AE" IM
lequel se rapporte à un simple
— " 0 ^ 002^20000000000 deï vitesse O™ S ‘ ^ ailonsement Proportionnel, acquis sous l’influence
3° Pour les allongements absolus correspondants BC et BT) v tt
4° Pour la valeur du nombre k (315), attendu (117) que y = 9m, 809,
i= \/ 7 - V 7 pg=/«°4.s°=™,oæ>;
O» Pour celle de la vitesse maximum, V, acquise à l’instant où l'allongement /, est précisément égal (514) à ï ou BC, °
6° Enfin, pour la durée d’une oscillation entière du prisme ou de la charge O, ‘
OL
ce qui donne, par seconde .
ffAE
11,145 oscillations entières seu-
lement, ou 22,29 demi-oscillations descendantes et ascendantes.
Mais, d’après la formule du N° S 15, qui donne, en général, ie nombre N, des oscillations entières par seconde, si Q, au lieu d’être de dOOOO^i n’était que de 625 kil , ou le de la valeur qui vient de lui être attribuée, et qu en même temps la longueur de L se trouvât réduite à f 10 m =l m .lil, le inombre dont il s’agit serait augmenté dans le rapport de l’unité a lla
xs UUIH II o (IQlb SClCîll aLIQlIiClILC
racine quarrée du produit de 16 par 9, ou de 1 à 4. 3 = 12; de sorte qu’il s’élèverait à 12.11,145 = 455,74 ou 154 environ par seconde, le nombre des demi-oscillations étant lui-même porté à 267,48 , dans le même temps.
Lois du mouvement oscillatoire des prismes dans le cas où la charge possède une
vitesse initiale.
318. Données fondamentales delà question. Dans ce qui précède, nous avons supposé que la charge Q, était posée à l’extrémité du prisme AB (tig. 51), avec beaucoup de douceur mi sans vitesse acquise: mais, s’il en était autrement, il est évident que l’étendue des excursions ou dès escii-
lations du poids Q, serait augmentée, de sorte que l’élasticité naturelle pourrait être forcée. Afin de s’en assurer directement, il faudra être en état (512) de calculer le plus grand allongement subi, par ce prisme, à l’instant où la vitesse de la charge se trouvera éteinte dans la première période du mouvement.
Équation du maximum d’allongement. Pour 1’obtemr, il suffira d’exprimer, toujours d’après le principe du N° 156, que la moitié de la force vive
initiale, possédée par la masse— de la charge , augmentée de la quantité
de travail O. IL qui correspond (512) à la descente de son poids O, de la hauteur L' = IL, relative à ce plus grand allongement, est précisément égale à la quantité de travail ‘ ALEI 2 , développée, en sens contraire (247), par la force élastique du prisme, ou que
Q — — t -4- OÏL = \ ALEP ,
V x étant la vitesse initiale dont il s’agit.
Cette relation, comme on voit, permettra toujours de calculer I ou IL, par les méthodes connues, quand on se sera donné les diverses autres quantités qui y entrent ; mais on y parviendra plus directement en remarquant que, si la* limite d’élasticité ne se trouve effectivement pas dépassée, la charge, après avoir atteint sa position extrême ou la plus basse D', reviendra en arrière, pour exécuter une série d’oscillations entièrement semblables à celles quiont été considérées dans le cas précédent, et qui seront d’ailleurs assujetties à la même loi, si ce n’est que l’étendue CD' ou CB' des excursions du point d’application B , de cette charge , de part et d’autre du point C, qui en demeurera le milieu ou centre, se trouvera augmentée.
Considérations géométriques. Sans recommencer la série des raisonnements et des démonstrations relatives au cas particulier où la vitesse initiale Y, est nulle , on peut remarquer qu’on a toujours (512), pour déterminer rallongement BC ou T, à l’instant où la plus grande vitesse est acquise , la relation
OL
Q = AEC , qui donne BC ou T = ï L = t%,
même valeur que ci-devant. Et , comme l’horizontale ou ordonnée BN , correspondante à B , dans le cercle B'ND', qui donne la loi du nouveau mouvement , doit avoir, avec la vitesse V r , la relation déjà trouvée (525)
Y, = k . BY ,
k ayant une valeur indépendante de Y T et toujours égale à
JL = y/ , on voit qu’après avoir pris BC = ï , d’après ce cP
est indiqué ci-dessus, etBY = , il ne restera qu’à décrire, du point C,
comme centre , avec CN pour rayon, une circonférence du cercle^ coupant AB , prolongée , aux points B’ et D', pour être en état de calculer et de discuter toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui nous
Allongement maximum. D’après ces données, on aura immédiatement
pour calculer le plus grand allongement , IL , la formule
BD'= BC 4- CD' = r+ CN = t + \/Wr+ BNcW'-f f / V* ■ ' ' ‘
DES RÉSISTANCES
qui, en remplaçant V et k par leurs valeurs ci -dessus plus générale
prend la forme
BD' ou IL = ^a« / 0^ AE 1 y A 2 E 2 ‘
sous laquelle cet allongement eût été obtenu directement, en résolvant équation ci-dessus , du 2= degré , par rapport à IL. On a donc aussi, pour le plus grand allongement proportionnel , ’ 1
çp , Q~V
AE 1 V A 2 E 2 ’ AE gL Effort qn’ü suppose. L’effort P, qui serait capable de produire et de maintenul dune manière statique ou permanente (512) , le p]us grand gemen du prisme étant mesuré (256) , par le produit AEI . en deçà de la limite ou 1 élasticité cesse de demeurer parfaite, il en résulte que l’on aura , en outre , pour calculer cet effort , 4
P=Q + \/ 0 3 + OAE
^L 1 gl'
de sorte que l’excès de cet effort sur c elui de la charge Q , aussi bien que
l’excès d’allongement y/ 1 ’- + Ll, subi par le prisme sous l’influence
du mouvement acquis, croîtront, l’un et l’autre, avec la grandeur de la vitesse initiale V, mais croîtront d’une manière d’autant plus lente ou
Ijlus^nsidérable 6 3 ° ngueUr absolue de ce prisme , sera , elle-même,
Rien ne sera plus facile d’ailleurs que de s’assurer , dans chaque cas an moyen de ces différentes formules, si la limite d’élasticité n’a pas’été atteinte ou entièrement depassee. ^
0ù Xt ion nwméri 1 ue - Prenant pour exemple, les données du K° 517,
V tr0 oJ e in ’ en suppo * ant seuIement la «tesse initiale de la charge ,
V i = 0 m ,20 , par seconde , ° ’
n n nnnnru 0,04.0,002 „
et , pour le plus grand allongement subi par le prisme ,
BD' = 0 m ,002 + 0,00001215 = Ü m ,002 + 0 m ,005o = 0“,005o ;
ee qui répond , attendu qu’ici L = 10 m , à un allongement proportionnel ou par mètre I , de £ 0“ 0053 = 0”, 00055, sous lequel l'élasticité serait, en effet , sensiblement altérée (292) pour certains fers, quoiqu’ici la charge soujeulement de 4M par millimètre carré (510) , et que la vitesse initiale, rJ A corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine 0 ,002 ou 2 millimètres. 1
On trouvera , de même , pour l’effort P, qui serait capable de produire ce plus grand allongement.
, ; P=AEI=50000000t. 0,00055 = 2"500k,
ont 1 excès , 17500M sur le poids 0= lOOOOtii, de la charge, représente proprement la part qui doit être attribuée à l’influence de l’inertie ou du mouvement acquis par cette charge.
SS
Maximum de contraction. Revenons à nos premières considérations remarquons que la partie BB' de roscillation en retour ou ascendante’ d l’extrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse <r la charge O, lui serait invariablement attachée, à un véritable accourcis 1 * sement.à une véritable contraction, subis pance prisme, et pourra, à soiî tour, être calculée par la formule ’
BB' = BC — BC = CN — /' = y/ p+JLi—
qui, dans le cas particulier ci-dessus, donnera simplement BB'= 0 m ,00S5 — 0 m ,002 = 0-,0015,
ou un accourcissement de 0 m ,000to par mètre de longueur seulement. Mais nous reviendrons , d’une manière plus particulière , sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul , quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles delà question.
Enoncé et forme particulière des résultats. Les formules qui précèdent sont susceptibles d’un énoncé très-simple en langage ordinaire ; car si l’on
observe (515) que K 1 et si l’on nomme H t la hauteur li. due à ,1a vitesse Vj, il en résultera par exemple, pour le plus grand allongement que subit le prisme , sous l’influence de cette vitesse ,
BD' = l' + y/ %H, -=r + / T(t + 2HJ;
ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de l’allongement de stabilité,/', relative a la charge Q, d’une quantité égale à la moyenne proportionnelle entre l et sa valeur augmentée du double de H, : moyenne qui donne ainsi la mesure directe de l influence exercée par l’inertie ou le mouvement de O.
il 9. Formules relatives aux diverses circonstances du mouvement oscillatoire de la charge. Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on la fait dans les précédents numéros, on nommera, 6n pl" é L al 5 adn d ’ abré B er » »■ la demi-amplitude , ou le rayon CN =CB' — CD (rig. al) , du nouveau cercle, et T' le temps que. dans ses oscillaroT)' 118 ^ 61 ' 10 ^ 1 ^ 1165 ’ l 'extrémité B , de la tige , met à parcourir l’intervalle BB . Ce rayon et ce temps qui sont déterminés par les relations de Ta figure, se calculeront directement au moyen des formules
T , arc BN ang B'CN
kr k
dont la dernière suppose qu’on ait préalablement calculé l’angle B'CN, à 1 aide des tables mentionnées au N» 314, et de l’une ou de l’autre des rela-
tiAnc J
BCou/WcosB'CN, BN=|^ = rsin B'CN, qui donnent
Cos B'CN ou cos kT — * sin B'CN ou sin /£T'= X ± -
r kr
Expressions du temps et des allongements variables. Comme en continuant de nommer T, le temps que l’extrémité inférieure de la tige met à décrire
DES RÉSISTANCES
/, auquel correspond l’arc MN sur le cercle
ou ang j\ T CM — AT ,
arcMN ang NCM
kr A ’
il en résultera , pour calculer , à un instant donné om sente l’allongement total alors subi par le prisme, là forage ^ r6pré ' Bm ou 1= BG - Cm = ï - CM . cos BCM = l ‘ - r cos A ( T 4- D a P ng q NCMi : AT ÜS B ' CM =^ B'CN+ ang M , et ang B'CN= AT',
^ ^ =A ]/ MC —mC = k \Z" r 1 (/' l) 1
soit par des tables trigonométriques, au moyen de la formule (1)
A. mM=k. CM. sin. B'CM=£r sin. A (T+T').
n«t proportionnel, <, qui en résite, aW d*Z ÆSS P=AEf = AEi=2f, ,- = i 5
“us/ 3115 IesqueIIes ü faudra substituer à /, la valeur déjà obtenue
JSSmm£% IZÜ&rgïSL** « particutter, des que leur dorée correspond féfeScore fôS à on are NM ' H°" obse . rT r? a circonférence entière ND'B'N=0 ou à un ans'e’ vm/ a 683 ^
(0 On peut mettre , sous une forme plus explicite, les expressions de V et de / et par
r"! "T ^ P ^ ^ C " d * d “H** * **■» de si„.,(T+T 0 et eos, (T+ T 0 d Ws 8 formules connues de la trigonométrie ; car on aura ’ P
V = kr sin - kT cos ‘ kT ' + kr cos. AT sin. AT' = kl' sin. AT J- V t cos. AT,
l = l’-r cos. kl' cos. AT 4-?- sin. AT' sin. AT = l'-V cos. AT+ -’sin. AT.
On ero ra de ^me, pour calculer directement les valeurs de T, au moyen de celles eia e V , la formule
cos AT — [l r> 4.
ou bien
Ar2
sin AT =: — . |/V 3 —IV
kr 2
ans ^ eS( ïuelIes on se rappellera d‘
'ailleurs que
y et
dantes de la vitesse initiale . Y, , imprimée à la charge O, aussi bien que ne l'amplitude [B'D'=2r, de ses oscillations ; par conséquent cette dernière peut décroître ou augmenter par des causes quelconques, sans que la nature du mouvement en soit modifiée, tant que la charge, la tension et 1 élasticité naturelles du prisme ne seront point changées. Enfin, il est évident , à priori, qu'on arriverait aux mêmes résultats, si l’on considérait, en général, le temps nécessaire pour que la charge ou l’extrémité inférieure B, du prisme, revînt à l’une quelconque des positions qu’elle peut successivement occuper, par exemple à la position B', qu’elle avait déjà dans l’oscillation précédente; car ce temps serait toujours mesuré par la circonférence entière, 2sr, du cercle B'MD'B', divisé par le produit kr.
520. Remarques et conséquences diverses . L’accourcissement BB' (Fig. Si) qui a été calculé à la fin du N° 518 , et que subit le prisme dans ^mouvement d’ascension de la charge, à laquelle, par hypothèse, il est étroitement lié, cet accourcissement étant généralement très-petit, par rapport à rallongement maximum , BB', qui lui correspond dans chaque cas , on voit qu’il sera inutile d’y avoir égard dans les questions relatives à là solidité des prismes; mais il n’en est pas moins utile de remarquer qu’en vertu de la compression qui en résulte, lors de ce mouvement de retour, Je point d’attache supérieur, A, du prisme, se trouvera, lui-même, pressé ou choqué en vertu d’un effort absolument analogue à celui qui le sollicite dans l’oscillation descendante et dans la partie BD' de l’oscillation contraire. Supposant d’ailleurs, air en raison de sa longueur (268,280 et suiv.), le prisme ne puisse fléchir à l’instant où cet effort de compression atteint sa limite , ^ on voit qu’il sera facile de calculer l’intensité de ce dernier au moyen de la formule ?== AEi, qui s’applique aussi bien (256) à la contraction des prismes qu à leur extension , tant que l'élasticité naturelle n’est pas forcée.
On remarquera pareillement que , si la vitesse initiale, V,, supposée, imprimée à la charge O, dans la question du N° 318, aif lieu d’être dirigée du haut vers le bas, l’était en sens contraire, les mêmes considérations géométriques et les mêmes formules serviraient encore à faire trouver les lois du mouvement , pourvu toujours que la vitesse dont il s’agit, ou plutôt l’effort maximum de compression qui en résulte, fût incapable de faire fléchir transversalement le prisme, puisqu’alors il surviendrait des soubresauts qui cesseraient d’être soumis aux lois indiquées par nos premières formules. Quant au cas où le prisme aurait une position renversée par rapport à son appui'A, la valeur de au lieu d’être portée de B en C , devrait l’être de B vers A: ce qui rendrait BB')>BD', ou les accourcissements plus grands que les allongements relatifs au mouvement de retour, et, par suite, la contraction et les inflexions plus dangereuses que les extensions, à l’inverse de ce qui avait lieu dans les hypothèses précédentes.
Enfin, il est bien évident encore que, si, au iieu d’imprimer une vitesse initiale à la charge Q, on eût simplement fait subir au prisme, toujours lié invariablement à cette charge , un allongement primitif égal à BD', ou une contraction primitive mesurée par BB', et sans vitesse acquise, qu’ensuràe on l’eut abandonné à la libre action du poids O, la loi du mouvement, l’étendue des excursions et la durée dès oscillations eussent été exactement les mêmes que dans le cas précédent (1).
(i) Soit notamment, P r Ueffort qui, ajouté au poids Q de la charge, a primitivement
DES RÉSISTANCES. 261
D’ailleurs les choses se passeraient tout différemment si la charge O, au lieu d’être solidement fixée à l’extrémité inférieure du prisme, n’v 'était simplement retenue que par une saillie qui lui laissât la liberté de s’élever. En effet, cette charge, dans l’oscillation ascendante ou en retour, et à son passage par le point B (Fig. St ), qui correspond à l’état naturel du prisme, reprenant une vitesse égale et précisément contraire à la vitesse initiale. V, , tandis qu’au même instant, l’effort de réaction, la résistance élastique , P, de ce prisme, devient nulle pour changer ensuite de sens ou de signe, il arriverait, dans cette circonstance, que le poids O, abandonnerait entièrement son support, et rejaillirait, en vertu de sa vitesse acquise, T , , jusqu a la hauteur BU = , d’où il retomberait en reprenant
de nouveau la vitesse TT en B ; de là aussi résulterait un choc vif qui donnerait lieu , comme on le verra bientôt, à une perte de force vive et serait immédiatement suivi d’une nouvelle oscillation du prisme et ainsi de suite alternativement. Mais, comme, en réalité, le mouvement des parties matérielles du prisme ne peut, à cause de l’inertie, s’éteindre brusquement à chacun des instants où le poids O, vient à quitter son ooint d'appui inférieur , on voit que, pendant la montée de ce poids et sa' descente de a hauteur H, , le prisme exécute des vibrations plus ou moins rapides (1) qui entraînent avec elles, une certaine dépense de force vive, et ne permettent ni de supposer que la vitesse de rejaillissement de O , soit égale a la vitesse primitive, V, , ni de déterminer, à priori, du moins par un calcul facile, le lieu et l’époque où s’opérera chacun des chocsquestion étrangère , au surplus , à l’objet des applications que nous avons ici en vue.
Quoi qu’il en soit, il ne faut pas oublier que les diverses circonstances du mouvement oscillatoire, jusqu’ici examinées, dérivent essentiellement cle 1 nypothèse que les efforts de réaction du prisme , demeurent exacte-
allongé le prisme de la quantité BD' — BC-j-CDA^'-fr , sans vitesse acquise, on aura évidemment (234) , si BD' n’excède pas l’allongement relatif à la limite d’élasticité,
P'|Q=A E 55^ AE(/'-|-r)
