MV

lt«

c’est-à-dire à ta force vite que possédait la masse M avant le choc, multipliée par le quotient de la masse M' et de la somme de ces masses (1).

La moitié de cette valeur sera donc aussi (15/ ) la mesure au travail développé , par la force de réaction F , pour opérer ia compression des deux corps.

Si le choc finit à l’instant de la plus grande compression, ce qui revient à supposer que l’élasticité de ces corps soit nulle ou^ ait été complètement détruite, ou, plus généralement, s ils ont acquis forcément ia même vitesse après le choc (188) , la quantité ci-dessus donnera encore la perte de force vive occasionnée par ie changement d’état on de forme des deux

Mais , si le choc continue après i instant dont u s agit , et que les corps finissent par se séparer , une portion de cette même force vive sera restituée dans le débandement des ressorts moléculaires : mais elle ne pourra l'être intégralement qu’autant que les deux corps seraient revenus complètement à leur état primitif (188 et suiv.) C’est, en effet, ce qu’on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquées aux valeurs des vitesses qui, selon le N° ia8. ont lieu alors après le choc.

1S2. Conséquences particulières. Supposons que la masse M' du corps choqué (A’), ftg. â5 , et qui est au repos avant le choc soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (A), M' sera aussi très-petit par rapport à M+M'; et par conséquent la perte de force vive MY*, re-

lative au cas où ces corps ne sont pas élastiques , se réduira à une trèspetite fraction de celle MV 2 qu’ils possédaient avant le choc. On peut, dans des circonstances semblables, négliger une telle perte dans le calcul des résistances d’une machine, pourvu que le choc ne soit pas fréquemment répété (97); mais ii en est tout autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande par rapporta celle M du corps choquant; car la frac- M'

tion pourra approcher beaucoup de l’unité , et par conséquent la

perte de force vive différer très-peu de la force vive MY 2 possédée par ce dernier corps avant le choc. Supposant seulement M' = M, la valeur de cette fraction sera i, et la perte s’élèvera déjà à la moitié de MY 2 . On voit donc combien il est essentiel d’éviter, dans la construction des macrnnes , qu’un corps vienne inutilement choquer un autre corps en repos, dont le poids est Comparable au sien propre.

Nous disons inutilement, parce qu’en effet, il est quelquefois utile dopérer par le choc sur la matière à confectionner : c’est ainsi , par exemple, que procèdent les forgerons pour donner différentes formes aux métaux, et que les cordonniers parviennent à étendre les semelles de cuir et à augmenter leur densité , leur raideur ou leur force de ressort ; mais alors même un ouvrier qui a l’expérience de son art, ne manque jamais d’employer des marteaux, des enclumes bien aciérés et trempés, ou tout autre corps plus on moins élastique , conformément à la remarque qui en a déjà été faite au N° 98 ; de sorte que la consommation de force vive qui a Peu alors ( 189 ), est, du moins en très-grande partie, employée à produire le changement de forme même de la matière à confectionner.

C’est encore ici le lieu de rappeler ( 97 ) qu’il ne suffit pas que les corps soient élastiques pour qu’on puisse affirmer qu’il n’v ait pas eu eonsom-

(i)iNous engageons les lecteurs peu accoutumés aux calculs avec des lettres, à répéter

la

série des raisonnements sur un exemple particulier, en se rappelant (i2Ô) que la «russe d’un corps est ie quotient de son poids par y ou 9 m ,$oSS == 9 ", 8 1

environ.

APPLICATIONS, etc.

gjgtion inutile de travail ; car il faut encore que la force vive, qui est restituée par Ses ressorts moléculaires après ie choc, soit utilement employée. C’est bien ce qui arrive, par exemple, à l’égard du marteau des forgerons, puisque l’élasticité, en renvoyant le coup , sert à élever ce marteau contre faction de la pesanteur, et aide la main de l’ouvrier habile qui sait en profiter ; mais le contraire peut aussi arriver, si, par exemple , l'enclume est assise sur un terrain mou: la force vive qu’acquiert celte enclume est alors, en partie, consommée à produire l’enfoncement du sol ; aussi les maîtres de forge entendus ont-ils soin de placer de gros blocs de bois ou des chas pentes très-élastiques sous leurs enclumes. Il n’est pas moins indispensable aux ouvriers de tous les autres états, de choisir, pour leurs chantiers et établis, des corps à la fois raides et élastiques ; il faut en outre qu’ils soient suffisamment lourds et stables ; car alors ne prenant qu’un mouvement insensible (160) , et n’acquérant qu’une force vive très-faible, ils auront très-peu d’action pour déformer ou comprimer le sol ; de sorte que. quelle que soit sa constitution , les pertes de travail seront tout-à-faii négligeables.

165. Formules relatives au casle plus général du choc direct. Jusqu’ici nous nous sommes uniquement occupés du cas où i’un des deux corps est en repos : mais il n’est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de vitesses quelconques avant le choc.

A cet effet , nommant M , M' les masses , V, V' les vitesses respectives des deux corps, avant le choc, et U leur vitesse commune à l’instant de la plus grande compression, on observera que, quand les corps cheminent dans le même sens, fig. 56, la force de réaction F ( 154 ), diminuant la quantité de mouvement MV du corps (A) de quantités égales à celles qu’elle ajoute à la quantité de mouvement M'Y' de (À'), la somme MV-r-ïï'V' des quantités de mouvement primitives, reste encore la même à toutes les époques du choc. On a donc , à l’instant où la vitesse est U pour les deux corps ,

Ml T + M'U ou (M + M') U = MV 4- M'V'; d’où II = Alv ‘‘ X ,

tandis que, dans les cas où les deux corps (A) et (A') vont à la rencontre l’un de l’autre , fig. 57, animés des quantités de mouvement MV, M'Y', Sa force de réaction diminuant chacune d’elles de la même valeur (154). leur différence absolue MV — M'Y' ou M'Y'— MV demeure aussi la même à tous les instants ; de sorte qu’en supposant que MY surpasse M'Y', on aura, à i instant où la vitesse est U pour les deux corps ,

MU -f M'U ou (M 4 M') ü = MY — M'Y'; d’où Ü = ^JT- M T

[a vitesse U étant nécessairement dirigée dans le sens de celle V. qui répond a la plus grande des deuxquaniités de mouvement primitives, MV et M'Y'.

Quant aux forces vives, possédées ou perdues, au moment de la plus grande compression, c’est-à-dire lorsque les corps ont acquis le même mouvement , on les calculerait aisément au moyen de la vitesse U ; mais ? p - peut arriver immédiatement à la valeur de la perte commune à la fois aces corps et qu’il est souvent essentiel de connaître , en observant que, ü ans les deux cas dont ii s’agit. Leur réaction réciproque s’opère uniquement en vertu des vitesses relatives (46 et 8§) dont ils sont animés avant le c -oc ; de sorte que les valeurs de F et les changements d’état ou de forme correspondantes sont, à chaque instant, les mêmes que si , le corps (A') , par exemple, étant au repos, le corps ( À ) venait le choquer avec une vi-

tesse Y— V' égale à la différence de leurs vitesses pour le premier cas, et avec une vitesse V -f- Y' égale à la somme des mêmes vitesses pour celui où les corps marchent en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement ( 83 et 159 ) de l’intensité de la réaction des deux corps à chaque instant du choc, sera donc (161), au moment de la plus grande compression, pour le cas où les corps marchent dans le même sens ,