PY + P'Y

ou L =

selon le sens du mouvement des corps avant le choc.

C’est d’après de tels exemples, qu’on se croit quelquefois autorisé à prendre généralement le poids d’un corps pour sa masse ( 125) ; maison commettrait une erreur grave si l’on eh agissait ainsi dans les calculs relatifs à la force vive des corps.

Par exemple, dans les cas ci-dessus (165) de deux corps qui se choquent en marchant dans ie même sens , nous avons trouvé que la* perte de force vive, à l’instant de la plus grande compression, qui répond à la fin du choc quand les corps ne sont pas élastiques, avait pour valeur

MM' (Y — Y'f M + M' ’

APPLICATIONS, etc. 10 çy

tandis que, selon l’autre manière de voir, elle serait

PP'IV— YT P -f- ?' ‘

Or il est facile de s'assurer que, par la suppression delà division des poids P, P' qui donne ( 126 ) les masses M, M', on aurait multiplié réellement deux fois le numérateur de la fraction par g , et seulement une fois le dénominateur : de sorte que le véritable résultat se trouverait en effet multiplié par g. Si donc on voulait obtenir ce véritable résultat en se serrant des poids , il faudrait diviser la dernière des fractions ci-dessus par g ou 9”’.8Û88. ce qui donnerait

PP' (Y — y') 2

Ainsi on pourra, dans la vue de simplifier un peu les calculs, se servir de cette dernière formule au lieu de celle qui contient les masses ; quant à la précédente, on doit bien voir maintenant qu’elle est absolument fautive. On pourra d’ailleurs appliquer des simplifications analogues aux diverses autres formules ou résultats de calculs concernant le choc direct des corps.

163. Comparaison des effets des chocs et des pressions simples. On a quelquefois essayé de mesurer directement les chocs par les pressions ou les poids :ainsi l’on a dit, d’une manière absolue, qu 'un certain poids, tombant de telle hauteur sur un corps, équivalait à une pression de tant de kilogrammes exercée sur ce corps ; or, il est bien évident que ces deux choses sont toutà-fait distinctes , et ne peuvent se rapporter à la même unité de mesure, dans le sens absolu dont il s’agit. Mais il en est tout autrement quand on entend parler des effets mêmes que peuvent produire les chocs et les poids ou pressions simples qui agissent sur les corps sans vitesse acquise ; car un poids posé, par exemple, sur une certaine substance, s’y enfonce ou la comprime plus ou moins (65), et il développe , dans sa descente, une quantité de travail (89) qui est tout-à-fait comparable à la force vive que perdrait un autre corps (161), pour produire la même compression, le même effet.

Dans les deux cas, on a à considérer une suite de pressions variables pourchaqueinstant, et qui se Succèdent, sans interruption quelconque , tout eu produisant le changement de forme du corps. Or cette succession n’est pas une pression simple et unique ; on ne peut pas non plus la mesurer en ^‘Ograœmes par une somme de pressions, puisque cette somme est infinie, même pour un très-petit temps de l’action des forces et pour un moulinent extrêmement lent ; mais, comme il y a à la fois pression ou effort et chemin décrit dans chaque instant très-petit , il y aura aussi un petit -ravail développé dans cet instant ; et c’est la somme finie de ces travaux partiels qui , dans tous les cas, donne la mesure de l’effet produit.

1 * ((slbon de remarquer d’ailleurs que les mêmes géomètres qui mesurent es effets du choc par des sommes de pressions , nomment ces sommes des '°’ ces de percussion , et les considèrent comme égales aux quantités de mouqui ont été imprimées ou détruites dans l’acte du choc; tandis que, ternit l? utre manière de voir, qui est aussi simple , et d’ailleurs parfainai' 6 i! CCOr ? avec * es r ® su ^ a ^ s de l’expérience, nous sommes conduits ' " llre ‘‘ era ent à mesurer ces mêmes effets du ch oc par la force vive dî-

e went employée à les produire.

Applications particulières relatives au choc direct.

ïilu^' ^.° C '^ vn cor p s Qui tombe , d’une certaine hauteur, s ‘ Sow ,!l0ln s molle. Supposons qu’on laisse tomber, d’une c*.

:r une substance •laine hauteur,

110 MÉCANIQUE UN DUS! iU EL LE.

un corps cubique et très-résistant P (Fig. 58) , tel qu un cube de fer pesant 300 kil. , sur une substance plus ou moins molle , terminée par un pian de niveau AB, et dans laquelle il pénètre par une de ses faces ab parallèle à ce plan. Soit l m ,50 la hauteur b'c d’où le cube est tombe avant a atteindre AB et G m ,02 la quantité totale bc de i enfoncement observé a i instant où le choc est complètement terminé ; Usera donc descendu réellement de la hauteur l m ,50-f-G m ,G2=i m , 52 , et la quantité de travail développée par la pesanteur, dans cette descente, sera mesurée (121) parle produit o00 k Xt m ,52=o96 km ; c’est donc là aussi la mesure du travail nécessaire pour produire l’enfoncement des 0 m ,02 avec nés cii constances

semblabies, on pour produire un effet identiquement égal.

Cette conséquence résulte immédiatement de ce qui a été dit précédemment (Î58 et suiv.) sur le choe des corps durs qui rencontrent des corps mous ou privés d’élasticité ; car ici le corps P atteint le plan ÀB av ec une force vive égale à 2 X 5Q0 k X î m ,50 = 780 (122), et cette force vive peut être considérée comme presque entièrement consommée (162) pour produire le changement de forme AB, attendu que l’altération du cube est négligeable, et que la masse de la substance AB qui reçoit le choc, étant ici censée très-grande par rapport à celle de P , ou étant censée faire partie du sol, soit directement, soif par l’intermédiaire des corps qui la supportent, la vitesse et par conséquent la force vive conservées après le choc, seront extrêmement petites (160 et suiv.), de sorte quon pourra les négliger par rapport à celles que possédait P avant le choc. Or cette dernière force vive se convertit , à partir de 1 instant où le corps atteint le plan AB, en une quantité de travail égale (136) à la moitié de sa valeur , c est-a-oire à 590 km entièrement employés contre les résistances du sol: de plus, la gravité y ajoute, pendant que le corps s’enfonce, une quantité mesurée par le produit du poids 500 k de ce corps et de la hauteur le de i enfoncement; donc, au total, la résistance qu’éprouve le cube pendant qu'il pénètre dans la substance AB et de la part de celte substance, développe bien réellement, contre le mouvement, une quantité de travail égale a o80 km -+- 500 k X 0' n ,02 = o90 km •+■ 6 km = 596 km , quelle que soit d’ailleurs la manière dont varie l’intensité propre de cette résistance aux divers instants de l’enfoncement.

Maintenant, si l’on pose doucement, sur AB, un prisme vertical R de même base que le cube , et dont la hauteur et le poids soient tels qu au bout d’un temps plus on moine long, il s enfonce des mêmes 2 centimètres bc. la quantité d’action que la pesanteur aura développée, sur le prisme, pendant sa descente de cette hauteur, et qu’aura consommée la résistance de AB , sera le produit de 0 m ,02 par le poids R de ce prisme, c’est-à-dire Q m .G2 X R- Mais, comme les effets produits par le prisme et par le cube sont identiques dès l’instant où ii est permis de négliger la vitesse communiquée au sol, les quantités de travail que ces effets supposent, de la part de la résistance de AB, doivent être regardées aussi comme égales , et partant on a

R X 0 m ,02 = ô96 km ; d’où R= AÀÉ = |9,800 kil -

Tel est donc le poids qui pourrait produire, dans un temps plus ou moins long, un effet égal à celui qui résulte, dans un temps généralement très-court , d’un poids 66 fois moindre, lancé avec la vitesse de 5“,Go due a la hauteur de l m ,o0 (118).

167- Calcul hypothétique de la durée de V enfoncement produit par le choc n La valeur effective du temps que le corps P met à s’enfoncer des 0 m ,0ei-dessus. ne peut s'obtenir qu’au tant que l’on connaîtrait, par des expériences spéciales, la loi que suit la résistance du sol aux divers instants,

APPLICATIONS, etc.

ce qui n'est P as - pour offrir un exemple de calcul, nous supnose-

rons la résistance constante, ou plutôt nous la supposerons remplacée dans les divers instants, par sa valeur moyenne (75); de sorte qu’elle sera censée (107 et 1 12) retarder uniformément le mouvement du prisme on da culte.

Or nous savons que , pendant la durée du choc , elle développe une quantité de travail égale à 598km, donc (75) elle a pour valeur moyenne

£^L= 198 Û 0 M: c’est-à-dire qu’elle est précisément égale au poids du 0 02

prisme qui produit le même enfoncement ou le même effet ; ce à quoi on devait bien s’attendre en la supposant tout-à-fait constante (1). Celte résistance étant directement opposée à l’action du poids des oOOkii du cube ce dernier sera en réalité sollicité, pendant renfoncement, par une force motrice constamment égale à 19800k —500k = 19500kü, et agissant, de bas en haut, pour retarder son mouvement primitivement acquis, ou pour détruire la vitesse de 5 m ,05 qu’il possède à l’instant où il atteint AB.

Avec ces données , il ne sera pas difficile de trouver le temps que la résistance mettrait à éteindre complètement la vitesse en question: car puisqu’on la sup pose constante, elle imprimerait, au bout de l’unité de temps,

une vitesse V t qui sera donnée par la formule F — M V t ou Y l =— m,

b° 132 : or ici

donc V,=Æg=637",67.

Mais, puisque la force constante est capable d’imprimer la vitesse de 657“, 67 au bout d’une seconde , il est évident (110) qu’elle mettra à imprimer ou détruire la vitesse de 5 m ,05, un temps t qu’on obtiendra’au moyen de la proportion

657 m ,67 : l" :: 5-, 05 : t ■ d’où t = 0",008 = ^

de seconde à-peu-près.

Les mêmes résultats s’obtiendraient immédiatement d’ailleurs au moyen de la formule F=M ~ du N° 150, en observant qu’ici les raisonnements

sont applicables à une vitesse et à un temps quelconques: car elle donne pour le temps t qui répond à la vitesse de o m ,05.

Mx o,05 30,58X5,05

comme ci-dessus.

168. Cette durée est d'autant moindre que le corps choqué est plus raide. j ° us venons de trouver que, dans Fhypothèse d’une résistance constante. le temps nécessaire pour produire l’enfoncement des 2 e , est de 8 millièmes de seconde environ. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante, assez dure pour que l’enfoncement fût seulement de 0 m ,001 ûa ns les mêmes circonstances, on trouverait, en recommençant les calculs

\0 Puisque la résistance est ici égale au poids du prisme, ee dernier ne s’enfoncerait P a s j conséquence qui prouve assez que l’hypothèse d’une résistance constante n’est point '-anssible : cette résistance croît nécessairement à partir de l’instant où renfoncement ^ ’ernence. et c’est ce qui paraît évident en soi, vu la plus grande facilité qu’a alors la matière se ^-placer latéralement ou sur les côtés du cube et du prisme.

MEGAN IQI

qui précèdent- -que le poids R du prisme qui produirait cet enfoncements

sera it — .=596000tii, e t que la force motrice F, qui agit pendant

le choc, aurait pour valeur moyenne ces mêmes 596000k diminués de500-t ou 595700k.il, qu’en fin la durée de l’enfoncement serait seulement de 0". 00059 , ou environ vingt fois moindre que dans le premier cas ; ce qui démontre combien doit être excessivement courte la durée du choc des corps raides tels que le marbre, l'acier, l’ivoire, dont les dépressions sont quelquefois si faibles qu’il est comme impossible de les apprécier par des moyens directs.

A la vérité , nous avons supposé , pour parvenir à ces résultats , que la résistance des corps à l’enfoncement était constante ; mais la même conséquence peut se déduire de nos principes , quelle que soit la loi de la résistance ; car la force vive détruite, par exemple, pendant la première période (156 et 161) du choc de deux corps quelconques , ou pendant leur compression, étant généralement très-comparable à celle qu’ils possédaient avant le choc, il en sera de même (158) du travail développé par leur force de réaction réciproque F. L’enfoncement étant donc- extrêmement petit,

il faut nécessairement (95) que la courbe du travail Oa'b’e (PI. 1 ,

Fig. 26), s’éloigne considérablement de l’axe OB des abscisses, du moins à compter d’une petite distance de l’origine; de sorte que les ordonnées, qui mesurent les valeurs de la force de réaction F , devront aussi être

extrêmement grandes

formule t — ^ déjà citée h

Or de là on conclut , sans difficulté , soit par ia oit par la construction de la courbe des

vitesses (154, Fig. 52), que le temps nécessaire pour produire renfoncement ou la compression, doit être, de son côté., d’autant plus petit que les valeurs de F sent elles-mêmes plus considérables et l’enfoncement totai moindre. Mais, attendu que Faire comprise entre cette dernière courbe et Taxe des abscisses mesure effectivement les espaces décrits ou ies enfoncements, il n’est pas même nécessaire de recourir à la courbe des pressions, fig. 26, pour voir que, si l’enfoncement total est extrêmement petit, tandis que la vitesse conserve une grandeur donnée , la durée du mouvement doit elle-même être extrêmement courte.

169. Observations générales sur la communication dmnouvement parle choc. C’est à cause de l’excessive petitesse de la durée du choc des corps trèsrésistants, que les mécaniciens se sont crus autorisés à regarder généralement comme entièrement nulle cette durée, et que, par suite , ils ont été conduits à supposer infinies les forces de réaction qui se développent pendant la compression réciproque des corps. Mais nous voyons bien clairement maintenant que, puisqu’il n’existe pas de corps infiniment durs, on ne peut pas dire, non plus, en termes absolus, qu’il y ait changement brusque ou instantané de leur vitesse; la communication du mouvement par le choc ne diffère, en effet, de celle qui a lieu par les forces motrices ordinaires, telles que la pesanteur, etc. , que parce que généralement cette communication s’opère dans un temps réellement très-court, et que la force de réaction acquiert ainsi une très-grande valeur. Encore devonsnous remarquer qu’il arrive souvent que des corps réagissent l’un sur l’autre, par leurs vitesses acquises, sans que La pression soit excessive, sans que la durée de la réaction soit très-courte; et que réciproquement des forces motrices , qu’on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires, telles que celles qui résultent, par exemple, du ressort des gaz de la poudre , etc. , communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande dans un très-petit temps, attendu la grande intensité

APPLICATIONS, etc.

de leur action. La distinction qu’on voudrait établir entre des phénomènes

-ii ont autant de connexion entre eux , ne pourrait donc servir

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qui v*-- - • ~ J «V|»UU11U11. UU1JU ÔCJ

pliquer l’étude de la Mécanique, en y introduisant, sans utilité imné diate, un ordre de considérations qui n’y est point indispensable

170. Utilité du choc dons les arts; battage des pilots de fondation Ma ; nle nant on doit bien concevoir comment il est possible de comparer les effets des chocs, sur les corps , à celui des pressions ordinaires oui nrodnî sent des mouvements plus ou moins lents: on conçoit très-bien aussi nue le choc produisant, dans un temps extrêmement court, un travail ou rn effet comparable a celui que produisent, dans un temps généralement beaucoup plus long, les pressions ordinaires, il y ait souvent avance nécessité même d’employer ce mode d’action dans les arts mafonMes inconvénients qui y sont attachés (162). Car. toutes ies fois que la pression ou leffort direct dont on pourra disposer pour produire un travail nmramque, sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudra recourir an choc qui développe des pressions considérables et toujours en rapport avec la force ae reaction. “ dVLL

On s’expliquera encore aisément le but qu’on se propose en plaçant sous les fondations des édifices très-lourds, tels que les piles de nônts les palais, les remparts, etc., de forts pieux ou pilots affûtés vers le bas pi enfonces, sous le sol, à coupsde mouton. Le poids dont est char»» veiî'in ieœenl chaque tête de pilot par les constructions établies directement au dessus , représente celui II du prisme dont il a été question au j\ T " 166 et

qu a com-