PARTÎT

pondent à telle ou telle vitesse et au calibre du projectile. Ainsi, connaissant la vitesse initiale et deux composantes , on aura en poids la valeur de la résistance initiale, et par suite les composantes horizontale et verticale de cette force au commencement du mouvement. De ces composantes, l’une est la force motrice de la bombe dans le sens horizontal , et elle diminue la vitesse horizontale primitive, d’un petit degré facile à évaluer pour un petit temps, ce qui donne ainsi la vitesse horizontale acquise au bout de ce meme petit temps. L’autre composante de la résistance ajoutée au poids de la bombe donne la force motrice dans le sens vertical ; on déduit de cette dernière le plus petit degré de vitesse dont la vitesse verticale primitive est diminuée pendant le même petit temps que nous avons choisi , ainsi que la vitesse verticale acquise au bout du dit petit temps. La résultante des deux nouvelles vitesses acquises horizontalement et verticalement donnera lieu à une nouvelle résistance que Ton trouvera dans les Tables et que l’on décomposera en deux autres forces horizontale et verticale. Les intensités de ces deux forces s’obtiendront, d’ailleurs, en les considérant, ainsi que leur résultante, comme proportionnelles aux vitesses acquises déjà déterminées. Puis on cherchera le petit degré de vitesse dont la vitesse horizontale s’est accrue ou diminuée au bout d’un temps petit, égal au premier, par la nouvelle composante horizontale à la résistance ; on en fera de même dans le sens vertical, en prenant pour force motrice le poids de la bombe augmenté de la composante verticale de la nouvelle résistance. On voit que de cette manière on parviendra aux vitesses acquises au bout du deuxième petit temps, tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical. En continuant ainsi on déterminera la loi de toutes les vitesses acquises, ainsi que tous les espaces parcourus. Au moyen des espaces parcourus simultanément suivant les directions horizontales et verticales, on construira la trajectoire de la même manière qu’il a été procédé dans le vide. Quant aux espaces réels décrits , ils serviront à faire connaître le développement de la trajectoire.

MOUVESEXT I)’CN CORPS AUTOUR d’uX AXE.

86. Le travail de forces quelconques faisant tourner un corps autour d’un axe est réduit à celui de leurs composantes dans un plan perpendiculaire à cet axe. — Le principe démontré (2 e partie, 13) du travail des forces sur un corps peut s’étendre à des cas quelconques. Nous allons l’appliquer à celui où un corps tourne autour d’un axe fixé et lié invariablement à ce corps, imaginons une force R s’exerçant en un point A (fig. 72) d’un corps qui

tourne autour de LM, et décomposons cette force en deux autres , l une Q parallèle à LM , et l’autre P dans un plan perpendiculaire à cette même droite et passant par son point d’application A. On remarquera que P est la projection de la force R dans ce plan , et que les composantes de cette dernière peuvent s’obtenir par le procédé indiqué (2 e partie, 10). En agissant de la même manière à l’égard des autres forces appliquées au corps, on les réduira à deux groupes dont l’un se composera de forces parallèles à l’axe et l’autre de forces situées dans des plans qui lui sont perpendiculaires; et de plus la somme des quantités de travail de ces deux groupes sera précisément égale au travail total des forces données. Or, le travail du premier groupe est égal au produit de la résultante des forces parallèles qui le composent multiplié par le chemin que parcourt le corps selon leur direction , c’est-à-dire dans le sens de l’axe; et comme le corps ne peut cheminer sur cet axe auquel par hypothèse il est lié invariablement, on voit que le chemin décrit par les points d’application des forces parallèles est nul, et quil en est de même à l’égard de leur travail. Ainsi, le travail total des forces données se réduit, en définitif, à celui de leurs composantes, ou de leurs projections dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation et qui passent par leurs points respectifs d’application.

§7. Travail des forces qui font tourner un corps autour d’un axe. — La quantité de travail des forces appliquées à un corps qui peut prendre un mouvement de rotation se réduisant à celle de leurs projections sur des plans perpendiculaires à l’axe, il reste encore à déterminer le travail de ces dernières. Soient P (üg. 73) l’une de ces composantes, À son point d’application sur le corps, et G le point où l’axe coupe le plan perpendiculaire qui contient la composante P. Abaissez du point C la perpendiculaire CD à AP , et observez que l’on a démontré (2 e partie, 17) que la quantité de travail d’une force est toujours la même, quelque soit le point sur sa direction , dont on considère le chemin parcouru. Ainsi, la quantité de travail de la force P, estimée d’après le chemin du point D , est la même que pour le point A. Or, le point D décrit dans un très-petit temps t un arc S dont CD est le rayon. Ainsi, la quantité de travail de P sera P X S. Mais on n’a pas besoin de mesurer immédiatement pour chaque composante le petit arc que décrit le pied de la perpendiculaire abaissée de l’axe sur sa direction, parce que quand un corps tourne, tous les points qui lui sont attachés invariablement, décrivent simultanément des angles égaux, et par suite des arcs proportionnels à leurs distances de l’axe. En appelant, par exemple, S' l’arc décrit par le point D' autour de C , on aura

s : s’ cd : cd' ;