TT

nn’

kb.

et prouve, attendu que kl' = /' y/ 1 = est une quantité constante

Sffiiïf P° sitions< Je l’extrémité B:!" queles accroissements infiniment peucs t. d u temps, sont proportionnels aux accroissements nn. de l’arc R»

de laciSct? a r Sp f e t Bm T \ déjà dé £ it i par le point d’application n?/ 8 llnStant 011 la Vltesse est Vj 2° que la vitesse de circula-

hon (48), du point n : sur le cercle auquel il appartient, est ici constante

enrnr *1 ^ de sorte *ï ue son mouvement est rigoureusement uniforme,

varip co 160 que Cellii du p0int ni -> au( î uei il correspond à chaque instant. VdJ ie sans cesse.

- y éométri 1 ue du temps. Nommant donc T le nombre des sernnr f co , ulées depuis l’origine du mouvement, où m était en B, on aura,

pour calculer T, la formule

arc. B n

ou • ~~ W

ilf ®^ U1 est !a même chose, on aura, pour calculer l’arc B n et, par suite,

p o . arc.Bra = kl'T.

°' mu ^ es trigonométriques. Ordinairement on nomme, dans le cercle dont

le rayon BC, ou Cm, serait pris pour l’unité : mn le sinus d’un arc tel ai Bm, qui est aussi la mesure de l’angle au centre correspondant BCn g r e son sinus-verse , et Cm son cosinus. En adoptant ce langage des géomètres* et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui soutendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, aussi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants, on aura donc 4

ang. BC m= b ^,‘ y — AT, Bï/i ou /= /' sin vers BCm = V sin vers kl

ou bien l — BC — Cm = l' — /' cos AT = l’ ({ — cos AT).

Ces formules, après y avoir substitué les valeurs de k et de /', d’après le N 0 515, permettront de calculer, au moyen des tables trigonométriques connues, celles des allongements /, qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés ; ce qui, avec la formule

V = k.mn = A. /.sin kT,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de découvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de la charge Q , ou de son point d’attache, B.

513. Principales circonstances dumouvement oscillatoire des prismes. Pour en acquérir une idée précise, il faut remarquer que le point m (Fig. al), une fois parvenu en D, rétrogradera ensuite, tandis que le temps T, qui devient alors égal à

arc. B«D vT ir / i f OL

kl' = U ,== ~k = * y 7 = ^ V a-, étant le rapport 8,1416 de la circonférence au diamètre, croîtra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, BnBx, comptés toujours dans le même sens, à partir du point B; qui pourront embrasser plusieurs demi-circonférences ou circonférences entières, et auxquels correspondront des vitesses constamment proportionnelles aux ordonnées, ou sinus mn, xij , de leurs extrémités, et des allongements également proportionnels aux abscisses ou sinus-verses Bm, B>i , relatifs à ces arcs respectifs.

On voit d’ailleurs que, quand le points ou ar, aura atteint B, ce qui arrivera au bout d’un temps mesuré par la circonférence entière BnBxB, divisée par la longueur c’est-à-dire au bout d’un nombre de secondes égal à

et, par conséquent, double de celui de la demi-période descendante, les mêmes choses reviendront régulièrement , dans le même ordre, et ainsi alternativement et indéfiniment. Toutefois on suppose ici que l’élasticité demeure parfaite , et l’on n’a égard ni à la résistance opposée par l’air , ni aux ébranlements, aux mouvements vibratoires qui , en se transmettant à la masse du point d’attache , A , par l’intermédiaire des molécules de là tige de suspension AB , détruisent ainsi continuellement des portions de plus en plus sensibles de la force vive primitivement acquise dans la denuoscillation descendante de la charge O, et finissent, comme l’expérience 1® démontre , par réduire le prisme au repos , en très-peu de temps.

Amplitude, durée , nombre et vitesse moyenne des oscillations. Le plus gran allongement^ 2/', subi par le prisme dans ses mouvements alternatif»n’est ici autre chose que ce qu’on nomme, en général, r amplitude des osci lations de la charge ou de son point d’application , B, et, par conscqu eDt '

DES RÉSISTANCES

rallongement permanent, ï ( 310 ), qui aurait lieu sous l’action de cette charge , n est elle-meme que la demi-amplitude de ces oscillations ou ce qu on peut nommer l’amplitude des excursions de cette charge de nart et d’autre de sa position moyenne de stabilité, C. Donc d’après ce qui précède, la duree des oscillations entières du prisme est proportionnelle à la racine quarrée du rapport de cette dernière à la vitesse, g . que ta gravité imprime aux corps en chaque heu (11/ ). Quant au nombre de ces oscillations, de ces retours de la charge a une même position, pendant la durée d'une seconde sexagésimale, sa valeur que nous nommons, en général, i\\ sera évidemment donnée par la formule ’

N =s=è=JV"r= s\/

gkE

ne soi te que ce nombre croîtra précisément dans le rapport inverse de celui qui précédé, ou, pour nous énoncer d’une manière plus explicite:?/ croîtra directement comme la racine quarrée de la résistance élastique naturelle AE du prisme , et inversement comme la racine quarrée du produit , OL, de sa Iongumr y par la charge qui lui est constamment appliquée .

n T e l? f oseillations de <^10 charge étant ici égale f du double de leur amplitude , 21', parleur durée, ou au

4 ’ par e n0îïlbre X, cette vitesse sera également fournie par i expression

? ir y y A

wmp!t!f anS i hypothèse où l’élasticité demeurerait parfaite, et où le moului-même , indéfiniment et sans perte. Mais nous S1 , U e que ces divers résultats sont indépendants de cette v ™^ C0nS 3 f?’ 0l ! d « décroissement plus ou moins rapide de la vitesse effective et de 1 amplitude des oscillations. F

«'lai r»T S dlrectes sur ! a nature du mouvement. On se formera une idée trèsnnmTcn 1 mou . TeDQe ° t .' oscillatoire , pour ainsi dire théorique , dont nous

Trémif^n” eS JUSq a 1Ci OCCUpé ’ si Pon ima 8<ne que le point «, dont i’ex- ^lem.erienre du prisme représente, à chaque instant, la projection

moi Fe VertlCal 5 BD ’ du cercle, BnüxB (Fig. 51) , chemine d’un

( ri 8 0ure usement uniforme, et avec une vitesse mesurée(5^5)par

U=y gi ,sur le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait l’extrémité de l’aiguille d’une montre, a mesure, la marche régulière du temps. Le système d’une manivelle qui : e meut cireulairement et uniformément autour d’un axe sur lequel elle est iffipantee, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par 1 intermédiaire d une longue bielle, offre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, a priori, une notion géométrique également précise, en construisant ia courbe qui a pour abscisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses corresponants ( 314 ), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu’on nomme sinusoïdes.. * 1

•à 16 . Recherche de la force motrice variable qui sollicite le prisme pendant le mouvement. Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire es prismes , dans le cas élémentaire qui nous occupe^ il est nécessaire de Jfiontrer comment on peut obtenir et calculer directement les efforts qui - exercent réellement à leur extrémité inférieure , B (fig. ol), pendant la

sont

sur la

durée de chacune des périodes d’oscillation de la charge O, efforts ardus , évidemment (tôü et saiv.) , à l’excès du poids de cette charge su

force d’inertie -y ~ , à tous les instants où il j a accélération de mouve

ment et à l’excès contraire de celle-ci sur le même poids lorsfncn, simple rallentissement. ’ "““La

. nommant P, l’effort dont il s’agit , et que nous savons déià (3l=h égal a O , aux instants où l’oscillation commence et finit , et devenir' 4X7 sement nul quand l’extrémité E est arrivée au milieu, C, de sa com4 Jiv n0 n s f. uron , s ’ en particulier, pour calculer P, dans toute la partie BO de I oscillation descendante où le mouvement s’accélère . et plus snémiX ment pour la position m de B , ’ 1 ^eciale-

Mais , comme nous savons aussi (314) , que le temps infiniment petit . t

est mesure par le rapport — , et que la vitesse V, de la charge supposée

parvenue en m, est mesurée par le produite . m», ou son accroissement*, par k , np , il en résulté immédiatement

v p i' n P n 'P Cm

C n~t' Cm ’

attendu que A 2 JL (313), et que les triangles, semblables et rectangles,

nn P , m C n , donnent np ; nn \ ; Cm Donc , enfin , la force cherchée ,

Cn = ï .

mB l

ou bien, en adoptant (314) les notations de la trigonométrie,

P = 0 (1 — cos AT) = Q — O. cos AT 5

4 4/, (414 ' 8 ^ UC V ntens ^® de cet ( e force suit la même loi de périodicité 5L pi . ‘ 4 Seœe J rîlS . ( nêmes .d' ü prisme , fait que nous eussions pu consi- ,7‘ hvnnfh JJ yi T ata P nort ’ pnisqne ces allongements doivent, d’après produisent " S6S 1 c ‘ emeurer exactement proportionnels aux efforts qui les

r>.j4?44 et ’ S * continue ici a nommer i , l’allongement proportionnel ou Ç® p etl ,. e< ï ue sussent les divers éléments du prisme, sous l’action variable a - l0n f emeî î t fiui » dans nos hypothèses encore (512 et 515) , est le

tp47f4ui U D tOUS ’ a un înstant donné, et ne dépend uniquement que de lïfltensn^ ne P , on aura , pour le déterminer,

l = r = L ( 4 ~ cos *T );

P = AEi

ce qui donne immédiatement

ae r,

: - (f — cos AT ) =0 (1 — eos AT) ,

attendu qu’ici (515) QL = AET ; mais nous avons été bien aise de montrer comment ou pouvait arriver à cette expression par la voie directe.

, ^ e , s . resu ^ âtS permettront d’ailleurs de calculer et de discuter, à priori, 'es diverses valeurs que prennent, P et i , aux instants successivement écoulés depuis 1 origine du mouvement ; mais cette discussion est trop

DES RESISTANCES

facile pour qu’il devienne nécessaire de s'y arrêter. JNous ferons «...i ment remarquer que ces valeurs oscillent périodiquement autom L f. moyennes respectives, en changeant de sens ou de "L e a h ol- ll comme !e fait , lui-même. l’allongement, /ou «B, du prisme Sf instants du mouvement (314). ’ pusme > au x divers

517. Application à un exemple particulier. Considérant nnfsmm^, i barre de fer mentionnée au N° 510 , et pour laquelle on a 1 ]a

L = 10m , A = 0mq,002a , O = 1 0000k, on trouvera en vertu des formules exposées dans les trois précédents

? uans les trois précédent

numéros , °u ion suppose la charge Q , simplement suspendue à l’extîé mi e inferieure ae la tige AB , sans vitesse antérieurement acquise i° Pour hillonppmpnf âp cfahn.'fA -y , jaist .

1° Pour l’allongement de stabilité.

* * C 5 i,a JJiil l Ç , Z

effort agissant sans vitesse appréciable, v Q __ 10000