AB — L

i où l’on tue, attendu que

Ce oui fera connaître r, ou le rayon C 1 N=CD', et partant la vitesse V„ qui entre dans la première des équations du N° 319, laquelle donnera immédiatement

expression où P' est supposé plus grand que Q, de même que r ou CD', a été supposé P-Ub grand que V ou CD, et qui, par sa substitution dans les formules du numéro déjà dé, permettra de calculer toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède j * nstant où l’effort P , vient à cesser, absolument comme si i’or* s’était donné, à priori, valeur de la vitesse initiale V t , correspondante-à la position B, du poids Q.

[}) Pour 1 étude approfondie de ces phénomènes de vibration , nous renverrons en général,

ni * ^ excellent Traité de Meoaniqzte de M. Poisson. Yoy. aussi les notes des N° s

et 825 ci-après.

ment proportionnels aux allongements il, qu'il subit pour les positions correspondantes de son extrémité inférieure, B. Or il est bien clair que ces mêmes circonstances se reproduiront toutes les fois que la force qui tend à ramener un corps matériel quelconque vers la position naturelle d’équilibre , dont il aurait été primitivement dérangé , sera soumise à une semblable loi , par rapport à la grandeur relative du déplacement que subit son point d’application ; et, en particulier, les lois du mouvement oscillatoire, qui nous ont jusqu’ici occupé , sont aussi, pour de très-petits déplacements des molécules , celles qui régissent le mouvement dont il a été parlé au N" 226 , et auquel nous eussions pu , dès-lors , appliquer les divers calculs et considérations qui précèdent, si nous n’avions craint de détourner trop longtemps l’attention du lecteur , et de faire un double emploi.

521. Lois du mouvement des points intermédiaires du prisme (Fig. 51). Jusqu’ici nous nous sommes uniquement occupé des circonstances que présente le mouvement de l’extrémité inférieure , B , du prisme , qui est directement soumise à l’action de la charge O ; mais il est facile de voir que celles de divers autres points de ce prisme , tels que b , par exemple , se déduiront sur le champ, de cette considération très-simple, conséquence nécessaire de nos premières hypothèses (315), que : les allongements , en chacun de ces points , demeurent , à tous les instants , proportionnels à leur distance Ab , de l’extrémité A , toujours supposée- fixe.

Nommant , en effet , z l’allongement absolu que subit , à la fin du temps T, la partie Ab de la tige , dont l’étendue sera représentée par la lettre x, et soit pareillement * la vitesse acquise par le point 6, au même instant , ou aura simplement

-l fL

A^ f AB L ’

pour calculer se te, au moyen des valeurs correspondantes, / et V, relatives à l’extrémité inférieure, B, dont le mouvement est, d’après ce qui précède, exactement connu pour chacune des valeurs de T , ou du nombre des secondes écoulées depuis l’origine du mouvement.

En particulier, il résulte de cette considération que, si les divers points, h , sont tous au repos à l’origine du mouvement, ils y reviendront en même temps ou simultanément , avec l’extrémité B ; qu’ils atteindront pareillement leur plus grande vitesse à un même instant, et qu’enfin leurs oscillations entières, comme leurs demi-oscillations ascendantes et descendantes, seront de même durée , s’accompliront dans le même temps; ce qui constitue véritablement ce qu'on est convenu de nommer : mouvements isochrones . isochronisme des oscillations .

Quant aux autres circonstances du mouvement, relatives à chacun des points b du prisme, il sera également très-facile de les discuter, au moyen des relations ci-dessus entre les quantités z, l et Y et æ, qui changent continuellement avec la durée du temps, T , écoulé depuis l’époque où l’extrémité inférieure du prisme était en B.

En effet, b étant censé la position initiale, contemporaine à celle de B, du point de la tige dont on veut particulièrement discuter la loi du mouvement , il ne s’agira que de porter , de b vers B , sur AB , la distance

bc = BC J -= 1 T ,

qui . à tous les instants, demeure , avec BC, ou l ' , dans le rapport invariable de Ab à AB , pour obtenir l’allongement de stabilité (§12) qui aurait lieu , au point b , sous l’action permanente de la charge O. Prenant ensuite

DES RÉSISTANCES

le point c , ainsi trouvé , pour centre d’un nouveau cercle ayant le pour rayon , ce cercle qui sera semblable au premier, et semblablement situé par rapport au point A, aura toutes ses lignes homologues proportionnelles et parallèles ; et par conséquent à l’allongement B m , à l’ordonnée ou sinus mn et à Tare B n , qui appartiennent au point B , à la fin du temps quelconque, T, correspondront , pour le cercle (e), un allongement, lr= s, une ordonnée rs, et un arc, bs , qui leur sont homologues ou proportionnels, et qui auront entre eux , et avec l’angle bcs = BC n = k. T (314) , précisément les mêmes relations ou rapports que les premiers dans le cercle (C); de sorte que la discussion des A° s 514 et suiv., relative à la périodicité, à la loi du mouvement, leur est immédiatement applicable, la grandeur absolue des lignes étant seule changée.

Quant au cas (318 et suiv.) où cette charge, au lieu d’être en repos à l’origine du mouvement , reçoit une vitesse initiale, Y,, comme on néglige ici complètement l’influence de l’inertie des parties matérielles du prisme, ou que le mouvement est censé se transmettre instantanément de i’une à l’autre de ses extrémités , il est évident que les mêmes considérations lui seront encore applicables, et qu’en particulier, si du pointe, comme centre, avec la ligne cb' ou cd ', proportionnelle à CD', pour rayon , on décrit une nouvelle circonférence de cercle homologue à celle , D'NB'D' , elle mettra en état encore de discuter directement toutes les circonstances du mouvement dont est animé le point b , comme on l’a fait par le moyen de cette dernière . dans les endroits déjà cités.

322. Formules analytiques qui représentent ces lois. D’après les indications précédentes, rien ne sera plus facile que d’arriver à ces formules dont l’expression concise offre à ceux qui savent les lire , une interprétation , non moins fidèle que les relations intuitives des figures, de tous les phénomènes de mouvement qu’elles sont destinées à reproduire par le calcul.

Allongement absolu et vitesse. Ainsi, par exemple, dans la question du A» 314 qui se rapporte au cas où la charge 0, agit sans vitesse acquise, on aura, pour déterminer, à chaque instant? les valeurs de l’allongement et de la vitesse qui se rapportent au point quelconque b .

CC yj (JG

br ou z = —=—(1 — cos êT) , v = V - = U — sinAT=£z . sin YF,

L L JL .JL

dans lesquelles on a toujours

et qui se déduisent immédiatement de celles du même numéro , en y mul-

conformément à ce qui a été indiqué au commencement du N° 321.

On aura de même , pour exprimer, à tous les instants , les lois du mouvement dans le cas des N os 318 et suiv., où la charge Q possède la vitesse initiale, Y, , les formules plus générales,

flni se déduisent, de la même manière, de celles du N° 319 et de la note flni l’accompagne.

Tension des éléments du prisme. Les expressions de P et de i du N° 519 ne dépendant explicitement que du temps, T, ainsi que d’angles et de rapl ports de lignes qui restent les mêmes dans les cereles relatifs au point quelconque b (Fig. 51), il en résulte que les valeurs de ces quantités sont indépendantes de la position particulière de ce point; conséquence nécessaire' encore des hypothèses d’où nous sommes partis, et qui n’aurait plus lieu, avec une exactitude suffisante, si la masse du prisme devenait comparable à celle de la charge Q , ou en était, par exemple, le 10 e ouïe 20% puisqu’alors l’influence delà gravité et de l’inertie, sur ses propres parties’ commencerait à devenir appréciable (I).

(i) La solution générale de la question qui nous occupe dépend de l’analyse aux différentielles partielles , dont M. Navier a offert de belles applications dans son important ouvrage sur les ponts suspendus , publié en 1823. En conservant toutes les dénominations jusqu’ici admises, et désignant, de plus, comme au N° 3 io, par D , la densité ou le poids de l’unité de volume de la substance qui constitue !a tige , les équations à intégrer reviennent aux deux

rffi =3 r TJ dx* ’

AE dz 3 3 ~JZ*

suivantes :

dT * ~ 9 ~ 9 Q dx'

La première exprime l’état varié de la tranche située à la distance x de l’extrémité supérieure A du prisme, et la deuxième une condition qui doit être satisfaite, à tous les instants, pour l’extrémité inférieure B, où l’ou a x — L , et où l’on suppose que la charge Q ait été appliquée, dès l’origine du mouvement, avec la vitesse V 1 , la tige elle-même étant, à cet instant, au repos dans toute son étendue, c’est-à-dire dans l’état d’allongement où on Fa considérée au N° 3 io.

On satisfait complètement à ces équations et conditions au moyen de la valeur générale

ADL AD Q Q sin mx

2AE .AE AE ” m

dans laquelle

;[/ sin l/^mT

B rr.

4 sin m L

2m L -|~ sin 2mL 9

et le signe 2 indique la somme d’une suite de termes semblables à ceux de l’expression qui suit, et où l’on mettrait successivement pour m , les différentes valeurs positives four, nies par l’équation transcendante ,

ADL

mL tangmL =

dont, comme on sait, les racines sont toutes réelles et en nombre infini.

La valeur ci-dessus de z, étant différentiée successivement par rapport à T et à x, donnera d’ailleurs pour déterminer la vitesse v et l’allongement proportionnels, ou pa? mètre, d’un élément quelconque du prisme, sin mx

dZ Q vD

l l/Ç ^sinj/^mT +ra j/iî Vjcosj/ ~ mT

dz . ADL ^ 0U AE