe AA'; cette hauteur est encore mesurée par l’intervalle aa' entre les surfaces supérieures de deux filets consécutifs. Chaque surface supérieure se compose d’un faisceau d'hélices qui toutes ont le même pas, mais qui appartiennent à des cylindres de raV ons différents. Celle qui est tracée sur le noyau est celle dont le rayon est le plus petit, tandis que le rayon le plus grand appartient à l’hélice engendrée par le sommet extérieur a du rectangle. La pente ou la roideur d’une hélice sur une même surface du filet va donc en diminuant du noyau à l’arête extérieure du filet. Après s’ètre ainsi figuré la génération de la vis, il faut en outre concevoir que l’on taille en creux un autre corps de la même manière que la vis est taillée en plein ; c’est ce qu’on nofiime l’écrou de cette dernière. Dès lors l’écrou et la vis pourront s’adapter, et ils auront nécessairement l’un sur l’autre un double mouvement de rotation et de translation. Dans tous les cas, si l’on imprime un simple mouvement de rotation à l’un de ces corps, l’autre sera posé sur la surface supérieure d un filet du premier comme sur un pian incliné.

137. Mode d'action de la vis à filets carrés ; son équilibre indépendamment des frottements. — Pour élever des fardeaux ou produire du travail, on emploie le système de la vis et de son écrou de deux manières, soit en fixarn invariablement l’écrou, et en laissant la vis tout à fait libre, soit encore en fixant invariablement la vis , et en laissant à l’écrou la faculté de se mou-

voir. Dans le premier cas, c'est-à-dire dans celui où lecrou est fixe et la vis mobile, on agit sur cette dernière au moyen de leviers R ( fig. 21-i embarrés dans sa tète; non-seulement alors elle tourne dans son écron, mais encore elle soulève le poids Q attaché à son extrémité.

Mais quand la vis est fixe, et que l’écrou est mobile, la puissance est alors appliquée sur des leviers R (fig. 213) insérés dans des ouvertures pratiquées à la surface de 1' 'écrou ; et ce dernier , en tournant autour de la vis, chemine dans le sens de la longueur de son axe et soulève en même temps la charge Q'.

Dans tous les cas , en appelant F la puissance et Q I a résistance à vaincre, 'il est évident que la première doit agir dans le plan du mouvement de son levier, ou perpendiculairement à l'axe de ce mouvement, comme dans le treuil; et si l’on fait abstraction du frottement, son travail doit être égal à celui de la résistance produit dans le même temps. Or, remarquons que lorsque cette dernière s’élève d’une certaine hauteur, le point d’application de la puissance a dû parcourir un certain arc , et qu’en vertu de la propriété de la vis, le rapport entre ces deux quantités est toujours le même au bout d’un temps quelconque, quels que soient la hauteur dont a monté la résistance , et l’arc décrit par la puissance , pourvu que cette hauteur et cet arc soient simultanés. Nous pouvons donc considérer ce qui a lieu dans une révolution complète. Or, la puissance a décrit une circonférence, pendant que la résistance s’est élevée d’un pas de vis ; et si on appelle A la hauteur de ce pas, et R la distance du point d’application de la puissance à l’axe , h et 2^-R seront les chemins décrits par la résistance Q et par la puissance F dans leurs propres directions. Ainsi, F . 2,vR sera le travail de la puissance et Q . A celui de la résistance au bout d’une révolution complète; et l’on aura pour condition d 'équilibre , indépendamment des frottements ,

F X 2,tR = Q X h , ou F : Q ; ; A : 2^ :

ce qui indique que la puissance est à la résistance comme le pas de la vis est a la circonférence décrite par le point d’application de la puissance.

les. h quihbre de la vis à filets carrés en tenant compte des frottements . — Nous venons de aire que 1 on pouvait comparer l’écrou qui marche sur une

T ’■ - * Une V ' S SUI * S ° n ® crou = ® utl corps posé sur un plan incliné, toutefois à la puissance F destinée à faire monter le corps sur le plan, et qui est horizontal, il convient d’en substituer une autre horizontale comme et ..^ ^ tan * : oa P a b’e du même travail, est immédiatement appliquée ^ur i helice dont 1 inclinaison est celle du plan incliné que l’on considère. Il aut d ailleurs se rappeler que toutes les hélices d’un même filet ont des inclinaisons d autant plus roides que les cylindres auxquels elles appartienra f ons plus petits , et que 1 inclinaison qui représente simulment les inclinaisons de ces diverses hélices correspond à celle de

loi deuxième partie.

l’hélice moyenne du filet et qui a pour rayon une longueur que je désignerai par t. Or. la puissance horizontale capable du meme travail que F et appliquée à la distance r de Taxe du mouvement sera telle que Ton aura 2 ît .T', r = 2îv . F . R (R étant toujours la longueur du hras de levier de la véritable puissance F ).

Concevons maintenant que le cylindre de rayon r soit développé sur un plan ; dans ce développement le cercle de sa section perpendiculaire aux arêtes va devenir une ligne droite , et celles-ci des perpendiculaires à cette droite ; et comme les hauteurs des points de 1 hélice de ce cylindre moyen ne sont nullement altérées par l’effet de ce développement , et qu elles sont proportionnelles aux arcs correspondants , cette hélice deviendra une droite inclinée ayant pour hase AC (fig. 216) le développement du cercle 2irr, et pour hauteur BC le pas de vis h. Cela posé, la puissance F horizontale devant élever le poids Q sur un plan incliné dont la base et la hauteur sont les quantités précédentes, cette puissance F' et ce poids Q seront , pour que l’équilibre ait lieu sans la considération du frottement (2 e partie, 105) dans le rapport de la hauteur à la hase de ce plan. Donc , on aura

et , par conséquent , 2;vr . F' = Q . h

ou bien , à cause de 2a-r . F' = 2 ü-R . F , on trouvera encore

2îtR . F = Q . h ,

relation qui conduit à la même conclusion que tout a 1 heure.

Cette manière d’envisager le mouvement de la vis s’applique très-facilement au cas où Ton veut faire entrer en considération les frottements. En effet , on a vu que , dans le cas d’un plan incliné , toute force horizontale F' capable d’y élever un poids Q, et de vaincre en même temps la résistance du frottement , était donnée (2 e partie, 108) par la formule

V' Q f^C -f- / • A C) N ous ferons remarquer que, dans cette formule, ac — f . bc

le coefficient f est le rapport du frottement à la pression, relatif aux surfaces des substances en contact, c’est-à-dire ici de la vis et de son écrou, que BC et AC (fig. 217) représentent des fractions qui expriment le rapport de la hauteur et de la base du plan à sa longueur , que ac et hc sont des fractions exprimant les rapports des composantes parallèles et perpendiculaires au plan, à la force horizontale motrice F prise pour unité, et qu’enfin le terme f . hc dans le dénominateur est pris négativement conformément a l’observation qui a été faite au même n° (108). Or, le triangle abc, q représente la force motrice ah prise pour unité et ses deux composantes m et bc, est semblable au triangle ABC , parce que l’angle cal est égal a l’ange BAC et l’angle cha égal à l’angle CB A. Donc, la fraction ch sera égale a a

fraction CB , et la fraction ca à la fraction CA. Taisant cette substitution dans F , nous aurons un

F Q (BC -f f. A C)

CA — f. Bc "

Il est évident encore que les longueurs BC et AC sont toutes deux proportionnelles au pas A et à la circonférence 2*r de Fhélice moyenne dont l’inclinaison est celle du plan incliné que l’on a substitué à la surface du filet. Cela résulte immédiatement de la propriété qu’a cette hélice, que ses éléments en projection horizontale et en projection verticale sont toujours dans un rapport constant. On pourra donc mettre A et 2 s-r à la place de BC et de AC : car cela revient à multiplier les deux termes de la fraction qui entre dans l’expression de F', par le rapport commun des deux dernières grandeurs aux premières. On aura donc évidemment

et , par suite,

2svr . F'

f- h ^ ~ ' V %cr — fk ’

2vr

Mais on a toujours 2irR . F = 1*r . F', donc on aura , en définitive,

2^R . F = Q . h 4- f . Q — + 4cV3 V %cr — f k ’

relation qui nous apprend que la quantité de travail 2 îtR . F. de la puissance est plus grande que la quantité de travail Q . h de la résistance , et qu’elle est augmentée de toute celle qu’absorbe le frottement, c’est-à-dire

de f . Q

' v 2 *r — fh '

139. Dimensions à donner à la vis à filets carrés; influence de son frottement. Si l’on fait attention que dans l’expression f . Q <je ] a

2tvr — f h

quantité de travail absorbée par le frottement de la vis à filets carrés , le numérateur croit plus rapidement que le dénominateur quand on fait augmenter 2srr, c’est-à-dire la circonférence ou le rayon de l’hélice moyenne, on reconnaît sans peine que ce rayon influe pour beaucoup à l’égard de ce travail nuisible. C’est pourquoi l’on doit tâcher de le diminuer le plus possible dans chaque cas , sans rien ôter à la solidité de la vis. Soit bo (fig. 218) le rajon de 1 helice intérieure ou du noyau, ao celui de l’hélice extérieure ; on donne ordinairement à la saillie ab des filets une longueur égale à son épaisseur ad mesurée dans le sens de l’axe, et pour la facilité de l’exécution on fait les vides égaux aux pleins, c’est-à-dire que ad = ad’. D’après cela, n . a qu un fLet de vis, ou si les profils abcd , a’b'c'd' consécutifs appartiennent au même filet, le pas a«' sera égal à 2ad = 2 ab : autrement dit.

la saillie du filet est égale à la moitié du pas. S’il y avait deux filets distincts , c’est-à-dire, si a, fis" appartiennent au même filet, le pas a' a" serait double du précédent ou Aab. La saillie serait alors le quart du pas , etc. On emploie ainsi plusieurs filets de vis , afin de pouvoir faire varier le pas sans changer la grosseur du noyau qui a des dimensions déterminées, ainsi qu’on va le voir.

Les vis à filets carrés étant ordinairement en fer, et les écrous en cuivre, le noyau et les filets doivent avoir une solidité suffisante pour ne pas se déformer sous le poids Q de la charge qui les sollicite parallèlement à l’axe.

Or , la surface de rupture du noyau étant . bo , et chaque millimètre carré

de cette surface pouvant porter moyennement sans perdre son élasticité,

6 kilog. environ ; on aura 6^ . bo . = Q ; d’où l’on tirera la valeur de bo en millimètres. Admettant ensuite que l’écrou ne doit pas embrasser moins de trois filets successifs , afin que l’engrènement soit convenable et qu’il s’use moins vite , son épaisseur sera égale à 6adou 6ab , et la surface de rupture des filets le long du noyau sera %= . bo, à cause qu’il y a autant

de plein que de vide. Comme la charge pourrait agir toute entière sur les extrémités a , a' des filets et qu’elle aurait ainsi un bras de levier double de celui de la surface de rupture cb , c'b' de ces filets , on ne devra prendre que la moitié de la quantité ci-dessus , c’est-à-dire a ab . r. .bo-, la résistance de la matière (cuivre et étain) qui compose l’écrou , différant peu de

celle du fer , on devra égaler la quantité ci-dessus à la surface *• . bo , de rupture du noyau ; d’où l’on tirera la saillie

eZ>= bo environ.

Il est évident que ces dimensions ne sont pas tellement absolues qu’on ne puisse aucunement s’en écarter; seulement elles nous paraissent les plus convenables en général relativement aux hypothèses qui ont été faites. Très-certainement l’usure et le frottement seraient moindres en augmentant la hauteur de l’écrou , et en faisant la saillie ab plus petite que ad , par exemple moitié. Quoiqu’il en soit, en reprenant nos premières hypothèses, le ravon bo ou celui de l'hélice intérieure étant de ôab , le rayon de l’hélice extérieure sera -4 ab ; donc le rayon moyen r sera égal à leur demi-somme , 7 7

ou à— ab, ou enfin à— h, à cause que la saillie ab doit être moitié dupasà. 2 ■*

Faisant cette substitution dans le travail consommé sur la vis par le frottera L U 2 r

ment au bout d’une révolution complète, ou dans f Q ■ ~ ~ï~JT ’ ° n