MV'±MV'T (Q'V'±0V") 2 (M +M ) V 1 M — {— M' = ^Q+Q

|es signes supérieurs de V ambiguité ± , devant être adoptés dans le premier cas où Q marche dans le sens de Q', et les signes inférieurs dans le deuxième.

Ces préliminaires étant admis, rien n’est plus facile, comme on valevoir, que d’appliquer au cas général qui nous occupe, les différentes considérations exposées dans les numéros qui précèdent.

024. Méthodes et formules pour apprécier les effets d'un tel choc. Sons le point de vue de la résistance des prismes, on n’a point à s’occuper de ce qui survient après la première période de l’ailongement, puisqu’on sait, par l’expérience, que, si la limite d’élasticité naturelle n’y à point été atteinte , elle ne le sera pas, à fortiori, dans les oscillations suivantes, où l’amplitude des excursions ue la charge va sans cesse en diminuant; du moins, il ne paraît pas qu’on doive ici admettre cette cause, encore mal définie (249 et suiv.), et qui ferait dépendre la résistance élastique, de l’influence du temps ou du nombre, de la répétition des effets, même en deçà de la limite dont il s’agit.

Méthode générale. Ayant appris, ci-dessus, à calculer approximativement la force vive initiale (M + M') V, , ou (Q + Q') — , commune aux

deux masses , M et M' , à la fin du choc dont la durée est censée extrêmement petite par rapport à celle de la première période du mouvement, où l’allongement du prisme , de /' qu'il était d’abord sous l’influence de la charge permanente , O (513 et 518) , devient, je suppose. L', à l’instant où la masse M + M' est réduite au repos; il ne s’agira, en vertu du principe des N os 156 et 157, ainsi que des observations déjà faites aux N" 512 et suiv. , que de rechercher si la moitié de cette force vive, augmentée de la quantité de travail (0 + Q') (L' — /') qu’y ajoute la pesanteur pendant la descente effective des deux corps de ia hauteur L'— plus encore, de celle que suppose l’allongement primitif, i , du prisme, et qui , dans l’hypothèse d’une élasticité parfaite , et où la masse M se trouverait au reposa l’instant du choc, peut être mesurée (512) par ie produit’ Qf

OL

: 2 Q ~ oui AELî ' 2 , il

ne s’agira , disons-nous , que de voir si

la

somme de ces quantités surpasse ou non la résistance vive d’élasticité

&7oefficfents ll T' r T' StanCe ; n™ de rupture ’ T ' = T'.AL (247), dont les coefficients, T,, i r , sont donnes parles tables des N os 275, ogu Pf

suiv. , pour etre en mesure de reconnaître, à l’aide d’un calcul facile e‘

SLwJ&’î eMmple *" l«P»Ued M ,?pTe,“S“ e y e à

cnance que 1 élasticité au prisme soit enervée par les effets oui succèdenf

Pt C À« qUe K a rupture '^^édiate s’ensuive. A l’aide du ArincSe déià cite, et des courbes qui expriment (Fig. 47 et 48 , N cs ">74 et 9 QQ u iL

féla^ieifé Un ’r?.- • . a question au cas où ces effets doivent laisser

fcciteziS' s dra possiwe e ” ore je

tant la^auesbo ™’ a * imum dans l ’ hypothèse d’une élasticité pat faite. En limi- SÜ ettm J la T S h f^ e Q * trouve au reposà I’instanÆ prisme oÏÏralïnnÏÏmpT le f P lus F an d allongement subi par le

11 '1 ««PI, sa valeur

(Q + Q î-^ 1 -f- (Q + Q') (I — ï) L -fl-i AELî"s = l AELI 5 ,

ta t Rît d P S Séme . nt qi !f ré8 ' aiité a lieu enîre diverses quantités ai ‘.j 1 % etre parle ci-dessus, attendu que. dans l’hypothèse d’une

4 ! tSS, fepr0dUit 1 AELP mesBl *V) * a rÆnce^lyetô!

poï le calcul mi® JW * 011 S0US Une forme P !us sim P !e et plus commode Pou. ie calcul ou la discussion géométrique, si, après avoir multiplié

t-us ses tenues par la fraction -T— , on observe que l’on a

Ai,

Qî' / ,

L'=IL, 0=AEî' = AEAet qu’on pose, en outre, par analogie,

Q ^ T QfL AE 4 L 5 AE

effectif JSSSlf? l’allongement proportionnel et l’allongement

du corps q chomiant r!n P Sm f- sous un « ffort P ermanen t égal au poids O' i cnoquant. Cette équation prendra , en effet, la forme

a bréger (g 22 ) Par m ^t* î °des connues, en posant de nouveau pour

\/ 7 ou * / v ^ -j— i

i' ou IL=F-i r±

gAE

double valeur dont la plus grande doit, comme au î\ To 518 , correspondre toujours au maximum de l’allongement , et la plus petite à son minimum si elle est positive, ou au maximum de l’accourcissement subi par le prisme, dans son oscillation en retour, si elle est , au contraire , négative ; c’est-àdire si elle doit être portée (fig. SI) en sens opposé par rapport à l’extrémité inférieure, B, du prisme considéré dans son état naturel. Mais, d’après ce qui a déjà été remarqué au ÎN 0 520, ce dernier résultat est sujet à restriction, et suppose; tout au moins , que les poids Q et Q', demeurent assez unis entre eux et avec la barre , par suite des déformations ou résistances accidentelles qui naîtraient du choc , pour qu’ils ne puissent se séparer aux instants où la réaction élastique du prisme vient à s’exercer en sens contraire du mouvement acquis dans l’oscillation en retour. Afin d’éviter d’interrompre le fil des idées , nous ferons , pour le moment , abstraction de ces circonstances particulières , sauf à y revenir plus tard , quand il s’agjra des applications spéciales de cette théorie du mouvement oscillatoire.

Equation fondamentale du mouvement. Le principe des forces vives (156 et 157) mettra pareillement à même de découvrir, pour le cas dont il s’agit, la relation qui sert à calculer la vitesse Y, commune aux deux masses M et M', à un instant quelconque de leur mouvement , par exemple , à celui qui correspond à un allongement donné, 1 — ïL, pourvu qu’il soit ici permis encore (513) de négliger l’influence due à L’inertie et au poids des parties matérielles du prisme. Car l’accroissement (M + M') (Y- — Y'\) qu’aura reçu la force vive de ces masses , depuis l’origine du mouvement, devra être égal au double de la quantité de travail (0 + Q') (l — F) développée, sur elles, parla pesanteur, pendant leur descente de lahauteur

diminuée du double delà quantité de travail, | AEL (i 2 — i’ 1 )= -J- — /'-),

qui est développée , en sens contraire , par la résistance élastique , AEf, du prisme, pendant la durée de cette même descente 5 c’est-à-dire qu’on aura, pour déterminer V, au moyen de /, la nouvelle relation

(Q-rQ') y S (Q-h Q' ) v ,

AE

qui , en multipliant tous ses termes par — , et en ayant égard aux obser-

ÂE

valions et conventions ci-dessus , devient successivement

— = 2 (f + l") (l — t) — P + r- — r- — (/' + l” — lf ,

par des transformations algébriques bien connues, mais qu’il nous eût été très-facile d’éviter, ou plutôt de suppléer entièrement, tant dans cette question que dans la précédente . si nous n’avions voulu montrer, par un nouvel exemple , comment l’application du principe des forces vives peut conduire directement au but , sans recourir aux données que nous avons précédemment acquises sur la nature du mouvement oscillatoire des prismes.

525. Interprétation géométrique des résultats et lois du mouvement qui succède au choc. Rien n’est plus simple que d’interpréter, dans le langage géométrique, les résultats auxquels on vient de parvenir en dernier lieu, et dont l’analogie avec ceux qui ont été exposés, pour des cas particuliers, dans les N° s 515 et suiv. „ est facile à saisir : BC représentant (fig. 51) la quantité dont, par hypothèse, s’est allongé primitivement le prisme vertical , AB , sous la charge permanente 0 , et CO celle , l". dont il s’allongerait par l’influence immédiate de O', BO représentera pareillement {'allongement total de stabilité , F -j- F'. qui entre dans les formules ci-

DES RÉSISTANCES

dessus , et que prendrait ie prisme sous l’action d’une charo-p O + Q'. allongement qui . en vertu du principe établi à la fin du doit correspondre aussi à l’instant où la vitesse Y t avant atteint sa valeur maximum , 1 inertie ne joue plus aucun rôle, et où l’extrémité inférieure B, du prisme , atteint , elle-même, le centre ou milieu de ses courseascendantes et descendantes , dans le mouvement oscillatoire oui succède au choc. ^

Allongement et contraction maximum. D’après cela , si l’on norte sur l’ordonnée ou horizontale du point, C, qui indique la position initiale de

cette extrémité, la distance CN' = Il , il est évident que l’hypothénuse

ON' = /OC -f C# = y/ n -f

sera le rayon r,. d’un cercle dont les intersections, B" et D", avec la direction prolongée de l’axe du prisme, donneront les positions extrêmes de B On aura donc aussi

BD"=BO-f-OD"=/'-f/"-f

BB''=OB" — OB = y/ 1"*- + — — ( l ' + H ,

qui sont précisément, l’une la plus petite, et l’autre la plus grande des valeurs absolues de V, trouvées ci-dessus (524), par la voie purement analytique.

Vitesses et allongements quelconques. Supposons que y représente l’une des positions intermédiaires de B, pendant son mouvement descendant, de sorte que B y soit précisément égala /. Si l’on élève, en ce point et au cercle mentionné, l’ordonnée yM' dont le carré

yW = OM' — O y = ON' 3

-(yB-OB)W'H-p- -(1-f+rf,

cette ordonnée représentera précisément la valeur de , que fournit la

A/jP

dernière des équations du N° 824 ; ce qui prouveque toutes les circonstance s du mouvement oscillatoire, déjà étudiées dans les N° s 518 et suiv., pour le cas particulier d’une seule masse M, animée de la vitesse Y r , se reproduisent exactement ici, pourvu qu’on substitue la considération du cercle B"iYD"B"à celle des cercles BnDB, B'ND'B', etc.; conséquence évidente à priori , puisque le mouvement oscillatoire des deux masses, M et M', lorsqu’elles sont une fois réunies et que i’élasticité n’est en aucun instant altérée. ne saurait différer de celui d’une masse unique, M -l M', suspendue à l’extrémité inférieure du prisme, AB, et qui aurait reçu, en C, une vitesse initiale, Y r , capable de lui faire atteindre l’une ou l’autre des positions extrêmes D" et B".

Amplitude , durée et nombre des oscillations. Ces rapprochements et fout ce qui a été exposé aux IV oS 518 et suiv., nous dispensent d’entrer dans la discussion détaillée des autres particularités du mouvement, relatives au cas général qui nous occupe, et dont la plus remarquable est, sans contredit encore, l’indépendance complète qui existe entre le nombre, la durée des oscillations , et leur amplitude, l’intensité du choc ou la vitesse du mouvement. On aura, en effet (815), pour calculer cette durée.

M ÉCA NIQUE IN DLSTR I ELLE .

cire B 'N'D 'B"

k l . ON' ks, attendu qu’ici les quantités

K V y V <?ae :

et r, = y/ l " 2

dont la dernière exorime aussi la demi-amplitude des oscillations, remplacent celles qui ont été désignées simplement par k et r au N° 519.

Ouant au nombre N, des oscillations par seconde, on le trouvera au moyen des formules

i t __ 1 /~~jH = —v / gAE

T i -j- r 2* y (Q-fQ')L 1

qui sont pareillement indépendantes de la vitesse initiale, V x , et de 1 amplitude, 2 rj, des oscillations du prisme, mais non pas de la charge O 0\ qui le sollicite d’une manière constante, à partir de l’instant du choc. Le dernier pourrait d’ailleurs avoir lieu dans un sens contraire et pour une position, de Q onde B, y par exemple, très-différente de C, sans qu’il y eût de changé autre chose que la valeur de Y t (522) et la grandeur de la demi-amplitude ou du rayon r x . du nouveau cercle, B N D B , a considérer , lequel aurait toujours pour centre le point O , et pour ordonnée

yM\ en y , la nouvelle valeur de j 1 ; ce qui donnerait encore

r t ou ONi' = {/' O y +ÿM'- = y/

Os +

et mettrait ainsi en mesure de discuter toutes les circonstances du nouveau

mouvement. L

Formules analytiques du mouvement. Il nous suffira ici de faire connaître

celles oui concernent spécialement le temps, et qui peuvent être immédiatement déduites de leurs correspondantes des N os 319 et suiv. Bemarouant à cet effet, que, dans le cas actuel, ce temps doit elre compte a oartir de l’époque où l’extrémité inférieure , B , du prisme , est en L , on verra (519) que, si l’on nomme, en général, T sa valeur, en secondes . relative a la position quelconque, y, de cetté extrémité, ou a 1 allongement total, By = l, subi par le prisme , sa relation avec 1 arc JN M , ou l’angle N OM’ , sera ici donnée par les formules

arcN’M' arcN'M' — ang IYONU a ng l\ r QM' = *.T. -