DES SAX1VELI.ES SIMPLES

49. Manière dont varie le travail élémentaire des manivelles simples, dans un premier demi-tour. — Toutes les fois qu'il s’agit de transformer un mouvement circulaire continu en rectiligne alternatif, ou même en circulaire alternatif, nous avons vu (8- partie, 23 et 29) , que ce qu'il y a de plus avantageux c’est d’employer la manivelle quand les machines sont puissantes, ou l’excentrique ( 3= partie , 28 ) quand les efforts ne sont que médiocres. Mais comme le travail élémentaire produit sur une manivelle varie à chaque instant sous un effort même constant, il est utile d’étudier la loi de cette variation, parce quelle nous conduira au principe de l’établissementdes volants. Une manivelle est formée, comme on sait, d’un coude ou bras AB (fig. 8o/), fixé 'a un arbre tournant AE, et à l’extrémité duquel agit une puissance douée d’un mouvement alternatif, par l’intermédiaire d’une bielle BF. Ordinairement on s’arrange de façon que la direction de la bielle varie très-peu ou ne fasse que des angles fort petits avec la verticale qui passe par le centre de l’arbre : et cela pour qu’après la décomposition de l’effort de la bielle en deux autres, l’un parallèle et l’autre perpendiculaire à cette verticale, ce dernier soit fort petit et ne produise que peu de frottement. Cette condition est suffisamment remplie quand la longueur de la bielle est quatre ou cinq fois celle du bras AB. Ainsi, nous admettrons que la direction de la bielle et de la force qui la sollicite soit invariable, verticale par exemple, et que cette force soit constante , hypothèse qui facilitera beaucoup la considération du travail. Cela posé, cherchons le travail élémentaire produit par la force pendant que le bouton B, c’est-à-dire son point d’application , décrit e très-petit arc de cercle BB'. Il est évident, d’après le quatrième principe u n o 1, que ce travail se mesure par le produit de l’effort multiplié par e petit chemin parcouru, mais estimé sur la direction de cet effort. Si par e ooint B' (fig. 338) on mène l’horizontale B'B", laquelle est perpendiculaire a la direction BF de la force, B B" sera ce chemin estimé, et , par suite, le produit F X B 55 " donnera la mesure du travail élémentaire de la bielle. Mais, en observant que B B" est égal à bb', c’est-à-dire à la projection de l’arc sur le diamètre EG, ce même travail sera exprimé par F X bb'. Si , main e nant, on cherche toutes les quantités de travail élémentaire produites pendant un intervalle fini , qui sera compris, par exemple , entre les points e B et qu’on en fasse la somme , celle-ci donnera le travail dépensé sur bielle pendant ce même intervalle. Mais remarquons que, dans cette somme, l’effort F constant se trouve multiplié par la somme des projections , te e= que bb'. sur le diamètre EG de tous les petits arcs élémentaires BB' ; c est-a

dire parla projection E b de l'arc total E b parcouru par le bouton. En général, le travail de la bielle , pour un arc parcouru quelconque , a pour valeur le produit de la projection de cet arc sur le diamètre vertical , et de l’effort de la bielle. D'où l'on voit que si si cet effort a agi sur le demi-tour total ECG le travail pendant cet intervalle équivaut à l'effort F multiplié par le diamètre EG, ou à 2F . r, r désignant la longueur AB du bras de la manivelle. Voyons maintenant comment varie le travail élémentaire à chaque instant pour de très-petits arcs égaux à BB', travail que nous avons exprimé tout à l'heure par le produit F X BB”. A cet effet nous remarquons que, si du point d’application B, on abaisse la perpendiculaire BD au rayon horizontal AC , on aura formé un triangle ABD, semblable au petit triangle BB'B" ; d’où résulte la proportion

qui donne

bb" : bb' ad ; ab, BB " x AD.

Appelant s le petit arc élémentaire BB', et nous rappelant que r représente le rayon ou le bras AB de la manivelle, on trouvera

BB" = f X AD.

Le travail instantané devient , par conséquent, F X - X AD. Si nous ima-

ginons la demi-circonférence GCE partagée en une suite de petits arcs égaux a s , et que , des points de division, on mène des perpendiculaires au rayon horizontal AC , je dis que la distance AD du pied de chaque perpendiculaire au centre A du cercle décrit , continuera la variation du travail instantané produit sur chaque petit arc décrit BB', ou lui sera proportionnelle. Car, dans la valeur de ce travail , F , s et r sont des quantités constantes pour chaque travail instantané , et il n’y a que AD qui soit variable dans l’expres-

sion F X —X AD. Si le bouton est parvenu en E , la longueur AD est nulle , aussi bien que le travail instantané delà bielle; puis, à partir de ce point jusqu au rayon horizontal AC, cette perpendiculaire AD augmente jusqu à devenir égale à r. Le travail instantané est alors parvenu à son maximum , et il a pour valeur , dans la position C du bouton , le produit

F X “ X r , ou F X s. Enfin , au-dessous du point C , la perpendiculaire AD décroît de nouveau , et devient encore nulle au point le plus bas G. Le travail instantané passant par toutes ces variations , on voit combien sont grandes les inégalités qu’il éprouve, puisque de F X « qu’il se trouve en C , il se réduit à zéro en G et E.

Cherchons maintenant à quelle distance AX il faudrait appliquer l’effort F de la bielle pour que, agissant tangentiellement à une roue de ce rayon AX que nous représenterons par X , elle produise dans un demi-tour le même i <i\ ail que celui de la bielle dans celte même demi-révolution. Nous avons

reconnu que ce dernier était égal à 2r. F. Quant au premier, il est évidemment égal àFX'X, puisque <rX est la mesure de la demi-circonférence dont X°est le rayon , et que cette demi-circonférence est en réalité décrite sur les directions partielles de F, en tant que cette force est tangente à cette circonférence. On aura, par conséquent,

2r.F = FX*X, ° u X = T = ë7T4Ï6~ ^

Cette longueur X, qu’on nomme le bras de levier moyen de la manivelle se

trouve ici être les — environ du bras de cette dernière. Si nous nous rap-

pelons que le travail instantané de la bielle est représenté par FX-^XAD,

et que, pour le bras de levier moyen , il est égal â 0,687 . s X F = F X — X 0,687 . r, on reconnaît sans peine que le premier est proportionnel au moment variable AD . F , et le deuxième au moment moyen et constant 0,637 . r. Aussi , les calculs relatifs à la manivelle sont-ils susceptibles de simplification, parce que , sans erreur sensible , celte manivelle peut être remplacée par une roue d’un rayon égal à 0,637 ■ r, que sollicite la force F tangentiellement à sa circonférence. De ce que le plus grand travail instantané de la bielle est proportionnel à F . r , son plus petit à 0 , et le travail moyen instantané à 0,687 .Fr, on en conclut que le premier étant 1, le deuxième sera 0, tandis que le travail instantané moyen sera représenté par 0,637. Par conséquent, les écarts du plus grand travail instantané et du plus petit hors du travail moyen, comparés an plus grand travail pris pour unité, seront représentés, l’un par 1 — 0,63 / ou 0,363, et 1 autre par 0,637: autrement dit, le travail moyen diffère des deux extrêmes des 0,363 et des 0,637 du plus grand travail.

60. Manière dont varie le travail instantané dans le deuxieme demi-tour . * Nous n’avons encore considéré que ce qui se passe dans un demi-tour de la manivelle, voyons maintenant ce qui a lien quand elle achève 1 autre demitour EHG. Or, il peut arriver l’une de ces trois choses : 1° La puissance F cesse entièrement d’agir ; 2° ou elle agit dans une direction contraire à sa direction primitive ; 8° ou enfin elle continue d’agir dans la même direction.

Dans le premier cas, qui est celui des pédales ou des pistons de pompe à simple effet, le travail total de F est 2F . r, tandis que celui de la même puissance appliquée au bras de levier moyen X pendant un tour entier, sera 2^X .F. On aura

2„X . F = 2r . F , ou X = ^ = 0,818 .r.

Le plus grand travail étant toujours proportionnel à F . r , et le plus petit à 0. taudis que le travail moyen instantané sera ici 0,316 . Fr. on voit que

DES MACHINES ET DES MOTEURS

les écarts du pins grand et du plus petit sur le travail instantané moyen seront représentés ici par 1 — 0,318 et 0.318 . ou par 0,682 et 0,318. Par conséquent, I écart du plus grand travail sur le travail moven , écart qui est ici 0,682, sera plus considérable que dans le cas précédent, où il était représenté par 0,687.

Dans le deuxième cas , où la puissance F change de direction à chaque demi-tour, et où elle agit toujours pour faire tourner dans le même sens, elle développera dans le tour entier un travail égal à kr . F. On aura donc

s),. T-;- - ctTv?

kr . F = 2*X . F , ou X = — = 0,637 . r,

comme pour le cas ou la puissance agit à chaque demi-tour. Les écarts du plus grand travail et du plus petit en dehors du travail moyen sont donc représentés par 0,363 et 0,687. Par conséquent, le plus grand écart dans le deuxième cas est plus petit que celui du premier cas.

Dans le troisième cas, le travail total fourni par la puissance, pendant un tour entier de la manivelle, sera nul, etii en sera de même du travail instantané moyen, en sorte que les écarts du plus grand travail et du plus petit, en dehors du travail moyen, seront proportionnels à ces travaux eux-mêmes, ou représentés par 1 et 0. Ces écarts deviendront dans ce cas les plus grands possibles.

Ce dernier cas ne peut être que relatif à Faction de la pesanteur qui agit toujours dans le même sens, et qui ne produit aucun travail pendant une révolution complète (3 e partie, 14). Mais, comme cette action se joint toujours à celle d’une autre force qui agit dans la direction de la bielle comme les précédentes , il convient d’examiner son influenee dans les inégalités du travail instantané.

51. Manière de régler le poids des équipages delà manivelle. — Nommons p le poids de la bielle BF et de son équipage, qui agit suivant la direction de r . On observera que le poids p s’ajoute à la force F ou s’en retranche selon qu il agit ou non dans le sens de cette force, de telle sorte que la quantité de travail dans un tour entier n’est nullement altérée par ce poids. Par conséquent, son influence est également nulle et sur le bras de levier moyen et sur le travail instantané moyen, et comme le travail élémentaire de la puissance est toujours nul pour la position verticale du bouton de la manivelle en E et G, on voit que l’effet du poids p se réduira à augmenter ou à diminuer le plus grand travail instantané en C et H toujours , proportionnel à rF, selon le sens de la puissance F.

Cela posé, il est aisé de voir que les écarts du plus grand travail instantané dû aux forces F et p sur le travail moyen , seront dans le cas où F agitait dans les deux demi-tours , et dans celui où elle n’agirait que dans le prenne. demi- tour en s ajoutant à p . plus considérables que dans les cas précédents où on faisait p = 0: donc, dans ces circonstances, i! sera essentiel

74 troisième partie.

de mettre l'équipage en équilibre autour de l'arbre de rotation. Mais il pourra en être tout autrement du cas où F agit seulement dans le premier demitour et dans une direction contraire à celle du poidsp.En effet, la plus grande valeur du travail instantané ayant toujours lieu pour la position horizontale du bras de la manivelle, elle sera proportionnelle à r (F — p) pour le premier demi-tour et à rp pour le second. On devra donc prendre la première ou la dernière de ces quantités pour la limite supérieure du travail instantané , selon qu’on aura F — p ou p , ou F^> ou 2 p. Le cas le plus avantageux aura lieu évidemment quand la valeur d ep sera telle que r (F — p) sera égal à rp, ou que p sera égal à F, en sorte que le plus grand travail instantané, réduit ici à la moitié, sera représenté par— F* r. Mais, comme au premier cas, le travail moyen demeure toujours proportionnel à 0,318. r. F, et le plus petit à 0. Les écarts du plus grand et du plus petit travail instantané, en dehors du travail moyen, deviennent donc — 0,318 et 0,318 ,

c’est-à-dire 0,182 et 0,318, et ils sont alors moindres que pour les cas précédents.

52. Différence d’une manivelle à simple effet et d’une manivelle à double effet. — Nous avons dit que la puissance appliquée à la bielle d’une manivelle agit tantôt pendant un seul demi-tour et n’agit plus pendant le demitour suivant, et tantôt agit pendant un tour entier en changeant d’un demitour à l’autre, le sens de sa propre direction. De là résultent deux distinctions à faire dans la manivelle, selon ces deux circonstances, c’est-à-dire qu’elle peut être ou à simple effet ou à double effet.

Pour se faire une idée de la manivelle à simple effet, imaginez un moteur tirant de haut en bas sur une corde attachée au bras d’une manivelle ; il ne pourra que faire décrire un demi-tour descendant à ce bras, sans Télever pendant le demi-tour ascendant, et un volant devient nécessaire pour que la manivelle continue à marcher pendant ce demi-tour où l’action du moteur cesse forcément. Mais si, au lieu d’une corde, on a une bielle inflexible, alors le moteur peut travailler sur cette bielle aussi bien de bas en haut que de haut en bas; et toute manivelle ainsi disposée pour que le moteur exerce son action dans le sens descendant pendant un premier demi-tour, et dans le sens ascendant pendant le second demi-tour, est ce qu’on nomme une manivelle à double effet.