CENTRE DE GRAVITÉ DES CORPS

28. Centre des forces parallèles. — Quel que soit l’angle des deux forces parallèles P, Q avec la droite AB ( fig. 46), qui passe par leur point d’application , l’intensité de leur résultante R et la position C de son point d’application sont les mêmes , parce que l’on a toujours R^P-j-Q, etPXAC — Q X BC. Par conséquent, ce point C demeurera invariable, si les composantes , restant parallèles entre elles, viennent à tourner autour de leurs points d’application respectifs. Pareillement, si l’on a trois forces P, Q, S, et que , joignant le point d’application C de la résultante R des deux premières au point D d’application de la troisième, on cherchera celui delà résultante des deux forces R et S, ou des trois forces données P, Q, S; on reconnaîtra que le point 0 où leur résultante T est appliquée, est indépendant de 1 inclinaison des trois composantes autour de leur point d’application. On étendrait facilement ee raisonnement à un nombre quelconque de forces parallèles , lesquelles auront un point par lequel leur résultante passera constamment. Ce point est ce qu’on nomme Centre des forces parallèles.

29. Centre de gravité. — Un corps quelconque se compose d’une infinité de parties pesantes qui sont comme les points d’application d’autant de forces verticales ou parallèles. Leur résultante est ici une force égale à leur somme ou au poids total, et son point d application s’obtiendra par la combinaison de ces forces parallèles entre elles. Ce point, qui doit appartenir au corps comme les points d application des forces parallèles dues à la pesanteur, s’appelle centre de gravité, •

80. Détermination pratique du centre de gravité d'un corps. — Le centre

de gravité d’un corps étant le centre de toutes les forces verticales qui sollicite les molécules pesantes dont il se compose , il est évident qu’il doit demeurer invariable lorsque ces forces sans cesser d’être parallèles , s’inclinent autour de leur point d’application. Au lieu de faire tourner les forces , que l’on fasse au contraire tourner le corps. Dans ce mouvement les forces conserveront leur direction verticale, et leur résultante, c’est-à-dire le poids total, exercera toujours son action suivant une verticale passant par le même point , c’est-à-dire par le centre de gravité du corps. De là résultent deux moyens fort simples de le trouver quand le corps est invariable. Un corps suspendu à un fil s’arrange de telle sorte que l’effort pour le soutenir fait équilibre à la résultante de tous les points partiels des molécules de ce corps. Ainsi, la direction AC ( fig. 47) du fil qui le supporte est immédiatement opposée à la verticale qui passe par le centre de gravité G, ou bien le point C par lequel le corps est suspendu au fil et le centre de gravité G appartiennent successivement à la verticale AC qui passe par le point d’attache extérieur A. Si l’on change le point du corps C par lequel il est suspendu au fil, on aura autant de lignes droites qui concourront au centre de gravité.

Par la même raison , il est possible de soutenir le corps sur une pointe (fig. 48) toutes les fois que la verticale de son centre se confond avec celle delà pointe, et toutes les positions du corps qui satisfont à cette condition donnent autant de lignes devant contenir le centre de gravité. Les points supérieur ou inférieur où deux de ces lignes percent respectivement la surface du corps étant connus , on conçoit que des ouvertures rectilignes pratiquées d’outre en outre donneraient le centre de gravité par leur intersection commune. Reste à trouver les points inférieur et supérieur où une même verticale concourant au centre de gravité d’un corps rencontre sa surface. Suspendez ce corps à un fil, alignez de part et d’autre deux fils à plomb sur le fil de suspension , et faites tracer sur la surface du corps . avec un crayon , la section comprise dans ce plan vertical. Recommencez l’opération par un nouveau plan vertical passant par le même fil de suspension, les deux sections ainsi obtenues se croiseront aux deux points cherchés.

31. Recherche du centre de gravité par le calcul ou par la géométrie , — Cette méthode devient impraticable pour les corps très-lourds, ou pour ceux qui sont fixes , ou pour ceux qui n’existent pas encore et dont la construction est seulement en projet. En général, lorsque la forme d’un corps est définie géométriquement ou par un dessin , voici comment on peut connaître son centre de gravité. Il faut diviser le corps par une suite de plans , chercher le moment du poids de chaque partie par rapport à un pian quelconque, et prendre la somme de tous ces moments; cette somme, d’après ce qu’on a vu dans la théorie des forces parallèles, est égale au moment du poids total , c’est-à-dire, au produit de ce poids multiplié par la distance

de son centre de gravité à un plan arbitraire. Partant cette distance sera donnée par le quotient de la somme des moments partiels divisée par le poids total. Si l’on opère de même par rapport à un deuxième et un troisième plan arbitraire , on aura deux nouvelles distances du même centre. Ainsi ce dernier sera situé à l'intersection des trois plans respectivement parallèles à ceux des moments. Mais cette méthode, déjà fort longue en soi, peut être abrégée selon les circonstances, surtout quand il s’agit de trouver le centre de gravité des corps homogènes . On nomme ainsi ceux dont deux parties quelconques pèsent le même poids à égal volume.

82. Centre de gravité des corps réguliers. — L’expérience apprend qu’une barre AB (fig. 49) parfaitement homogène, en bois ou en fer, que l’on suspend par son milieu G à un fil , y demeure en équilibre. Le centre de gravité de cette barre est donc situé au milieu de sa longueur. On voit aussi sans difficulté qu’il doit être dans le milieu de l’épaisseur. Si la barre supporte à ses deux bouts une sphère M, elle demeure encore en équilibre quand elle est suspendue par son milieu. Le centre d’une sphère en est également le centre de gravité, car en la suspendant à un fil EA par un des points quelconques de sa surface , la verticale du fil passe constamment par le centre C de la sphère. C’est un principe général que le centre de gravité de tous les corps réguliers et homogènes se confond avec leur centre de figure. Yoilà pourquoi un prisme droit, ou un cylindre droit ont leur centre de gravité sur le milieu de leur longueur , et que ceux d’un cercle ou d’une droite sont placés l’un au propre centre du premier , l’autre au milieu de la droite. C’est ici le lieu d’observer que le centre de gravité d’une surface n’est autre chose que celui d’un corps d’une très-petite épaisseur, et tel qu’une feuille de tôle , de papier, etc. La même considération s’applique à une ligne droite dont l’épaisseur et la largeur sont très-petites par rapport à sa longueur.

83. Centre de gravité des corps symétriques . — On dit qu’un corps homogène est symétrique par rapport à un plan , lorsque ce dernier coupe en deux parties égales toutes les perpendiculaires qui lui sont abaissées et qui sont terminées à deux extrémités opposées du corps. Il est symétrique par rapport à une droite , quand il a deux plans de symétrie passant par cette droite. Une surface plane est symétrique par rapport à une droite , lorsque celle-ci coupe également les perpendiculaires terminées de part et d’autre au contour de la surface. Dans tous les cas , le centre de gravité de ces corps ou surfaces est situé dans leur plan ou dans leur droits de symétrie. Considérons , par exemple , une courbe ayant AB ( fig- 50 ) pour droite de symétrie, et pour laquelle on a déterminé les centres de gravité & et &' des moitiés supérieure et inférieure. Ces deux moitiés , étant rabattues l’une sur l’autre, leurs centres de gravité G et G' devront coïncider : ce qui revient à dire , qu’avant le rabattement ces mêmes centres étaient situés sur une droite GG' perpendiculaire à AB et à des distances égales de cet axe. Cela posé, si

2 me PARTIE. I

22 deuxième partie.

l’on concentre cas deux moitiés à leurs centres respectifs G et G', GG' n'est pins qu’une droite terminée par deux points matériels dont le centre de gravité est évidemment à son milieu 0 ou sur AB.-Un raisonnement analogue pourrait être appliqué à un corps à trois dimensions symétriques par rapport à un plan. Le centre de gravité d’une surface qui a deux axes de symétrie, est à l’intersection de ces deux axes. Le grand axe et le petit axe d’une ellipse sont des axes de symétrie qui se coupent au centre de 1 ellipse. Ce qui indique pourquoi ce centre est aussi celui de gravité de 1 aire plane contenue dans cette courbe. —Le rectangle a aussi son centre de gravité à l’intersection de ses diagonales, parce que cette intersection coïncide avec l’intersection des perpendiculaires qui passent par les milieux des côtés opposés. Lorsqu’un volume a une droite de symétrie ou deux plans de symétrie, nous avons dit que son centre de gravité devait se trouver sur cette droite. Le cylindre droit à base elliptique a deux plans de symétrie dé-

terminés par les grands et petits axes de ses deux bases opposées. Son centre de gravité se trouve donc sur la droite qui joint leur centre G (fig. 51 ) , et il est évident qu’il sera en même temps au milieu de cette droite.

D’autres corps sont partagés symétriquement d’une infinité de manières» Telle est la sphère dont tous les plans de symétrie passent par le centre ; c’est pourquoi ce dernier en est aussi le centre de gravité.

34. Centre de gravité des corps réguliers non homogènes . — Si le corps régulier n’est pas homogène , on le regarde d’abord comme tel , et le centre de gravité O ( fig. 52 ) , obtenu dans cette hypothèse , donne lieu à une première approximation. On supposera ensuite que le poids du corps , suppose homogène , y soit concentré ; après quoi , retranchant ce poids p du poids total P , on observera que la différence P — p est le reste du poids négligé jusqu’alors à l’égard de la partie plus pesante. Soit 0' le centre de gravité du volume de cette dernière , il faudra partager la droite 00' par un point K , tel que l’on ait

pXOK = (P — p) KO' ,

et le point K sera le centre de gravité réel.

35. Centre de gravité des corps coupés par tranches parallèles. ■ — Quand on peut partager un corps en une suite de tranches parallèles et connaître le centre de gravité de chacune d’elles , le centre de gravité de tout le corps est sur la ligne qui contient les centres de toutes les tranches. En effet, composez deux de ces tranches entre elles , puis leur résultante avec une troisième et ainsi de suite, et vous reconnaîtrez que le centre de gravité total doit appartenir à cette ligne.

56. Parallélogramme , parallélépipède cube. — Soit, par exemple , le parallélogramme ABCD (fig. 53) , décomposé en une suite de tranches trèsétroites et parallèles au côté AB , le centre de gravité de chacune d’elles étant à leur milieu, et tous ces milieux étant situés sur la droite EF qui

nasse par les milieux des côtés opposés ÂB et DC, i! en résulte que le centre de gravité du parallélogramme doit se trouver sur cette droite , et comme on peut voir aussi de la même manière qu’il est contenu sur la droite HI qui joint les milieux des deux autres côtés opposés AD et BC, il est donc à leur intersection 0. — Un raisonnement analogue conduirait éprouver que le centre de gravité d’un cube ou d’un paraliélipipède quelconque est à l'intersection des trois droites qui passent respectivement par le centre de gravité de deux faces opposées.

87. Triangle . — Le triangle ABC (fig. 54) étant partagé en tranches trèsminces et parallèles au côté AC , on reconnaît comme précédemment que les centres de ces tranches sont tous compris sur la ligne BD qui va du sommet B au milieu D du côté AC, et qu’ainsi cette droite doit contenir le centre de gravité du triangle. Ce même centre, par une raison analogue, doit également appartenir aux deux droites qui joignent chacun des deux autres sommets A et C aux milieux F et E deg côtés opposés BC et AB. Donc enfin le centre de gravité d’un triangle esté l’intersection commune des trois droites menées de chaque sommet au milieu du côté opposé. Il est aussi celui du système de trois boules égales placées aux sommets du même triangle; car le centre particulier de gravité de deux boules placées aux extrémités de la droite AC est sur le milieu D de cette droite, et ce dernier point sera tel qu’on pourra y concentrer les deux boules. Joignons le point D à la troisième boule B par une droite BD : celle-ci contiendra évidemment le centre de gravité des trois boules ; et comme on reconnaîtrait semblablement que ce même centre appartient encore aux droites CE et AF, on voit qu’il coïncide avec celui du triangle. Remarquons que , puisqu’il y a deux boules à l’extrémité D de la droite BD, et une seule au sommet B, le centre de gravité G de toutes trois partagera la ligne BD en deux parties . telles que

DG= f BG = | AB.

Donc enfin le centre de gravité d’un triangle est situé sur la droite qui passe par le milieu de sa base et par le sommet opposé; il se trouve sur le premier tiers de cette droite à partir de la base. On voit encore que sa hauteur audessus de la base est le tiers de la hauteur du sommet opposé.

s>8. Quadrilatère quelconque. — La règle suivante a pour but de trouver le centre de gravité d’un quadrilatère quelconque ABDC (fig. Sa). Menez les deux diagonales AD et BC qui se coupent en F ; portez la partie la plus courte AF de l’une d’elles AD sur elle-même deD en II, et après avoir joint le point K au milieu E de l’autre diagonale BC, divisez l’intervalle EH en trois parties. Le centre de gravité G du quadrilatère sera au premier tiers de cet invervalle à partir du milieu de la deuxième diagonale.

9 • Pyramide triangulaire . — Une suite de plans parallèles à la base ABC de la pyramide triangulaire SABC (fig. 55 bis) donne lieu à des tranches triangulaires parfaitement semblables à celte base, et tous leurs centres de gravité seront sur la droite SG qui va du sommet S au centre de gravité G'

24 deuxième partie.

de la face ABC, parce qu’ils sont les uns et les autres semblablement placés. Ainsi la droite SG' doit contenir le centre de gravité de la pyramide. Comme il y a quatre sommets et quatre bases dans la pyramide triangulaire et que celle-ci peut se décomposer en tranches parallèles à toutes ces bases, on voit que son centre de gravité est à l’intersection des quatre droites qui joignent chaque sommet au centre de gravité delà hase opposée. Ce centre de gravité est aussi celui de quatre boules égales respectivement placées au sommet de la pyramide. Car en reconnaît sans peine que le centre de gravité des trois premières A, B, C coïncide avec celui du triangle ABC , et que celui cle toutes quatre appartient à la droite qui joint le sommet S au centre de gravité oe la base ABC. Maintenant que nous savons que le centre de gravité de la pyramide est précisément celui des quatre boules égalés, nous pouvons en trouver la position sur SG' en observant que trois d entre ebes peuvent etre considérées comme concentrées en G et que la quatrième est seule située sur l’autre extrémité S de la droite. Ainsi le point G doit partager la droite SG' en parties réciproquement proportionnelles aux poids que ses deux bouts supportent et qui sont triples Fun de l'autre ; donc , on a GG' — | SG, ou GG' = \ S 'G' ;

d’où il résulte que le centre de gravité d’une pyramide triangulaire est sur la droite qui joint un sommet au centre de gravité de la hase opposée et au premier quart de cette droite à partir de la base. Il est encore évident que la hauteur de ce même centre de gravité au-dessus de la base est le quart de la hauteur du sommet opposé.

40. Pyramide à base quelconque. — La proposition précédente est également applicable à une pyramide dont la base est un polygone (fig. 88). Non-seulement son centre de gravité est sur la droite qui joint le centre de gravité de la base au sommet, mais encore on peut décomposer la base eu une suite de triangles qui serviront eux-mêmes de bases à pareil nombre de pyramides triangulaires dont la somme forme la pyramide totale. Ces pyramides ayant pour sommet commun celui de la pyramide donnée , on voit que tous leurs centres de gravité, ainsi que celui de cette dernière, seront situés sur un plan parallèle à celui de 3a base et élevés du quart de la hauteur de celle du sommet. Donc, enfin, le centre de gravité cherché est au premier quart à partir de la base sur la droite qui joint le centre de gravité de la hase an sommet opposé. De la pyramide on passe au cène à base quelconque. Pour avoir le centre de gravité de celui-ci il snfiit de joindre le centre de gravité de la base au sommet par une droite et de déterminer, à partir de la base, le premier quart de cette droite.

41. Polyèdre quelconque. — Puisque tout polyèdre se décompose en pyramides triangulaires et qu’en vertu du théorème des moments, le moment du poids ou du volume de ce polyèdre, par rapport à un pian, est égal à la somme du moment des poids ou des volumes de ces pyramides, il est tou-

jours possible de trouver la position du centre de gravité de ce polyèdre par rapport à trois pians quelconques.

42. Corps de forme quelconque. — Lorsqu’un corps est terminé par des surfaces courbes, ou une aire plane par une courbe quelconque, il faut décomposer la corps ou la surface en petites parties de forme analogue aux précédentes, calculer chaque moment partiel par rapport à un plan ou aune droite et diviser la somme de ces moments par le volume total ou par la surface que l’on considère. S’il s’agit, par exemple, d’obtenir le centre de gravité de l’aire plane quelconque CaèBdc (%. 57), tirons dans son plan une droite quelconque AB , et partageons cette aire en une suite de tranches très-minces et perpendiculaires à cette droite, la tranche abcd pourra être regardée comme un rectangle dont le centre de gravité g est à son milieu. Son moment partiel sera égal à abdo X 9h g* étant la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce centre de gravité, ou une moyenne entre les distances af et c/des extrémités de la tranche à la droite AB. Prenant ensuite la somme de tous les moments partiels trouvés de la même manière, on la divisera par Faire totale mesurée d’après la méthode de Thomas Simpson, et le quotient donnera la distance du centre de gravité cherché à la droite AB. On recommencera l’opération par rapport à une autre droite, pour que la position de ce centre de gravité soit complètement arrète'e.

48. Utilité du centre de gravité pour la mesure de certains volumes. — La considération du centre de gravité est très utile pour la cubature de certains volumes, fort difficiles à évaluer par les méthodes ordinaires. Tels sont la vis, l’échiffre d’un escalier. Telle est encore la surface de révolution engendrée par le mouvement d’une courbe plane CDE (fîg. 38) autour d’une droite AB situé dans son plan. Supposez cette courbe découpée en petites parties rectangulaires dont les côtés soient perpendiculaires et parallèles à l’axe. Chaque rectangle engendrera autour de l’axe un petit anneau partiel, et la somme de tous ces anneaux réunis donnera le volume total de la surface de la révolution. Soit r la distance depuis l’axe jusqu’au centre d’un petit rectangle quelconque. On sait que le volume d’un anneau dont le profil est un rectangle a pour mesure Faire a de ce rectangle multipliée par la circonférence moyenne de l’anneau, laquelle est ici 2,-r (k- est le rapport de la circonférence au diamètre) : car la base circulaire d’un tel anneau étant développée en ligne droite forme un trapèze dont la longueur moyenne est précisément celle de la circonférence moyenne 2 k r développée. Donc, enfin, le volume de l’anneau élémentaire engendré par le rectangle que l’on considère est exprimé par le produit 2 nr X a , ou 2 k- X ar • Ees anneaux qu’engendrent d’autres parties rectangulaires a, a",.... ont de même pour expression de leurs volumes respectifs, 2 k- X «' r\ 2®- X Partant le

volume total de la surface de la révolution sera égal à 2 k- (ar -f- aV' -J- a'r”

Or, le produit ra étant le moment d’un élément plan par rapport à l’axe, la somme ar-i- a'r'-\-a"r'' sera égale au moment de l’aire totale Ade la courbe, ou au produit de cette aire et de la distance R de son centre de gravité à Taxe. Par conséquent le volume total devient 2 ît R X X ; ce qui indique que le volume d’une surface de révolution est donné parle produit de Paire de sa courbe génératrice et delà circonférence qu’a décrite le centre de gravité de celte aire. Si, au lieu d’une circonférence, le centre de gravité n’en décrivait que le dixième , le quinzième, etc. , le volume engendré serait réduit au dixième , au quinziéme , de celui qui aurait lieu pour une circonférence complète; mais ce volume partiel n’en serait pâs moins donné par le produit de Paire totale de la courbe et du chemin qu’a parcouru son centre de gravité. — Cette dernière remarque s’applique aux corps à profil constant, aux échiffres d’escalier, toutes les fois que ce profil demeure perpendiculaire à une certaine ligne droite ou courbe dans foutes ces positions. Car, chaque portion du corps compris entre deux profils voisins est une véritable surface de révolution qui a le profil pour aire génératrice et dont l’axe est à l’intersection des deux profils, en sorte que ce volume partiel sera donne par le produit du profil et du petit chemin qu’a décrit son centre de gravité dans l’intervalle des deux positions. D’où l’on voit que le volume total se compose du produit de Paire du profil multiplié par la somme de

tous les petits chemins ou par le chemin total que le centre de gravité de 1 aire a parcouru. 1 eut-on avoir le volume d’un échiffre d’escalier contourné en hélice? on calculera Paire de la section perpendiculaire à l’hélice moyenne (fig. 89), c’est-à-dire, à l'hélice engendrée par le centre de gravité de la section verticale et rectangulaire de Péchiffre. Puis on multipliera 1 aire de la section par la longueur de cette hélice, et ce produit sera le volume cherché. — Les déblais d'un fossé en excavation sont ordinairement des volumes dont les profils sont constants. On les évalue en multipliant Paire du profil constant par le chemin de son centre de gravité.

MOUVEMENT DE TRANSPORT PARALLELE DUS CORPS OU d’üS SYSTÈME DE CORPS.

U. Force totale de l’inertie d’un corps ou d’un système de corps dans un mouvement de transport parallèle. — Le mouvement d’un corps ou d’un système de corps est dit de transport parallèle, lorsque tousses points ou toutes ses parties décrivent simultanément et dans un très-petit temps des chemins égaux et parallèles. Appelons ®ïe degré de vitesse commun imprimé à toutes les parties par les forces motrices pendant le temps t. La force d’inertie/ de

l’une d’elles dont îe poids est p sera mesurée par =- X Quant à la force

d’inertie f d’une autre partie du poids p , elle sera --X j attendu

que le degré de vitesse imprimé à cette dernière est le même que celui qui a été imprimé à la première pendant le temps t. Déplus, comme chaque force d’inertie partielle est située dans la direction du mouvement propre de chaque partie et que tous ces mouvements sont eux-mêmes parallèles, on voit que toutes les forces d’inertie partielles /, seront aussi parallèles, et que leur résultante, c’est-à-dire la force d’inertie totale F du corps ou du système, sera égale à la somme f f oa à

qy t p | - nj j - ^ \

1 ' — ; leurs poids p p' p‘ . . . . le poids total

P , et — la masse totale M. Donc , enfin , on aura

Pteste à trouver le point d’application de la force F. Or, il faut remarquer que les forces d’inertie partielles/, f, f",.... seront proportionnelles aux poids p, p\p' r ,.... des parties auxquelles elles sont appliquées, et qu’ainsi le point d’application de la résultante F devra se confondre avec le centre d’application des poids p, p', p",.... c’est-à-dire avec le centre de gravité du poids entier du système. Donc, la force totale d’inertie d’un corps ou d un système de corps mus d’un mouvement parallèle se mesure par la masse entière du corps que l’on multiplie par le rapport du petit degré de vitesse imprimé et du petit temps pendant lequel il a été communiqué. Enfin, cette force totale d’inertie a son point d’application au centre même de gravite du corps ou du système de corps. C’est par ce motif qu’Euler avait aussi nommé le centre de gravité, centre d’inertie. Toutefois ces deux points ne coïneidentque quand les mouvementssont parallèles, etcette coïncidence cesse pour toutes les autres circonstances de mouvement.

Ao. Quantité totale de mouvement d’un corps. — En désignant par Y la vitesse du mouvement parallèle d’un corps supposé uniforme dans un instant quelconque ; on sait que la quantité de mouvement d’une de ses parties de

poids p est - XV. Pour uneautre partie de poidsp', cette quantité de mouve-

ment serait —XV, et comme toutes ces quantités de mouvement sont parallèles , leur somme donnera la quantité de mouvement totale du corps, laquelle aura pour expression ^ ~ P ~ r P TL.'.:..' V.j V , ou M X v - Ainsi, la quantité de mouvement totale d’un corps mû parallèlement à lui-

même est égal à la niasse de ce corps multipliée par la vitesse commune à tous ses points.

48. Mouvement d’un corps lorsque la force motrice est appliquée à son centre de gravité. — Lorsqu’un certain degré de vitesse v est appliqué à tous Ses points d’un corps pendant un très-petit temps t, on peut calculer (2 e partie, 44) la force d’inertie totale F de ce corps, puisque, M étant la niasse de ce dernier, on a

Nous savons en outre que celte force d’inertie est appliquée selon la direction commune du mouvement, au centre de gravité du corps. Par conséquent si l’on suppose qu’à l’instant où le degré v de vitesse va naître, on applique en sens contraire du mouvement et au centre de gravité une force précisément égale à F, il est évident que cette force introduite arrêtera le mouvement. Cela posé, si l’on applique au centre de gravité d’un corps une force motrice X (fig. 60), elle lui imprimera un mouvement de transport parallèle. Car cette force X sera égale et directement contraire à la force d’inertie totale E quelle fait naître. Autant il y aura de parties du corps, autant il y aura de petites forces partielles f,f, f', — dans lesquelles la force F se subdivisera et qui toutes seront proportionnelles aux poids de ces parties.

Ainsi , f = A. F ,f~ -g F. Les degrés de vitesse que chacune d’elles im-

primeront à leurs parties respectives seront

fy,t; rx<"

m ’ ni ’ m"

ou sim-

plement

, en remplaçant f. f’ , f' r , . . . . par leurs valeurs

. et comme

FX*

est précisément le degré de vitesse

qu’imprime

au centre de gravité la force F ou la force X qui lui est égale, on reconnaîtra que pour qu’un corps reçoive un mouvement de transport parallèle , il faut que la force motrice ou la résultante des forces motrices qui lui sont appliquées passe par son centre de gravité.

47. Mouvement d’un corps lorsque la force motrice ne passe plus par le centre de gravité. — Si la force motrice X était dirigée suivant une droite AB (fig. 61) en dehors du centre de gravité G du corps, on peut prévoir que le mouvement-ne sera plus de transport. En effet, si ce mouvement était parallèle dans tous les points , il naîtrait des forces d’inertie partielles dont la résultante passerait par le centre de gravité G-, et si on remplace cette dernière par une force F contraire au mouvement , cette force F appliquée en G devrait l’arrêter et produire l’équilibre ; mais il est impossible que deux forces telles que F et X appliquées aux extrémités d’une droite ou barre AG, puissent s’entre-détruire à moins qu’elles n’exercent leur action dans la di-

reetion de la barre. En général, si des forces agissent d'une manière quelconque sur un corps libre , ce dernier reçoit un mouvement compliqué d’un mouvement de translation au centre de gravité, et d’un mouvement relatif ou de rotation autour de ce centre. Les géomètres ont de plus trouvé que, quel que fût le mode d’action des forces, le mouvement du centre de gravité était le même que si toutes les forces y étaient transportées parallèlement. Ainsi, d’après la composition de ces forces, on peut toujours trouver le mouvement du centre de gravité, et c’est surtout ce qu’il importe de connaître. Le centre de gravité de la bombe qui décrit une trajectoire dans l’air, a une vitesse bien autrement rapide que la vitesse relative des autres points autour de ce centre, en sorte que ce mouvement de rotation n’exeree qu’une très-faible influence. La loi du mouvement du centre de gravité est, d'après ce qui précède, facile à trouver. Car si on appelle X la résultante de toutes les forces motrices transportées à ce centre parallèlement à ellesmêmes, F la force d’inertie totale, on a X = F. D'ailleurs

F=1IX * (2' partie, 44);

d'où l’on tire

xx t

v sera le petit degré de vitesse imprimée à un instant quelconque pendant le très-petit temps t. Enfin, de ce petit degré de vitesse on passe aux vitesses acquises au bout d’un temps quelconque et de là aux espaces décrits.

48. Force vive totale imprimée à un corps mû parallèlement à lui-même. — Ce que nous avons dit précédemment s’applique encore à la force vive totale que possède un corps lorsque toutes ses parties ont un mouvement de transport parallèle. En effet , V étant la vitesse générale , ^y(Y~sera la force vive

de ia partie dont le poids est p,— X Y 2 celle de la partie de poidsp',etc.;de

sorte que la somme de toutes ces forces vives , c’est-à-dire la force vive

totale, sera ! ? — ! ’ ° U Ce dernier résultat prouve

qu on a eu raison dans l’estimation de la force vive de la voiture du roulier, de lévaluer d’après la masse delà voitureen bloc, au lieude rechercher séparément les forces vives des roues, du corps de la voiture, etc.

49. Conclusion relative au mouvement de transport. — Les considérations que nous venons de développer font voir que dans les mouvements de transport d un corps ou d’un système de corps, les calculs pourront être simplifiés, puisqu’il est permis de faire abstraction de la forme extérieure des corps , de concentrer leur masse totale autour du centre de gravité, et de raisonner sur ce point comme sur la masse totale.

2 me PARTIE,

so

TRAVAIL BS IA FESASTEt» BASS LE MOCVE3IEST DUS CORPS OB d’l'X STSTtSE t( CORPS. DIVERS EQUILIBRES DE CES CORPS.

50. Théorème général sur le travail de la pesanteur. — Jusqu’ici nous avons justifié la concentration de la masse d’un corps autour de son centre de gravité, seulement lorsqu’il s’agit d’un mouvement de transport parallèle. Ajoutons que cette concentration devient , en général , impossible lorsque toutes les parties de ce corps reçoivent des mouvements différents les uns des autres. En effet , les forces d’inertie partielles ne sont plus parallèles entre elles, et leur résultante, c’est-à-dire la force d’inertie totale, ne peut plus être égale à leur somme. Mais , si dans ces mouvements divers on veut

évaluer le travail de la pesanteur pendant un temps quelconque, les actions exercées par cette force sur toutes les parties du corps ne cessent pas d’être parallèles et verticales, et, comme leur résultante, et le poids total, passe constamment par le centre de gravité , on raisonnera sur le mouvement de ce point comme si la masse y était concentrée, en faisant abstraction du mouvement ce rotation ae toutes les autres parties du corps 5 puis on évaluera la quantité de travail dépensée par la pesanteur d’après le produit du poids total et du chemin parcouru par le centre de gravité dans le sens vertical. Si, par exemple , le centre de gravité d'un corps animé d’un mouvement quelconque va de la position G à la position G , (fig. 62) en décrivant une courbe quelconque, on multipliera le poids P de ce corps par la hauteur verticale G R dont aura monté le centre de gravité, afin d’obtenir le

travail dépensé par la pesanteur dans l’intervalle des deux positions. Ce theoreme, à i’égard du travail de la pesanteur, loin d’être particulier au mouvement d’un seul corps, s’étend à l’ensemble des pièces liées entre elles, et telles que les roues, les barres, les leviers , etc. , dont une machine est pour l’ordinaire composée. Si vous calculez la somme des quantités de travail depensee sur chaque pièce parla pesanteur, vous reconnaîtrez que cette somme est la même que la quantité de travail dépensée sur le centre générai de gravité de tout le système. En général, soient p, p ,, p ", .... !es poids de diverses pièces liées entre elles ; h, h', h ",.... les hauteurs dont eurs centres de gravité particuliers montent ou descendent dans le passage une position a une autre, en vertu de leurs mouvements respectifs d’ailleurs quelconques ; P la somme de tous ees points , et * la hauteur dont le centre de gravité généra! est monté ou descendu. On aura

Bs = pk-L- p’v + P "h”

Dan. celte égaillé, il faudra ajouter entre en, tou. le. traraor dépensé, par la pesanteur snr le. centre, de grarilé qui „„ L.en-

dan , etre.rancherau contraire de cette somme le, quantité, de tra.ail re.attves au. centre, de gravité qui ,e .„„t abais.és. Cela résulte de ce prin-

EQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. Si

ripe, déduit de la résultante des forces parallèles (2' partie , 2o) , que la quantité de travail de leur résultante est égale à la somme des quantités de travail des composantes qui agissent dans un sens, diminuée de la somme des quantités de travail de celles qui agissent dans le sens opposé. On peut en voir la démonstration directe , en rapportant , dans chaque position , à un même plan de niveau AB (fig. 6S), des centres de gravité des différents

corps, par des perpendiculaires abaissées sur ce plan. Soient H, H', H",

les distances perpendiculaires à AB des centres de gravité des poids T , p' . p " ,.... lors de la première position du système , P la somme de ces poids , Z la distance au même point pour la même position du centre de gravité général, on aura, en vertu du théorème des moments,

PZ = pH + p'W +p" H"-f ....; pour la deuxième position du système, on aurait encore

Les deux égalités étant retranchées terme à terme l’une de l’autre , leur différence donnera

En supposant que le plan de niveau AB demeure inférieur à tous les points partiels, on remarquera que Z, — Z est la hauteur z dont le centre de gravité général a monté ou descendu, selon que Z, est plus grand ou plus petit que Z ; qu’il en est de même des différences — H, H ' — H',.... lesquelles sont égales aux quantités k , h’, h",.... et sont positives ou négatives selon que le centre de gravité des points particuliers p, p p", ont

monté ou descendu. De plus , les quantités P (Z, — Z), p (H, — H ),p (H, — HO ,.... sont les produits des forces par les chemins parcourus dans leurs directions propres , c’est-à-dire les quantités de travail partielles dues à la pesanteur. Ainsi , le travail total dû à la pesanteur sur un système de corps pesants en mouvement , est égal à la somme des travaux des poids qui montent, diminuée de celle des travaux des poids qui descendent .

51. Equilibre des corps pesants. — Si le système des corps pesants est dans une position telle qu’en passant à une position voisine, le centre de gravité général demeure sur une même ligne de niveau , ou que l’on ait Z, = Z , dans ee cas la quantité de travail P (Z, — Z) devient nulle et l’on a

ph -t- ph' 4- prrh’’- 1- .... — O .

Donc, dans une semblable position, la quantité de travail à dépenser pour en déplacer le corps est nulle , les quantités de travail partielles de la pesanteur sur chaque corps s’entre-détruisent, et il y a équilibre dans le système. îede est la condition d’équilibre des corps pesants qui sont seulement soumis à la gravité. Toutefois, cet équilibre se présente sous divers étals ,

selon la nature des positions du système. Si, après avoir dérangé un peu l’ensemble du système des pièces, le centre de gravité générai descend, on conçoit qu’il tendra à descendre de plus en plus et qu il faudrait dépenser une certaine quantité de travail pour le ramener à sa position primitive. Un tel équilibre est dit instable , parce que le système tend évidemment à s’en écarter. Au contraire, si , en déplaçant un peu l’ensemble des pièces , le centre de gravité général s’est élevé, c’est une preuve que ce déplacement a exigé une certaine quantité de travail que la pesanteur tend à restituer; l’équilibre est alors stable; parce que le système est sollicité à y revenir, quand on l’abandonne à lui-même. Enfin si, après un dérangement analogue au précédent, le centre de gravité générai ne monte ni ne descend, la quantité de travail dépensée est toujours nulle ; le système n’a aucune tendance ni à revenir à sa première position, ni à s'en écarter. En un mot l’équilibre est indifférent.

82. Exemples des diverses espèces d’équilibre. — Considérons , par exemple, une tige tournant autour d’un point fixe A (fig. 64) et supportant à sa partie inférieure un corps symétrique par rapport à la ligne milieu qui va du centre de rotation au centre de gravité général G. Ii est évident qu’il y aura équilibre, lorsque la tige occupera la position verticale AG. Je dis de plus, que l’équilibre est ici stable; car, en éloignant le système de la position AG, le centre de gravité monte de G en G' en décrivant l’arc GG', et il a fallu dans ce déplacement dépenser une quantité de travail que la pesanteur va restituer aussitôt qu’on abandonnera la tige à elle-même. A la vérité elle fera une suite d’oscillations autour de AG, mais leur amplitude diminuera par suite de la tendance de la ligne à occuper sa position primitive AG. Supposer la tige dans une situation opposée à laprécédente (fig. 68) : si elle est encore parfaitement verticale , la résultante de toutes les forces de pesanteur ou du poids total passe par le point d’appui ■ il n’y a point de raison pour que le corps s’incline plus à droite qu’à gauche, attendu sa symétrie par rapport à la ligne AG. Toutefois cet équilibre est instable; car, pour peu que le système soit dérangé , le centre de gravité descend de G en G, et il faudrait ensuite une certaine quantité de travail pour le ramener à la position AG.

Quand un cône (fig. 66) est posé sur sa base et qu’on vient à l’incliner, le centre de gravité de ce cône décrit un arc qui l’élève ; partant, ce corps, abandonné à lui-même , revient à sa première position. Si , au contraire, on appuie le cône sur sa pointe rationnellement, il y a encore équilibre comme lorsque ce corps reposait sur sa base; mais le plus petit mouvement suffit pour faire descendre le centre de gravité. La première position du cône correspond à l’état d’équilibre stable , et la deuxième à celui d’équilibre instable.

Un cylindre edipticjue piacé sur un plan de niveau est en équilibre stabîs

ou îion stable, selon que le grand axe ou le petit axe de sa base elliptique est parallèle à ce plan (fig. 67). Une boule sphérique qui se meut sur un plan de niveau offre l’exemple d’un équilibre indifférent. Le centre de gravité ou le centre de figure de cette boule demeure à la même hauteur audessus du plan , et la quantité de travail employée à le déplacer à chaque instant est toujours nulle, de sorte que le corps dans toutes ses positions a plus de tendance à s’arrêter qu’à s’éloigner. Un cylindre parfaitement circulaire est encore dans ce cas.

Les ponts-levis ne sont autre chose qu’un système de pièces à l’état d’équilibre indifférent , ou qui demeure en équilibre pour toutes les positions possibles. Pour que cette condition soit remplie , il suffit de s’assurer que le centre de gravité général de la bascule et du tablier, dans toutes les positions possibles , à la liaison de ces corps est à la même hauteur ou parcourt un même plan de niveau.

Les chariots , les voitures ne doivent, à proprement parler, exiger aucune quantité de travail dans leur transport horizontal , et par conséquent leur centre de gravité total ne doit ni monter ni descendre pendant leur mouvement.

Si certaines roues de moulin tantôt se ralentissent et tantôt s’accélèrent, c’est qu’elles ne sont pas cintrées, ou que leur centre de gravité G est en dehors du centre A des tourillons (fig. 68 ). Cette roue devient analogue au pendule qui offre alternativement les caractères de l’équilibre stable et non stable : d’abord l’équilibre est niable lorsque le centre de gravité delà roue occupe la position la plus basse ; puis ce centre de gravité monte en s écartant de la verticale AB, et la pesanteur pendant ce mouvement ascendant diminue sa vitesse par petits degrés successifs ; arrivé nu point le plus haut , le centre de gravité G prend de nouveau une position d’équilibre qui est instable , parce qu’au delà la pesanteur accélère la vitesse jusqu’au point le plus bas que nous avons pris pour point de départ , et dans lequel la vitesse redevient la même.

La balance consiste principalement dans un fléau à bras égaux AC et CB ( fig. 69 ), armé de couteaux dont l’arète D repose clans l’œil d une chape double suspendue en E. Les deux extrémités du fléau portent deux bassins extrêmement égaux qui doivent contenir, l’un le corps à peser, et l'autre les poids étalons. Une balance peut être sourde , folle , ou paresseuse , selon qu’elle tend à revenir vers sa position horizontale ou à s’en écarter, ou qu’elle demeure en équilibre ou en repos sous toutes sortes de positions. Prenez en particulier le moment du poids de chaque pièce dont la balance se compose par rapport à un pian de niveau ÀB , et divisez la somme de tous ces moments par le poids total de ia balance. Le quotient vous donnera la hauteur du centre de gravité G au-dessus de ce plan. Sa position sera déterminée, attendu que ce centre doit être compris dans l’axe de symétrie

CF du système. Lorsque le centre de gravité sera au-dessous du point d appui D des couteaux, la balance sera sourde, parce que l’équilibre est stable ; s ii est au-dessus , la balance est folle et l’équilibre instable ; enfin , 1 équilibre est indifférent et la balance paresseuse, lorsque le centre de gravité delà balance et le point d’appui des couteaux du fléau sur la cbape se confondent. Les bonnes balances sont celles dont le centre de gravité est placé au-dessous du point d’appui sans en être ni trop près ni trop loin.

ÉQUILIBRE ET M0EVE21E.Tr d’e.T CORPS SOLIDE LIBRE.

53. Équilibre d’un corps libre. — Quand des forces appliquées à un corps se font équilibre sur ce corps , ou quelles ne changent point l’état de son mouvement, ou quand elles s’entre-détruisent, il est nécessaire que la somme des quantités de travail des forces qui entraînent le corps dans un sens soit égale à la somme des quantités de travail des forces qui l’entraînent en sens contraire. Pour se rendre raison de ce principe, concevons quel’on ait composé les premières forces qui agissent d’un côté en une seule , et qu’on ait fait de même à l’égard de celles qui agissent de l'autre côté: le système des forces sera ainsi réduit à deux forces uniques qui devront se faire équilibre; et cet équilibre aura lieu quand les deux forces seront égales et directement opposées. Mais lorsque deux forces sont égales et contraires, la quantité de travail de l’une est égaie à la quantité de travail de l’autre , et si d’ailleurs on admet que la quantité de travail de chacune d’elles est égale à la somme des quantités de travail des forces données dont elle est composée, on reconnaîtra ainsi la condition d’équilibre que nous avons énoncée ci -dessus ( ! ).

(1) "Voici une démonstration plus rigoureuse pour les lecteurs qui ne se coulenteraient pas de celle du texte. Soient P,Q,R, S ,....( Sg. -0 ) des forces appliquées à un corps solide de forme quelconque. Prenons dans l’intérieur de ce corps trois points quelconques a , b, C, que nous regarderons comme les sommets d’un triangle invariable aie , et décomposons chaque force en trois autres selon les droites Aa, Al, et Ao, dirigées du point d’application^ delà force à chaque sommet. De cette manière nous obtiendrons trois groupes de composantes qui concourront respectivement aux points a , b , c , et qui auront pour résultantes, le premier de la force d? , le deuxième la force X , et le troisième la force Y. L’équilibre est ainsi réduit à celui des trois forces X , Y, Z, et il ne sera pas troublé si l’on suppose que les côtés al , ac , le, deviennent fixes tour à tour. Dans l’hypothèse du côté fixe al, les deux forces Z et X sont détruites par la résistance de ce côté, et alla troisième force Y n’était pas situéedansle plan aie, elle le ferait tourner autour de al On démontrerait semblablement que les forces X et Z doivent être comprises dans ce m -me plan aie

54. Équilibre et mouvement des machines. — Considérons une machine composée de roues qui sont soutenues par des appuis et qui se communiquent le mouvement, soit par des dents , soit par des chaînes ou par des courroies. Imaginons qu’une force ou puissance fasse tourner la première roue , celle-ci éprouvera une réaction de la part de la deuxième. Cette réaction à son tour devient pour la deuxième une puissance qui tend à la faire marcher ; mais cette deuxième éprouve sur les appuis qui la lient à la troisième, une réaction qui est une véritable résistance à son propre mouvement , et qui devient puissance pour cette troisième roue. Remplaçons maintenant les appuis de deux pièces voisines par les efforts de réaction qui y sont exercés : chaque pièce deviendra un corps libre, et pour qu’il y ait équilibre autour de ce corps , il faudra que la quantité de travail des forces qui tendent à faire marcher le corps dans un sens , soit égale à celle des forces qui le font marcher en sens contraire. A l’égard d’une pièce particulière , cela revient à dire que le travail de la puissance qui la fait mouvoir , est égal à celui de la résistance opposée par la pièce suivante ; en raisonnant de proche en proche, depuis la pièce qui reçoit Faction du moteur jusqu’à celle qui fait l’ouvrage et qu’on nomme outil, on reconnaît que la quantité de travail de la puissance équivaut à celle de l’outil. En un mot, quand des forces travaillent à l’aide de machines , ou par l’intermédiaire de corps sur d’autres corps, il faudra distinguer les puissances des résistances, et ou trouvera que le travail des unes est toujours égal à celui des autres. .Si les corps se pressent, s’étendent ou se frottent, les nouvelles résistances qui résultent de ces actions seront comprises parmi les résistances, bien que ces actions soient inutiles au travail que l’on veut obtenir. L’équilibre peut avoir lieu, soit que le corps reste en repos ou qu’il soit en mouvement. Dans le premier cas , les quantités de travail sont celles qui seraient produites par un petit dérangement du système. Dans le deuxième cas, les

comme laforce Y. Maintenant, pour que ces trois forces se fassent équilibre dans ceplan , il faut que l’une d’elles soit directement e'gale et opposée à la résultante des deux autres, ou que la résultante de toutes trois soit nulle , condition qui entraîne celle que les trois forces concourent en un même point. Si !a résultante des trois forces X, Y , Z est zéro, la somme de leur quantité de travail est nulle. La quantité de travail de chacune d’elles est d’ailleurs égale à la somme des quantités de travail d’un même groupe , et la chose est évidente puisque ces composantes ont un même point d’application. Ainsi, la somme des quantités de travail des forces X , Y , Z peut être remplacée par la somme des quantités de travail de toutes les forces groupées autour de a , b et c. Mais ces dernières, ajoutées trois par trois, donnent la quantité de travail de chacune des forces proposées, P, Q, R , S. En sorte que la somme des quantités de travail des forces X , Y , Z n’est autre chose que la quantité de travail des forces P , Q, R, S. D’où l’on voit que dans l’équilibre

d un corps solide, la quantité totale de travail des forces qui le sollicitent est éqale à zéro.

corps ne peuvent avoir qa’un mouvement uniforme, leur inertie n’étant point alors mise en jeu; les quantités de travail sont mesurées uniquement d’après le mouvement de chaque point d’application des forees, sans que l’inertie entre pour rien dans la comparaison de ees quantités. On conçoit, par exemple, que quand une roue tourne régulièrement, 1 inertie est tout à fait nuiie. Il n’en est plus de même quand la vitesse varie ou que le mouvement ne demeure pas constant. L’inertie lui est contraire ou favorable selon que la vitesse s’accélère ou diminue : on doit alors , dans ces circonstances , comprendre l’inertie parmi les résistances ou les puissances. Mais la la condition du mouvement est toujours la même, c’est-à-dire que le travail des puissances est encore égai au travail de toutes les résistances augmenté du travail de l’inertie, lorsque le mouvement s’accélère, ou diminué de ce même travail si le mouvement se ralentit,

S5. Relation entre le travail des forces sur un corps libre et sa force vive. Exemple sur les trajectoires d’un corps pesant . — Toutes les fois que des forces appliquées à un corps libre font accélérer ou retarder son mouvement, l'inertie de ce corps se développe, et en vertu du principe de l’action égale à la réaction , elle doit être en équilibre avec les forces qui sollicitent le corps; ou bien sa quantité de travail sera égale à la somme des quantités de travail simultanées des forces qui poussent ie corps dans un sens , diminuée des quantités de travail qui poussent ce corps dans un sens opposé. Mais on a vu (l re partie, 85) que quand un corps prend deux vitesses à deux instants quelconques, le travail de l’inertie est encore mesuré par la moitié de la différence des forees vives que le corps possède au premier et deuxieme instant, ou par laforce vive qu’il gagne ou qu’il perd selon que le mouvement s’accélère ou se ralentit. Donc le travail total de plusieurs forces sur un corps dans un temps quelconque est toujours égal à la moitié de la force vive gagnée ou perdue par ce corps au bout du même temps.

Soit, par exemple, une bombe dont P est le poids et qui part du point A (fig. 71) avec une vitesse initiale V. Si la pesanteur n’agissait pas sur ce projectile, il suivrait la direction primitive AT. Mais, en vertu de cette force verticale qui est unique dans le cas où le mouvement a lieu dans le vide, la Lomne est continuellement détournée de sa direction, et décrit en définitif une ligne courbe ABD, et nous savons (2 e partie, 12) que pour un corps qui décrit un espace quelconque de courbe et qui n’est soumis qu’a l’action de la gravité le travail est égal an produit de son poids et de la proiection verticale de cette portion de courbe. Ainsi, à l’égard de la bombe, pendant qu e!fo sera transportée de A en B, le travail dépensé p ar J a gravité sera

X -, ou P X H en faisant R = BC. Enfin, appelant V' la vitesse que possède la bombe en B , — . X V- sera sa force

vive en B .

et ff XV 2 - J X V'Xa force vive qu’il

vive en A , — X V' J sa force

aura perdu pendant

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. g~

son passage de A en B, dont la moitié doit-être la quantité de travail développée dans le même intervalle par la force extérieure qui est ici celle de gravité. On aura donc

}(— XV*-— X V’)=PXH.

Divisant les deux membres de cette égalité par le facteur commun P et les multipliant par 2gr, on trouve