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159. Remarques relatives à II application des formules. Il est U116 infinité de circonstances où les corps marchent forcément de compagnie, avec la même vttesse, après le choc , sans que , pour cela, ces corps aient été entièrement privés d’élasticité avant le choc , ou qu’ils la perdent complètement par l’effet de ce choc : c’est ce qui arrive , par exemple, quand une balle a argile ou de cire molie, lancée contre un corps résistant et élastique , demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique’ lancee contre un hloc de bois suspendu librement au bout d’une corde ? u ciune barre, demeure enfoncée dans l’intérieur de ce bloc. Or il est don de remarquer que les conséquences qui précèdent , relatives au cas j?. s COr P s totalement privés d’élasticité, demeurent alors exactement applicables, parce qu’elles nesupposent uniquement que l’égalité de la vitesse conservée, par ces corps, à la fin du choc. Quelle que soit en effet la o&se on la force qui oblige ces corps à demeurer réunis, comme cette ce ? e P e pt agir sur l’un d’eux, sans qu’une force égale et directement co't raiFe a 8* sse au diême point et en même temps sur l’autre (64) , on confiera 116 ’ P en< ^ ant toute la durée du choc, les quantités de mouvement de < S ° U ac< I lI * ses P ar chaque corps, seront les mêmes pour tous deux;

sorte que finalement (A') aura encore gagné précisément ce que (A) au ca perdu (156).

alu 3nt au cas où * es cor P s se séparent après le choc . on ne peut jamais 1 iiner que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-des-

sus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement leur forme primitive; car cela suppose encore que leurs molécules n’aient point conservé de vitesses relatives à l’instant de la séparation , ou ce qu’on nomme des mouvements vibratoires (19; , lesquels absorbent toujours une certaine portion du mouvement primitif : en outre, il peut bien arriver, par exemple , que , pendant le débandement des ressorts, les corps soient retenus momentanément, l’un contre l'autre, par leur adhérence réciproque ou par tout autre obstacle qui empêcherait que lesquantitésde mouvement, imprimées alors, soient aussi grandes que celles qui l’ont été en premier lieu. Enfin il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur intérieur, des altérations moléculaires plus ou moins grandes, sans qu’aucune trace ne s’en manifeste quant à leur forme extérieure, etc.

Ces considérations , jointes à ce qu’il n’existe, en réalité ( 17 et suiv. ), qu’un très-petit nombre de corps qu’on puisse regarder comme parfaitement élastiques , expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse , à la lin du choc des corps solides, diffèrent toujours plus ou moins de celles quedonnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles qui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés d’élasticité. Cependant il est des corps élastiques, tels que les billes de verre, d’ivoire, etc-, qui, dans certaines circonstances de leurs chocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s’accordent , à peu de chose près , avec ce qu’indique le calcul.

1 60. E'i-emp/espar/ÛMh'e/ s. Faisons maintenant connaître quelques-unes des conséquences de nos formules. Supposons , par exemple , que la masse M' du corps choqué (A'), fig.o5, soit très-petite par rapporta celle M du corps

MV

choquant (À); la valeur de U sera sensiblement égale à -^--ou Y, c’est-à-dire

que la vitesse de M sera très-peu altérée à l’instant de la plus grande compression-, et, comme, dans le cas des corps parfaitement élastiques (138), on a W=2U — Y, W'=2Ü , on voit qu’à la fin du choc, elle ne le sera pas davantage , mais que le petit corps s’éloignera de l’autre avec une vitesse W'=2V double de celle de (A). Supposons , au contraire , que la masse M du corps choquant soit très-petite par rapport à celle M' du corps choqué; on voit que le dénominateur M + M' de U sera aussi très-grand par rapport au facteur M de son numérateur, et que par conséquent la vitesse U, à l’instant de la plus grande compression, sera également une très-petite fraction de la vitesseVque possédait le corps choquant; de sorte que , si M' est, pour ainsi dire, infiniment grand , par rapport à M, la vitesse TJ pourra être considérée comme sensiblement nulle. Si donc les deux corps doués d’une élasticité parfaite , la vitesse W', acquise par le corps choqué , serait elle-même infiniment petite, tandis que celle W =V — 2Ü du corps choquant serait V; c’est-à-dire précisément égale et contraire à celle qu’il possédait avant le choc.

Ceci explique , entre autres, pourquoi les cordonniers placent, sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les semelles de souliers , et comment il est possible de forger du fer sur une forte enclume posée sur le corps d’un homme ou sur le plancher flexible d’un étage supérieur, sans blesser cet homme, sans endommager sensiblement ce plancher et les murailles de la maison. On voit , en effet, que la vitesse communiquée à la pierre ou à l’enclume, et par suite aux corps qui les supportent, est extrêmement faible comparativement à celle que possède le marteau ; de sorte que la flexibilité* l’élasticité naturelle de ces corps suffit pour amortir les effets du coup sans qu’il survienne d’accidents.

APPLICATIONS , elc.

On s’expliquera aussi facilement une infinité de phénomènes, relatifs aux corps élastiques ou non élastiques, qui se passent journellement sous E os yeux : il n’est personne, par exemple, qui n’ait observé que, quand une bille de billard vient à en choquer une autre directement , c’est-à-dire de la manière dont nous l’avons entendu précédemment (154), il arrive qu’elle s’arrête tout à coup dans la place même qu’occupait cette autre, tandis que celle-ci chemine avec toute la vitesse de la première ; or, c’est ce que* montrent très-bien nos formules. Les masses M et M' de deux corps sont ici égales, l’élasticité est, pour ainsi dire, parfaite ; de sorte eue la vitesse U, commune aux deux corps à l’instant de la plus grande

compression, a pour valeur — = 3 V; ce qui donne, pour celle de M

anrès le choc, W =21) — V= o , et enfin, pour celle de la bille choquée

w'=2tJ=y.

161. L>e la force vive des corps après le choc. D’après ce que nous avons déjà dit, N üS 95 et 159, on peut prévoir que, dans le choc des corps parfaitement élastiques , la force vive perdue pendant la compression , doit être précisément égale à celle qui est restituée dans le débandement, tandis que, dans le choc des corps qui ne reviennent pas exactement â leur état primitif après l’instant de la plus grande compression , la somme des forces vives doit être altérée d’une quantité précisément égale au double de la quantité de travail nécessaire pour produire l’altération de forme ou de constitution éprouvée par les deux corps ; quantité qu’on pourrait directement calculer (456 et 157) si l’on connaissait, pour chaque instant du choc et pour chaque corps, la valeur moyenne de la force de réaction F et celle du petit enfoncement qu'elle produit dans ce corps. Il est évident , en effet, que le travail, relatif à cet instant, serait mesuré (72, 85 et 86) par le produit de F et de la somme des enfoncements qui lui correspondent dans les deux corps. Mais, comme on ne connaît ni la loi que suit cette force , ni celle de l’enfoncement , on n’a d’autre moyen de mesurer , soit le travail , soit la force vive développés ou perdus dans le choc des corps, qu’en les déduisant directement des vitesses que possèdent ces corps avant et après l’instant du choc , vitesses qu’on ne peut calculer rigoureusement d’ailleurs (139) que dans un petit nombre de cas.

Par exemple , ayant appris, dans les cas ci-dessus (156) où un corps en choque un autre au repos, à calculer la vitesse L qui leur est commune à 1 instant de la plus grande compression, nous pourrons aussi trouver la force Vive qu’ils possèdent à cet instant , et la perte de force vive due à la réaction de leurs ressorts moléculaires. En effet , la force vive tolaie (122 et 426) était, avant le choc, MV 2 , et, à l’instant que l’on considère, elle est MIP-f-M'IP ou (M-j-M') U 2 ; donc la perte de force vive a pour valeur

Maison a trouvé (156)

MV 2 — (M-fM') U 2

MV