S == S' X CD

en appelant r la grandeur de la perpendiculaire CD, et désignant l’arc de CD' par Sj, afin de se souvenir que cet arc a pour rayon 1 unité , on aura

enfin

: rS t .

Pour une autre composante P' dont la perpendiculaire abaissée de lare a pour longueur r', on trouverait de même

S' = rS'j.

.Ainsi, les quantités de travail des composantes perpendiculaires à 1 axe sont p^rSjetPX r'Sj , et l’on remarquera que les produits P . r et P . r' ne sont que les moments de ces composantes. Donc , le travail des composantes , et par suite celui de la force donnée qui lui correspond , est égal à l’arc commun S, multiplié par le moment de la composante. Sachant en outre que le travail total des forces données est égal à la somme des travaux de celles qui agissent dans un sens, diminuée de la somme des travaux de celles qui agissent en sens contraire; on en conclut que leur travail total pour faire tourner un corps est égal à l’unité de distance de 1 axe, multipliée par la différence de la somme des moments de leurs perpendiculaires à Taxe et qui font tourner le corps dans un sens, et de la somme des moments de ces mêmes composantes qui font tourner le corps dans l’autre sens.

58. Equilibre d’un corps autour Æun axe. — Si les forces données se font équilibre autour de l’axe , leur travail total est nul , ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la somme des moments des composantes perpendiculaires à l’axe qui agissent dans un sens , est égal à celle des moments des composantes qui font tourner le corps dans un sens opposé.

59. " Extension du principe des forces vives au mouvement de rotation. — Lorsque des forces sont appliquées à un corps qui tourne autour d’un axe de rotation, le mouvement qu’il prend ne peut être que perpendiculaire à cet axe; si les forces ne font pas équilibre, le mouvement s’accélère on se retarde, et il naît, sur chaque partie du corps , des forces d’inertie qui agissent dans la direction du mouvement, et dont les quantités de travail forment une même somme que celles qui sont développées dans le même temps par les forces motrices. Quand tous les points du corps sont animés de vitesses simultanées qui sont égales, rien n’est plus facile que d’évaluer le travail total de l’inertie pendant un intervalle de temps quelconque : il est égal à la moitié du produit de la masse totaie du corps , multipliée par la différence entre les carres de la vitesse commune qui a lieu au commencement de 1 intervalle et de celle qui a lieu à la fin. Mais, lorsque toutes ces parties sont animées de vitesses différentes en même temps (et c’est ce qui arrive cians un moment de rotation^ , il faut estimer, au commencement et

à la fin de l’intervalle, la force vive de chaque partie du corps, faire la somme de toutes celles que possèdent ces parties au commencement de l’intervalle, et la somme de toutes celles que ces parties possèdent à la fin ; puis retrancher ces deux sommes l’une de l’autre pour avoir l’accroissement total des forces vives. La moitié de ce résultat étant le travail de l’inertie, et ce dernier devant être égal au travail développé par les forces données, ou plutôt (2 e partie, 57) par leurs composantes perpendiculaires à l’axe, on peut dire que dans tout mouvement de rotation d’un corps, le travail des composantes perpendiculaires à l’axe de rotation est égal à la moitié de l’accroissement des forces vives du corps. Afin de tirer parti de cette relation , il faut une méthode pour obtenir la somme de toutes les forces vives que possèdent au même instant les parties d’un corps qui tourne autour d’un axe de rotation.

60. Méthode pour estimer la force vive totale d’un corps qui tourne autour d’un axe. — Considérons, par exemple, une petite partie m (fig. 74) située à une distance r de l’axe de rotation LM. Soient V la vitesse qu’elle possède

à un instant quelconque , p son poids ; m sa masse , ou - ; la force vive de cette partie sera ^ X Y 2 , ou m XV ! . Si l’on en fait autant pour toutes les

autres parties et qu’on ajoute toutes les forces vives qui ont lieu dans un même instant, on observera que la vitesse V de chaque partie différera selon sa distance r à l’axe. Elle lui sera d’ailleurs proportionnelle, attendu que toutes les parties du corps tournent simultanément; en un mot on pourra trouver les vitesses comme les petits chemins simultanés décrits. Or, on a vu que S étant le chemin décrit par la partie m ,

Divisant cette égalité par t, ou par le petit temps employé à décrire S,

on tire

On sait que la vitesse, dans un mouvement quelconque, est égale à un trèspetit chemin du mobile, divisé par le temps employé à le décrire. Ainsi, S S,

Y =— . On aura de même — = Y,. La vitesse V* , qui n’est autre chose * t

que la vitesse relative au chemin S p ou à celui qui est à l’unité de distance, est ce qu’on nomme vitesse angulaire du corps. Enfin , de la rela- S S,

tion — = r X ~ °n tire cette autre , V = r\ , qui indique que la vitesse

d’un point quelconque possédant un mouvement de rotation, est égale au produit de sa distance à l’axe par la vitesse angulaire du corps. Par conséquent , la force vive de la partie m du corps sera mr 2 \ f. La force vive simultanée de la masse ni' serait de même nir ' 2 V, 2 . Enfin, la somme de toutes

42 deuxième partie.

ces forces vives, c’est-à-dire la force vive totale , sera, à cause que V est

facteur commun, V ^ + wV * + m " r " % + -O* Remar< ï UOnS ^ si le mouvement vient à changer, il n’y a que la vitesse angulaire V, qui varie,

tandis que le facteur + m'r*+m"f" 2 + ....

se reproduit encore dans l’évaluation de la nouvelle force vive. Cette quantité. que les géomètres ont désignée par moment d’inertie , je l’appellerai 1 , en sorte que la force vive du corps devient V, 2 X I- D° nc - la f orce vive d ’ un corps qui tourne autour d’un axe , est égale au carré du produit de sa vitesse angulaire, multiplié par son moment d’inertie. Supposez maintenant que par suite d’une accélération causée dans le mouvement, la vitesse angulaire Y l soit, au bout d’un certain intervalle de temps, devenue V/, la force vive à ce dernier instant sera Y/ 2 X È P arce q ue 1 ne dépend nullement de la vi-

tesse. On aura donc IX V 3 — 1 X V pour l’accroissement de

force vive produite pendant cet intervalle , lequel doit être égal au double des quantités de travail des forces données, ou même au double de celles que produisent leurs composantes selon des plans perpendiculaires à l’axe. Supposons encore que ces composantes soient réduites à une seule force F, et que le chemin estimé dans sa direction, et parcouru pendant l’intervalle de temps que l’on considère, soit B, on aura