F X AD = Q X R
Mettons à la place de Q sa valeur donnée (a), on trouve encore
fxad =Ïxr,
ou AD=— = 0,818 . r.
Telle est la valeur de AD, c’est-à-dire la distance au centre A, du pied de la perpendiculaire abaissée dn point cherché B, sur le rayon horizontal AC. Cette distance est, comme on voit, environ le tiers du rayon delà manivelle.
Lorsque ensuite le bouton quitte le point B , le travail instantané de la puissance l’emporte sur celui de la résistance, et la vitesse s’accélère jusqu’à ce que de nouveau ces deux travaux instantanés soient devenus égaux ; alors la vitesse du volant a acquis son maximum. Ce point doit être évidemment au-dessous du rayon horizontal AC, parce que sur ce rayon le travail instantané de la puissance est le plus grand possible , et qu’il a dû décroître pour redevenir égal à celui de la résistance. Lu reste, la position B" de la manivelle pour laquelle la vitesse du volant est un maximum , s’obtient par le même calcul que tout à l’heure, et elle est déterminée par la valeur AD encore égalé à 0,318. r ; ce qui prouve que les points B et B', pour lesquels la vitesse du volant est un minimum et un maximum , sont sur une même corde BB perpendiculaire au rayon horizontal AC, et dont la distance au centre est 0,318.r. Passé le point B', le travail instantané de la puissance est plus petit que celui de la résistance ; il reste même nul pendant toute la demirevolution ascendante, de sorte que la vitesse décroît et reprend son premier minimum quand le bouton est parvenu en E. En un mot, l’action de la puissance variant de la même manière à chaque révolution, les vitesses redeviennent les mêmes, quand le bouton arrive aux mêmes positions.
Pour calculer le poids du volant, nous considérerons ce qui se passe dans 1 intervalle de la position B à la position B'. Désignons par V la vitesse maximum du volant comptée sur son rayon moyen, et qui a lieu quand le volant , P
est en B — X A -sera la force vive du volant pour cette position de la
manivelle; de même, - X ^ sera ,a force vive du voiant à l'instant de ] a position B de la manivelle , v représentant la vitesse minimum de ce volant.
Ainsi E-V 2 — - c», ou -(V 3 — v-) exprimera l’accroissement de force vive ’ g g 9
qu’aura absorbé le volant pendant l’intervalle des positions B et B' de ] a manivelle. Le travail de la puissance F pendant ce même intervalle sera T X corde BB’. D’ailleurs, on a
corde BB' = 2BD,
BD =|/AB' — ÂD J = j/ r 3 — (0,il8 . r) 3 — 0,948. r, d’où BB' = 2 X 0,948 . r = 1 ,896 . r.
Le produit F X corde BB' deviendra donc 1 ,896 . r. F. Si nous voulons avoir le travail de la résistance Q pendant l’intervalle dont il s’agit, on remarquera que ce travail n’est autre chose que le produit de Q multiplié par 1 arc que son point d’application décrit pendant que le bouton décrit lare BB , ou que
ce travail sera égal à Q X arc X — • Or, à l’aide delà table des arcs et des
cordes correspondantes, et sachant que la corde BB' = 1,896 . r, on trouve que l’arc BB'=2,4938 . r. Par conséquent, le travail cherché de la résistance deviendra
Q X^,4938.r X ou QXM938.R.
Remplaçant dans cette expression Q par la valeur donnée d’après la condition
Yr . t
première et qui est ■ — , on trouve que le travail résistant équivaut à srR
Fr 2 4988 . r . „ 2,4988. r
— . 2,4988. R, ou à F— , ou a F
irR *
ou enfin à
L’excès du travail de la puissance sur celui de la résistance sera évidemment
r . F (1,896 — 0,7938), c’est-à-dire, 1,102 . r . F, dont le double 2,204 . r . F équivaut à l’accroissement de la force vive du
, — (V 3 — t- 3 ). On aura donc, en définitive, celle égalité, volant , ou à g
Je nomme V, la vitesse moyenne du volant, c’est-à-dire celle qui correspond au régime voulu pour le système. Si le poids de ce volant doit être tel
que sa vitesse ne croisse ni ne décroisse de plus de •— de la moyenne ou en
DES MACHINES ET DES MOTEURS
général de - , il est évident que les vitesse • ...
« * vitesses maximum et minimum du volant
seront représentées. Eune par V. Zi .> . .. V.
' * » , et I autre par V, !. Ainsi . l es
trois vitesses V Y, et v formeront entre eiu„ . *
y ntre e,Ies “ne proportion par diffé
îerence
d0nt '* V *»P»«« * cette quantité Aj b vi ,„ >e
V„ « ,ue celle-ci .«passe Ta vitesse e de la même qmmtffé, «• “ t
V surpassait r du double — . On aura donc
V=„a-?L, ou V - e = !L
Mais il est visible que si V=^V, j et
en a .uni V + ' - «V Donc , si on multiplie V + . p , r y et .« rappelle que le pcodutt de la somme de deu, quantité, par l«„ r différence est égal a la différence de leurs carrés, on en conclut
Y 2 — lVl \ n
Substituons cettedernière expression dans la relation (b) du volant, on trou-
et, par suite, PY, 2 = 2,204 X — . r. F
On voit ainsi que PY, 2 sera connu. Mais on obtient la vitesse moyenne V, du volant d apres le nombre de tours qu’il doit faire dans un temps déterminé e apres le rayon de son anneau. Par conséquent, l’équation finale à laquelle nous venons d’arriver, nous donnera le poids P du volant.
On peut parvenir à l’expression du produit PV,* sous une autre forme et a définir par le nombre des chevaux de force qui constitue le travail du moteur et par le nombre de tours que doit faire le récepteur dans un temps détermine, dans une minute par exemple. Si nous appelons, en effet « ce ermer nombre, 2m . r . F sera le travail du moteur pendant une minute et ’ r • F ™ . r . F
60 30 CC même travail pendant une seconde. Dési-
gnant par N le nombre de chevaux-vapeur contenus dans le moteur et capa-
■v es d un travail de 73 kilogr. élevés à 1 mètre pendant une seconde on aura ’
= 75*-»XN :
ni m.
Après avoir remplacé r . F par cette nouvelle valeur, dans l’expression de PV, ! . on trouve
PV, 5 = 2,204 x V-X
1 4 ni
et, en mettaut pour g sa valeur 9 m , SI, on trouve, tout calcul fait,
PV*==^X*XN («)
Ainsi que nous l’avons dit, le nombre m est relatif à la bielle à laquelle la puissance est appliquée , et non au volant , si ce dernier était , comme cela arrive quelquefois, monté sur un arbre différent de l’axe de la puissance. Il n’v a que le nombre n qui soit arbitraire. A la vérité plus n sera grand, moins sera considérable la variation de la vitesse, et si l’on veut que la vitesse ne varie que très-peu , ce ne pourra être qu’à l’aide de très-grandes valeurs données au poids P du volant. Si » - 1000, ou si la vitesse varie seulement
L en plus ou en moins, le poids P sera dix fois plus considérable que
quand n = 100. Or, les volants coûtent cher, et une augmentatien de leur
poids produit sur leurs appuis des pressions d’où résultent des frottements capables d’absorber à eux seuls plus de la moitié du travail du moteur. Par exemple, un volant du poids de 20 000 kilogr. éprouvera sur son tourillon un frottement de 2000 kilogr., lorsque le rapport/du frottement à la pression est — .Que ce volant fasse 30 révolutions par minute ou une demi-
révolution par seconde, et que son tourillon ait 20 centimètres de diamètre, c’est-à-dire 0“,60 de circonférence , le travail absorbé parle frottement du volant pendant 1" équivaudra à
f)m fif)
2ooo k x —L — » ou a 60 ° k ’ m ;
Ji
c’est-à-dire que cette résistance absorberait à elle seule le travail de huit chevaux à 75 k m chaque, par seconde. .
On ne peut donc arbitrairement choisir le nombre n, et sa détermination dépend delà comparaison qu’il faut faire des avantages et des inconvénients qui y sont inhérents. Au reste, cela dépend du but qu’on veut remplir. Si des machines doivent marcher avec beaucoup de régularité, on fera »= 1 ou 20. et on réduira ce nombre à 10 quand les machines ne doivent avoir qu’une régularité médiocre. Les Anglais, pour les machines à vapeur destinées à faire mouvoir des filatures, élèvent le nombre n à 30 , mais il v a exa
gération. .
57. Frôlant des manivelles à double effet. —Lorsque lamanivelle est à dou effet, le calcul du volant est analogue, si ce n’est qu’ici le travail de la puissance dans une révolution s’élève à Ar . F. Par conséquent, pour que ce travai
DES MACHINES ET DES MOTEURS. o-
oo
fût égal à celui de la résistance au bout d’une même révolution, on poserait Ar F= 2*R-Q* Les positions du bouton de la manivelle où les vitesses maximum et minimum sont également différentes, sont ici fixées par une autre valeur de AD = 0,64 . r. Calculant enfin la corde qui joint . dans une même demirévolution, la position où une vitesse minimum a lieu à celle qui correspond à une vitesse maximum , ainsi que l’arc sous-tendu par cette corde, on sera à même de trouver, comme précédemment, la différence du travail de la puissance et du travail de la résistance pendant l'intervalle d’une vitesse minimum à une vitesse maximum. Si on égale le double de cette différence à l’accroissement de force vive que le volant a absorbé, si de plus on fait attention que le travail de la puissance pendant une seconde est représenté 4r . F . m
par — ’ on aura , pour le volant de la manivelle à double effet
cette relation ,
PV
Maintenant, si on compare cette expression à celle qui est relative à la manivelle à simple effet , tout s’y trouve semblable à l’exception du facteur numérique , qui est cinq fois plus considérable pour la manivelle à simple effet que pour la manivelle à double effet. Donc à vitesse égale la première exige un poids de volant cinq fois plus grand. Cette conclusion démontre tout 1 avantage qu’il y a à régulariser autant que possible le mouvement indépendamment de l’emploi du volant : car le poids de ce volant se réduirait au quart si la puissance était repartie sur les deux bras d’une manivelle double à simple effet; et il ne serait plus que de si la puissance agissait sur une manivelle triple, etc.
oS. Idée sur le calcul d'autres volants . — L’exemple précédent de la manivelle pour lequel nous avons déterminé les dimensions du volant, et qui se rapporte aux machines à vapeur, cesse d'être applicable dans une infinité de circonstances. Tout à l’heure la résistance était supposée constante et continue, et la direction de la puissance variait à chaque instant par rapport au bras de la manivelle. Or, il arrive souvent que l’action du moteur demeure constante, et que la résistance qui varie, soit parce que l’outil, comme la scie, est doué d’un mouvement alternatif, soit parce que la direction de la résistance change continuellement , soit encore parce que la résistance éprouve des intermittences. Les calculs sont alors différents les uns des autres pour la détermination du volant nécessaire à la régularisation du mouvement. II conviendra toujours d'étudier comment les choses se passent dans une révolution ou plutôt dans une période complète , et de rechercher les -leux positions d équilibre, ou celles pour lesquelles le travail instantané de •a puissance et celui de la résistance sont égaux , parce que ces deux posi-
S" 10 P \RTIE. ] [
gg TROISIÈME PARTIE.
tiens correspondent à l’instant où la vitesse est devenue maximum et minimum. Si, en ontre, on calcule les quantités de travail dépensées par la p u ; s . sance et absorbées par la résistance pendant l'intervalle de ces positions, et qu’on égale le double de leur différence absolue à l'augmentation ou à la diminution de force vive du volant, celte relation traitée, comme on l’a fait, avec la condition que les plus grande et plus petite vitesses ne dépassent point de certaines limites, conduira à l'estimation convenable des dimensions du volant. Sais , comme ces calculs doivent être renouvelés autant de fois qu’il y a de cas particuliers, il est impossible d’assigner une règle générale. Nous allons donner quelques exemples qui serviront de guides dans la marche qu’on doit suivre.
1“ Laminoirs. — Un laminoir consiste dans deux cylindres en fonte, tournant chacun , sur deux tourillons , selon un mouvement convergent du côté où une barre de fer rouge est présentée à leur intervalle, et divergent du côté où cette même barre s’en échappe (fig. S68J. Le fer se trouve aplati et allongé par l’effet de ces deux cylindres ; mais comme il ne peut être d’une longueur indéfinie, et que la barre, après avoir passé une première fois entre les deux cylindres, doit être replacée au-dessus du cylindre supérieur pour être ramenée à l’ouvrier chargé de la présenter de nouveau , il arrive que le travail du laminage n’est point continu et qu’il éprouve des interruptions. Le moteur continuant à agir pendant la durée de ces intermittences, la vitesse augmente graduellement et acquiert sa limite supérieure au moment où la barre va être présentée , puis elle diminue , parce que le travail instantané de la résistance du fer l’emporte sur celui du moteur, et elle se réduit à sa limite inférieure à l’instant où la barre est entièrement sortie du laminoir. La détermination des dimensions du volant est ici fort simple, attendu que la vitesse maximum correspond à l’instant où la barre est présentée, et la vitesse minimum à l’instant où la barre s’est échappée des deux cylindres. Si , par l’observation ou par le calcul, on pouvait trouver la quantité de travail nécessaire pour faire passer la barre et qu’on en retranchât celle du moteur dépensée pendant la durée de ce passage , le double de cette différence sera égal à la perte de force vive du volant pendant que sa vitesse descend àu maximum au minimum. Nommant donc S la différence absolue de ces deux quantités de travail , parmi lesquelles celles delà résistance du fer est ici la plus grande, V et c les vitesses maximum et minimum de la circonférence moyenne du volant, P le poids de ce dernier, ori aura la relation
Ce volant doit être monté sur l’axe de l’un des cylindres , et comme ch* cun de ces derniers doit faire environ moyennement vingt tours par minute , on connaîtra la vitesse moyenne V, du volant. Si , d’ailleurs, on > e donne pour condition que les vitesses maximum et minimum ne dépasi> en
DES MACHINES ET DES MOTEURS
point la vitesse de régime , ou V,, de — U , en plus ou en moins , on pourra
effectuer le calcul comme pour la manivelle , en faisant n— 15 ou 20. On se donnera, en outre, pour première condition, que le travail du moteur dépensé pendant une période complète, ou pendant l'intervalle où une barre est présentée deux fois, soit égal au travail de la résistance consommée par la barre , augmenté de celui des frottements.
2“ Scierie. — - Le volant d'une scierie exige des considérations qui ne ressemblent plus à celles du laminoir. On sait que le mouvement vertical de vaet-vient est transmis au châssis de la scie, par l’intermédiaire d’une bielle, au moyen d’une manivelle énarbrée à un axequi reçoit son mouvement de la puissance (fig. 369). Dans ce travail la scie ne mord qu’en descendant, et elle remonte à vide. Ainsi , le bouton de la manivelle , dans la demi-révolution ascendante, est chargé du poids de la bielle et du cbâssis ; en descendant, au contraire, le bouton favorise l’action de la puissance, et est poussé de haut en bas par le poids de la bielle et du châssis , diminué de la résistance de la scie contre le bois. Cette dernière, qui augmente avec l’épaisseur et la nature du bois , sera supposée d’une valeur moyenne, ou telle qu’elle conviendrait pour une pièce de bois de chêne, sans nœuds et d’un piedd’équarissage. Cela posé , vous examinerez de point en point et pour tous les petits arcs élémentaires égaux décrits par le bouton , comment varient le travail instantané de la puissance et celui de la résistance pendant une révolution complète; les positions où ces travaux deviendront égaux seront évidemment celles où les vitesses sont devenues minimum ou maximum. Si on calcule ensuite la quantité totale de travail dépensée par la puissance et par les résistances pendantl’intervalle du minimum au maximum de vitesse, et qu’on égale le double de cette différence absolue à l’accroissement de force vive du volant, on déduira encore le poids de ce dernier pour que les vitesses demeurent dans une limite assignée,
3° Filatures. — II y a certaines machines dont toutes les pièces sont douées de mouvements continus, et dans lesquelles il s’opère des variations qui rendent leur action fort irrégulière. Telles sont les filatures, dont tous les métiers sont mus à la fois par un même moteur, et où quelques-uns d’entre eux sont souvent arrêtés momentanément par leurs ouvriers respectifs sans qu on puisse immédiatement modifier le travail du moteur. II serait alors difficile de régler le mouvement, si on ne voyait par soi-même ce qui se passe dans 1 atelier, et si on n’observait moyennement le nombre des métiers dont le mouvement est suspendu, ainsi que la durée de cette interruption. Supposons, par exemple, que le travail de tous les métiers réunis soit de 2-4 che- 'aux, et qu il soit réduit à 20 quand on suspend trois ou quatre métiers pendant un nombre moyen de secondes représenté par t. Le travail de la iesisfance ainsi réduit pendant ce temps équivaut à 20 X 73 X t lm '■> car
gg TROISIÈME PARTIE.
n’oublions pas que le cheval représente le travail de 75 1 - élevés à un mètre pendant une seconde. Supposons, en outre, que le travail du moteur qui f ait marcher l'établissement soit de 23 chevaux. L’excès de ce travail sur celui de la résistance réduite par l’interruption des quatre métiers sera de 23—20 on 3 chevaux ; cet excès répété pendant t secondes, équivaudra à SX'oXf, et produira au bout de ce temps sur le volant une vitesse V plus grande q ue
la vitesse Y, correspondant au régime ordinaire de la machine. Donc — (y*
— V, 2 ) sera l'accroissement de force vive du volant, et il sera égal à 2 X 3 X 7a . t. On aura donc
^ 1 imaginons qu’on veuille que la vitesse Y n’excède pas V, de on posera
: 1,21 .V, 2 ; d’où
