SI

était cubique estime moyenne entre g- et — , ou est égal a

On multipliera la valeur de B =80kilogr. pour le chêne fort, par— ;

ce qui

donne celte autre,

d'où l’on tire

Peronnet évalue la charge d’un pilot à 25000 kilogr.

73. Déformation d’une pièce soumise à une force de flexion, et encastrée par un bout . — Considérons maintenant une pièce prismatique horizontale DEGF (Gg. 393), encastrée solidement par son extrémitéDF etpartagée parla pensée en une suite de sections pr, qs, perpendiculaires à sa longueur et très-rapprochées. Si. par l’extrémité libre, on fléchit la pièce au moyen d une force P

1U troisième partie.

perpendiculaire à sa longueur, les intervalles rectangulaires qui séparent ees

sections entre elles deviennent des trapèzes, de telle sorte que la petite longueur pq de fibre située du côté de la partie convexe DE s allonge, et que la petite longueur « de fibre située du côté de la partie concave FG s accourcit. Il y a donc une fibre intermédiaire et intérieure qui ne s est m accourcie m

allongée; on

me - .

allongée ; on nomme cette dernière fibre invariable. Duhamel a reconnu, en effet, par expérience, que pour une pièce horizontale flechie, les fibres su

périeures s’allongent et les fibres inférieures se refoulent d.rectement. 11 a

scié la pièce parlebasjusqu’à moitié de son épaisseur environ, et après avoir chassé un coin de bois dans l’intervalle du trait de scie, il a vu que la résistance delà pièce n’était nullement altérée, et qu’elle commençait a diminuer dès que le trait s’élevait aux trois quarts de l’épaisseur. En observant que chaque élément de fibre compris entre deux sections consécutives de la pieee s’allonge ou s’accourcit d’autant plus que cette fibre est plus éloignée de la fibre invariable, il est naturel d’admettre que ces allongements ou accourcissements sont proportionnels aux distances de chaque fibre par rapport à la surface de la fibre invariable. De plus, la résistance de chacune déliés a la flexion est proportionnelle non-seulement à son allongement ou à son accourcissement (S e partie, 7S et 74), mais encore à sa section élémentaire. Ainsi, chaque résistance d’un élément de fibre est proportionnelle au produit d’un élément de la section de la pièce et de la distance de cet élément à la surface de la fibre invariable ; car cette distance est proportionnelle à l’allongement ou à l’accourcissement. Toutes ces résistances partielles étant sensiblement horizontales à cause du peu de flexion qu’on suppose 'a la piece, et par conséquent parallèles, ont pour résultante une valeur proportionnelle à la somme des produits de chaque élément de la section transversale, multiplié respectivement par sa distance à la surface de la fibre invariable, ou bien encore au produit de la section entière et de la distance de son centre de gravité à cette surface (2 e partie, 42). Mais, comme le mouvement dû à la flexion ne peut s’opérer que dans le sens de la force P qui l’occasionne, il faut nécessairement que la résultante des résistances soit nulle d’elle-mème, ou que la fibre invariable ‘passe parle centre de gravité de la section transversale de la pièce. Il faut de plus que le travail total de toutes les résistances partielles soit égal au travail de la force P qui a produit la flexion, ou au produit P X CD ’ ou P X f- L’abaissement f de l’extrémité libre de la pièce est ce qu’on nomme la flèche de flexion. Or, je remarque que si on examine seulement chaque travail delà résistance des portions de fibres comprises entre deux sections consecutives pr et qs, on voit qu’il est proportionnel au produit de chaque section élémentaire transversale d’une fibre et du carré de son allongement ou accouicissement (S e partie, 73et 74), ou même encore au produit de chaque elemeot de la section totale multiplié par le carré de sa distance à la surface d~ ’ fibre invariable. Donc, enfin, le travail total des résistances des fibres est

DES MACHINES ET DES MOTEURS ,

proportionnel à la somme des produits de chaque élément de la section de la pièce multiplié par le carré de sa distance verticale au centre de cavité de la section entière; en un mot, il est proportionnel au moment d’inertie de cette section par rapport à un axe horizontal qui passe par son cemr» de

gravité, et qui est situé dans son plan. Enfin, comme ces distances constituent

en quelque sorte l’épaisseur verticale de lapièce, et que le travail de la résis tance de cette dernière augmente avec les carrés de ces distances et même encore avec l’aire transversale, on peut prévoir à l’avance que le travail delà résistance , ainsi que la résistance de la pièce , augmente comme le cube de

1 épaisseur de la pièce. En égalant le travail P X fde la force appliquée au

travail total des résistances des fibres, et en nommant I le moment d’inertie de la section transversale par rapport à un axe qui passe par le centre de gravité de la section, et dans le plan de cette dernière, E le coefficient d'élasticité, et L la longueur de la pièce, on trouve

rX-