M®=MV

C est-a-dire que les quantités de mouvement , perdues ou gagnées par les deux corps, seront égales entre elles pour chaque instant infiniment petit du choc : et la même égalité aura lieu aussi entre les quantités de mouvement totales imprimées, à chaque corps, entre deux instants quelconques de leur réaction mutuelle, c’est-à-dire entre les quantités de mouvement totales, soit perdues, soit gagnées par chacun de ces corps.

i -J-). Du choc des corps pendant la compression. NOUS supposerons ici que e corps (A') était au repos à l’instant où l’autre (A) est venu le rencontrer arec une vitesse finie etprécédemment acquise, quenous nommerons V ; ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de l’inertie de (A') qui tend à s’opposer au mouvement de (A), et, dès-lors, la force de pression variable F, agira pour diminuer, à chaque instant, la quantité de mouenaent MV du premier corps, de quantités qui seront égalesà celles qu’elle era na ffre dans l’autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conser- . era ea quelqu’une de ses parties, et de L vers N, une vitesse supérieure la ’ f ° n Voit k> en qu’il arrivera une certaine époque où, la compression, deformation des corps étant à son maximum , et le mouvement se trouaru communiqué également à toutes les parties, ces corps auront acquis meme vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie , du moins Pendant un très-petit instant.

mécanique industrielle.

156. V liesse des corps au moment de leur plus (fronde compression. jNomnions L la vitesse commune dont il s'agit, la quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera, au même instant, M'U, et eeiie qui a été perdue Par (A) sera MV— ML, laquelle, d’après ce qui précède, devra être égale à ia première M'U. La quantité de mouvement total MY , primitivement possédée par le système des corps, se trouvant doue être augmentée, d’une part, et^ diminuée, de l’autre, de quantités égaies, celles MU-»- M'U = (M-t-M')U, qui leur reste à l’instant dont il s’agit, sera aussi égale à celte quantité de mouvement primitive MY ; de sorte qu’on aura

(M + M'J II = MY 5 d’où U

MV

Ainsi, sans connaître la manière dont les corps se compriment et dont varie l’intensité de F à chaque instant du choc, on n’en peut pas moins calculer exactement la vitesse qui a lieu à l’instant de la plus grande compression où la distance des molécules cesse de changer , et où elles ont acquis un mouvement commun (153 ) cette vitesse est égale à la quantité de mouvement possédée par (A) avant le choc, divisée par la somme des masses des deux corps.

iDV . Du, choc pendant le retour des corps vers leur forme primitive . La plupart des corps tendant à revenir (19 et 95), avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés à un certain degré, on voit que les ressorts moléculaires vont, en se débandant, forcer (A) et (À') à réagir de nouveau l’un sur l’autre, mais pour s’écarter mutuellement, ce qui tend nécessairement à augmenter le mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer au contraire, de plus en plus, celui de (À) ; et, comme l’action est toujours égale à la réaction, il est clair, d’après ce qui précède (io4), que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales à celles qui sont perdues par (À). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n’est pas nulle, on voit bien qu’ii pourra arriver un instant où ia quantité de mouvement MV , primitivement possédée par (A), soit entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue à repousser ce corps , lui imprimera , en sens contraire, un mouvement de plus en plus rapide, et qui ne cessera d’augmenter que quand la pression F sera nulle; ce qui arrivera nécessairement à l’instant où les deux corps se sépareront, i’un de l’autre, en vertu de leurs vitesses respectivement acquises.

158. Du mouvement des corps après le choc. Il est clair, d’après ce qui précède, que ce mouvement ne peut, en général, se calculer, puisque nous ne connaissons pas non plus, en général, la loi que suivent ies forces de compression F pendant fa réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstances principales qui servent comme de limites à toutes ies autres, et qui répondent, l’une, au cas où les corps seraient entièrement privés d’élasticité, l’autre, au cas où, au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas , des corps non élastiques. Nous avons VU (17) qu’il n’existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d’élasticité, ou qui ne tendent , jusqu’à un certain point, à retourner vers leur forme primitive, quanu ils ont été comprimés. Toutefois on doit remarouerque, nonseulementîes corps mous, lesiiquides, etc., sont extrêmement peu élastiques quand iis ne sont pas maintenus, dans tous les sens, par des enveloppes solides: mais qu’a ussi la plupart des corps, qu’on regarde comme plus ou moins élastiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité par suite de la grande compression , de ia grande déformation qu’ils éprouvent pendant le choc: or, pourvu qu’ils ne se divisent, ne se rompent, ou ne se

APPLICATIONS, etc.

séparent pas à l’instant de la plus grande compression , ils continueront à "cheminer ensemble, en vertu de leur vitesse acquise, sans réagir désormais l’un sur l’autre ; de sorte que cette vitesse sera donnée par la formule cidessus, toutes les fois que l’un des corps se trouvera au repos à l’instant où le choc arrive.

Deuxième cas, des corps parfaitement élastiques. .Toutes les fois que les corps auront suffisamment de ressort pour revenir exactement à leur forme primitive, après l’instant de la plus grande compression, la force de réaction F reprenant, dans le débandement des corps, les mêmes valeurs (95) pour les mêmes positions relatives de ces corps, il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront précisément égales à celles qui font été pendant la compression , si , comme on le suppose ordinairement, les corps se séparent à l’instant même où ils sont revenus à leur état primitif, ce qui n’arrive pas toujours. Or de ià résulte un moyen de calculer, à l’avance , la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la vitesse perdue par le corps (A), à l’instant de la plus grande compression, étant (156) Y— U, il perdra de nouveau (157), dans le débandement, une vitesse égale à Y — U, et par conséquent ia vitesse qu’il conservera, après le choc, sera U— (Y —U) ou 2 U — Y . si Y — O est moindre que U, ce qui indique que (A) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V — U) — U= Y— 2 ü , si Y — ü surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A') , la force F lui a d’abord communiqué (156) la vitesse ü; elle lui imprimera donc, après l’instant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U, c’est-à-dire que sa vitesse , après le choc, sera 2 Ü. Mais nous savons calculer (156) la vitesse ü ; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment où iis se séparent après le choc.

Nommant W et W' respectivement , ces vitesses des corps (A) et (A') on aura, selon les cas spécifiés,