ON' kFi

Nommant, de plus,!' le temps qui correspond à l’are B"K', ou a l’angle B"ON', et qui est également donné par le rapport inverse au nombre constant , *, , à cet angle censé mesuré toujours dans le cercle nui a l’unité pour rayon, il sera aisé d’apercevoir quelle est la natuie^cs changements à effectuer, tant dans les formulés du N° 819 que. dans toutes celles du N“ 822, pour obtenir les expressions qui appartiennent,

aU Ainsi, par exemple, on aura pour calculer, a un instant quelconque indiqué par la valeur de T, l’allongement l ou By , subi par le prm* entier . AB « , ;

l go j Oy = ^' + l " — OM'. cos B"OM' = l ,J r l" — cos*, (If 1 '*

ai tendu que le cosinus

de l’angle obtus doit ici cnangci oc

DES RÉSISTANCES

E" , employant les transformations trigonométriques indiquées dans lanote du IVo o!9, et observant qu ici encore , on a (524) 4 uaus la

or r

cos^T'^cos B"ON' = et sinü j':

cette formule prendra la forme plus explicite

— cosA-,T)-f- -p-sin A, T.

On aura donc aussi (321 et 822) , pour calculer, en général I'allon p'SéVü £ule“ ‘" Slan * ’ <““■ 11 P artie S“'«4»e ^ = . ! du

* =l r =* tV+‘"-^ eos ‘. ( T +i')]=r a, +E :i ( I -“s t .T)+|fsin *,t;

dans laquelle l” et ont les valeurs

,r QL , Q% Tr Q> l"

-AE-- '"-iF' r - = g|ç v '=?+T, y '.

déjà indiquées précédemment (322 et 324) , et où il serait hn i- Â a i ■

sssâSsi^t à rM "““ «WW®

ci-dessus sauf en suite a remplacer, dans les résultats, l" et O'nar Kt Q puisqu on exprimerait, par là , que le mouvement du prisme est sim plement produit par le choc d’une masse, M' ou M, animée de la vitesse V ' ou V, ’ et q" viendrait rencontrer verticalement un obstacle une saillie quelconques , places a l’extrémité inférieure , B, de ce prisme

(■) Pour le cas qui nous occupe , l’expression générale des, déduite d’une analyse semblable à celle qui est indiquée dans la note du N» 322 , et où l’on tient compte de l’inertie des molécules du prisme, devient, en conservant toujours à B m la même signification,

ADL AD

= ae æ “Sir

(04-00 sin mx |

[9L i/ÿË Le CJ s1/ D

Â-7étT-

(Q-hQ) /y

forme

sous laquelle elle conduit à des résultats qui cadrent également avec ceux du texte

ci d ■ ADL

-aessus ? quand ^ ^ ^ ou m sont censés des quantités très-petites.

C est , au surplus , un résultat auquel on arrive directement d’après le principe de superposition mentionné à la fin de la note du N° 322; car ici le poids Q doit être nul dans le premier terme de la parenthèse, puisque nous supposons le prisme en équilibre, sous l’action de ce poids, à l’instant où le choc s’opère. Quant au cas où Q posséderait, à cet instant, une certaine vitesse, à laquelle correspondrait un allongement et un état du prisme, déterminés par les lois d’un mouvement oscillatoire antérieur au choc, l’établissement des u ûuve.les formules ne serait guère plus difficile.

jrc

St)'

CONSÉQUENCES ET APPLICATIONS DIVERSES CONCERNANT LES EFFETS DES MOUVEMENTS IMPRIMÉS AUX PRISMES.

526. Résumé des principales de ces conséquences. En rapprochant entre eux les divers résultats auxquels ont vient de parvenir dans le chapitre qui précède, il en découle deux principes généraux vérifiés par l'expérience, qui! est essentiel de retenir pour l'explication de plusieurs faits relatifs au mouvement oscillatoire, et dont la connaissance mettra à même de résoudre, sans nouveaux calculs , diverses questions qui se présentent dans les applications de la mécanique :

1 - Le nombre et la durée des oscillations des prismes sont, dans les limites où L’élasticité demeure parfaite , entièrement indépendants (319 et 523 ) de l’intensité des chocs ou de la vitesse imprimée, et uniquement relatifs à la valeur de la résistance élastique naturelle, AE, de ces prismes, à leur longueur absolue, L, et à leur tension primitive ou naturelle, c’està-dire aux poids , aux efforts., Q ou Q -j- O', qui les sollicitent, d’une manière constante, pendant le mouvement^

2» Les mêmes choses ont lieu également à Eégard des divers points (321) qui, pendant ce mouvement, indiquent la position moyenne de chacun des éléments des prismes, et qu’on pourrait ainsi nommer leurs centres d’oscillation, si ce mot n’était déjà employé en mécanique pour désigner toute autre chose.

La position de ces divers points ou centres , par rapport a celle qui correspond à l’état naturel de chaque prisme, est, comme on l’a vu (514, 318, 321 et 523), donnée par la position même d’équilibre que prendrait l’élément correspondant de ce prisme, sous l’influence de la charge constante qui sollicite son extrémité inférieure, et dont, par hypothèse, les efforts se propagent , d’une manière à peu près instantanée, à ses différentes parties. Ces mêmes points milieux ou centres , indiquent aussi, comme on l’a vu, notamment aux N os 512 et 314, la position pour laquelle la vitesse de l’élément correspondant du prisme cessant de varier pendant un très-petit instant , atteint sa limite supérieure à chacune des demi-

oscillations de la charge; l’influence de l’inertie et la force m H, qui la représente, devenant ainsi milles au même instant.

Quant à la durée et au nombre des oscillations isochrones et simultanées, exécutées par les divers points matériels du prisme, ils dépendent essentiellement (513, 519, 52! et 523) du nombre k ou dont la valeuest généralement donnée par la racine quarrée du rapport de g ou 9m, 809, à la distance qui sépare la position moyenne de chacun de ces points matériels , de sa position relative à l’état naturel : cette durée, ce nombre des oscillations entières par seconde , sont eux-mêmes donnés dans chaque cas : la première , par le quotient de 2^ = 6,2832 divisé par k ou le second, par le quotient de ce même nombre divisé par 2®- ; ce qui en renu le calcul très-simple et, redisons-le, tout à fait indépendant de l’intensitc de la vitesse en chacun des points du prisme.

Faits d'expériences et questions relatives à l’extinction et à l’accumulation du

mouvement vibratoire.

327. Utilité des principes qui précèdent, pour les applications. Pour en offrir tout d’abord un exemple, nous rappellerons ce fait d’expérience

déjà énoncé an N° 315, et d’après lequel les oscillations des corps considérés dans leur état naturel, loin de se perpétuer indéfiniment comme le suppose la theone, vont, au contraire, sans cesse en dinr'n ,, a r '! et finissent bientôt par s’éteindre complètement; car on conclura sur le cnamp, des principes généraux énoncés au N° 326, cette conséauen ce que si 1 élasticité d’un prisme n’a pas été altérée à la fin de la première période du mouvement, ou du plus grand allongement. la durée de' ses

r Cn “ n a temps donné ’ et la Position moyenne de C t f/,! * e!ements ; ont du rester les mêmes jusqu’aux ‘derniers instants de ce mouvement , quoique l amplitude même des oscillations a>'f sans cesse varié jusqu’à devenir complètement utile Or cette conséquence, ce nouveau principe est non-seulement vérifié par l'expérience pour le cas particulier des prismes, mais il s’étend Généralement? comte le démontre le calcul, à tous les mouvements oscillatoires ou vibratoires dont 1 amplitude est assez faible pour que la force qui anime lestâtes

** « «•* ,7" ée *■» « «««, c’est-à-dire dL l" M Z prc orl tionnahte qu elle suit par rapport aux distances. P 1

Supposez , maintenant , qu’un corps suspendu à l’extrémité d’un prisme vienne , an milieu de ses osculations régulières , produites par une cause anterieure quelconque, a subir un nouveau choc de la part d’un corps etranger et don* 1 action ne dure que pendant un certain temps, on saura , a I avance, que le mouvement oscillatoire qui succédera à cette première impression , suivra les mêmes lois que le précèdent : que l’étendue des excursions des molécules de part et d’autre de leur position moyenne, sera seule modifiée; qu en un moi, cette position , le nombre et ‘la duree des oscillations ou vibrations seront demeurés tels qu’ils étaient en premier heu. 4

S il s’agit notamment d’un choc vif survenu en un point quelconque de ta course du corps suspendu au prisme; connaissant d’ailleurs la vitesse V' de ce corps au point où le choc s’opère, il deviendra possible, au moven des principes établis dans les N° 5 523 et suiv., et en procédant spécialement comme on la fait au N°S2S , de découvrir, non-seulement la vitesse V , qui succédé immédiatement à V', mais encore la nouvelle amplitude ces oscillations , les plus grands allongements on accourcissements qui en îesultent, toujours dans l’hypothèse d’une élasticité parfaite ; car (326) la valeur du nombre n’ayant pas changé , non plus que le centre du cerne qui appartient au nouveau mouvement, on sera en état de calculer ou de construire le rayon r, de ce cercle , au moyen de l’ordonnée relative <m point où le choc a lieu , et qui est toujours donnée par le rapport de la vitesse V, , commune, en ce point, aux deux masses choquantes et du nombre h l dont il vient d’être parlé.

Lorsqu’au premier choc, il en succédera un deuxième, un troisième , et ainsi de suite, on pourra calculer de même successivement, les amplitudes croissantes ou décroissantes des nouvelles oscillations dont la durée ne sera nullement changée, pourvu toujours que l’on reste dans les anciennes hypothèses d’élasticité. Mais , afin de préciser davantage les idées , nous offrirons, dans les numéros ci-après, quelques exemples particuliers ,. es l0iS P ar lesquelles peut s’opérer cette accumulation ou cette soustracuon progressive du mouvement dans les prismes.

«i-8. Examen des circonstances qui accompagnent le choc en retour des pnsmes. Nous avons annoncé dans le N° 524 , que nous reviendrions sur es circonstances que présentent, dans le mouvement de retour du prisme ers létal naturel, les deux masses M et M' , censées libres, de s’élever, n glissant le long de ce prisme. Le phénomène des chocs et vibrations -uccessives qu’il éprouve en raison de cette indépendance des masses,

étant beaucoup trop compliqué dans le cas où celles-ci pourraient se détacher à la fois de son extrémité inférieure , puisqu’il conviendrait alors (320) de tenir compte du rôle que joue l’inertie de ses parties matérielles dans le mouvement vibratoire qui succède à sa séparation d’avec les masses M et M', nous supposerons que la dernière de ces masses soit seule libre de se détacher, et que l’autre , au contraire, fasse système avec la partie inférieure du prisme dont le poids , />AL (§510) , sera ici encore censé très-petit par rapport à celui des deux masses, hypothèses qui , au surplus, se réalisent presque toujours dans les cas d’application. Mais, comme il peut aussi arriver que la masse M' se trouve liée d’une manière accidentelle quelconque â la masse M , nous chercherons préalablement quel est le plus grand des efforts qui tendent à les séparer l’une de l’autre, dans les instants où le prisme vient à se contracter , de plus en plus, après avoir dépassé , dans l’oscillation ascendante, sa position naturelle AB (Fig. 51).

A cet effet, on remarquera que M' n’a de tendance à quitter M, qu’en raison de ce que la réaction élastique , P = AEi , du prisme , ayant changé de sens ou de signe dans tous ces instants, agit pour retarder, de plus en plus, le mouvement de celle-ci par rapport à celui de l’autre, qui ne saurait en être influencé autrement qu’en vertu de leur liaison réciproque, et qui cesserait de l’être dès l’instant où cette liaison viendrait à être détruite par suite de l’accroissement d’intensité de leur réaction commune. D’ailleurs , cette question, où il s’agit de déterminer l’effort de séparation des deux masses'M et M', est entièrement analogue à celle qui nous a déjà occupé (323) , pour le cas inverse du choc de ces masses; et , comme en négligeant ici encore, par rapport au mouvement commun dû aux contractions du prisme, le mouvement relatif qu’elles peuvent prendre, en raison de la déformation, de l’extension subies par certaines de leurs parties, ou, plus spécialement, par les courts liens qui les unissent accidentellement, les accroissements élémentaires, v et v , de leur vitesse, devront être censés les mêmes à tous les instants de la réaction ; de sorte qu’il deviendra, pour le cas qui nous occupe , également possible de déterminer les valeurs de F , à ces divers instants , par la connaissance de la loi du mouvement commun dont il vient d’être parlé.

Raisonnant donc ici, à peu près comme on l’a fait dans cet endroit, si ce n’est que F devient l’effort de réaction qui s’oppose , de bas en haut pour la masse M et de haut en bas pour la masse M', à leur séparation mutuelle, on aura évidemment, pendant la durée entière de cette réaction,

F+Qr = M' - pour la F 8 , et F + M * — Q-}- P pour la 2 e ,

attendu , je le répète , que ces masses cheminent de compagnie , et qu’on néglige la faible déformation qu’elles peuvent subir sous l’influence de F, ce qui rend ®'=®.

On aura donc aussi, à tous les instants de la réaction,

ce qui donne

O+Q^ 9 ' gt Q 0+Q' 0+Q'

AEO

pour calculer , à chacun de ces instants , le degré v , du ralentissement éprouvé par les masses, ainsi que l’effort de réaction F, qui en résulte , e dont la plus grande valeur correspondra évidemment au maximum mem

DES RÉSISTANCES. 277

de raccourcissement, i ou I, donné par la formule

IL y/ p* 4- Xli — [lf + l")

des N° s 321 et 325, laquelle permettra ainsi de calculer rigoureusement ce plus grand effort dans chaque cas.

Il est évident d’ailleurs que ces formules mettront en mesure, non-seulement de découvrir la loi du mouvement pendant la durée des accourcissements du prisme, loi qui sera immédiatement donnée (325) par la partie du cercle B' , ]\ T 'D"B" ( Fig. SI ) , comprise entre B" et le prolongement de NB, mais encore de déterminer, soit le degré de résistance que, dans certains cas, il faudra procurer aux attaches, pour empêcher que la masse M' ne quitte M , soit l’intensité de leur vitesse commune à l’instant où cette résistance, supposée donnée à priori , se trouve être entièrement vaincue.

Considérant maintenant ce qui arrive après cette séparation , dont l’époque pourra également être assignée par le calcul, ou , ce qui revient au même , supposant désormais que la masse M' soit entièrement libre de se détacher, de M, avec la vitesse Y, qu’elle a reprise, en sens contraire , au point B , dans le mouvement de retour du prisme vers l’état naturel ; il arrivera, à peu près, ce qui a déjà été expliqué au N° 520 pour le cas d’une seule masse litre elle-même de quitter son appui sur le prisme. Seulement, ici, le poids Q, qui remplace cet appui, ayant une très-grande valeur par rapport à celle du poids ^>AL de ce prisme, il deviendra possible de calculer, avec exactitude (31 8 et suiv.), les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède à sa séparation d’avec Q' , et , par suite, tous les effets des chocs qui peuvent en résulter. D’un côté , la connaissance de la vitesse de séparation, V„ au point B, entraînera celle du cercle B'ND'B ou du mouvement oscillatoire de Q ; et, comme la loi de l’ascension et de la descente de Q' sera également connue ( 120 ; , on pourra , à l’aide d’un tâtonnement facile ou de l’intersection des courbes qui lient les temps aux chemins parcourus, déterminer l’instant et le point précis où Q' atteindra

de nouveau le poids Q, dans sa chute de la hauteur H,=— , ce qui permettra aussi (322) de calculer la vitesse initiale , très-différente de Y ,, qui succède à ce choc, etc. D’un autre côté, non-seulement on sera en état^au moyen de cette dernière donnée et des principes exposés dans les Pï cs o 2 r et suiv., de déterminer la loi du nouveau mouvement oscillatoire, le plus grand accourcissement subi par le prisme, etc. , mais, de plus, on saura , à priori , quelle est la vitesse avec laquelle s’opère la nouvelle séparation des deux masses en B, et ainsi de suite , en continuant les calculs jusqu a ce qu’on arrive à un dernier choc et à une dernière oscillation, pour laquelle , en raison des pertes de force vive , résultantes de chaque choc, le maximum d’accourcissement subi par le prisme se changera en minimum d allongement 5 ce qui arrivera nécessairement lorsque, pour une derniers vitesse initiale, Y, , qui pourra d’ailleurs, ainsi que les précédentes, etre contraire à celle que la masse M, possédait avant le choc, on aura

» / /" 2 l Y!i < V 4 - l", ou Xf < l/V (*' + 2H ;

condition facile à vérifier par le calcul ou la géométrie , puisqu ehe inique simplement que le cercle B"N'D"B", relatif au dernier choc et au mouvement oscillatoire final, avant toujours pour centre le point U , doit Passer en deçà de B , par rapport à A. Mais il nous suffit d avoir montre

la marche des calculs , dont le développement et l’application particulière ne sauraient offrir de difficultés sérieuses.

529. Question relative à 1 accumulation du mouvement oscillatoire dans les prismes. Supposez qu’un homme, saisissant, avec adresse , les instants où | e poids oscillant , O , suspendu à l’extrémité inférieure , B , du prisme (fig. 51) , atteint la limite de sa course ascendante , ajoute à O un nouvel effort , ou plutôt un nouveau poids , Q', qu’il abandonne d’abord à luimême, sans vitesse acquise, pendant toute la demi-oscillation descendante, et qu’il enlève ou supprime ensuite dans toute la demi-oscillation ascendante , sauf à recommencer et à continuer ainsi successivement ies mêmes alternatives d’action; il est certain, d’après les principes ci-dessus établis que la loi du mouvement restera la même dans chacune des demi-oscillations respectives , descendantes ou ascendantes, et qu’en admettant notamment les conventions du 524 , celles-là se feront constamment autour du point O, et celles-ci autour du point C. Or, cette seule donnée suffit pour mettre en état de découvrir, dans les hypothèses souvent mentionnées , toutes les circonstances du mouvement régulier qui succède à un nombre quelconque d’impulsions ou d’actions pareilles de la part de la force motrice.

En effet , le mouvement ascendant , qui succède immédiatement à un mouvement descendant , devant avoir la iimite inférieure, par exemple D", commune avec lui , et cette limite devenant ainsi un point de contact commun aux deux cercles correspondants , dont le centre est G pour le premier mouvement, et O pour le second, il faut bien que le rayon de celui-ci, ou la demi-amplitude de l’oscillation ascendante , soit augmenté . à chaque fois , de la distance constante , CO , qui sépare ces centres ou points milieux. Et , comme la même chose aura lieu , à l’inverse , toutes les fois qu’à une oscillation ascendante , opérée sous la seule action de O , succédera une oscillation descendante , qui le sera sous les actions réunies de O et O', on voit très-clairement que les demi-amplitudes de ces oscillations alternatives , s’accroîtront successivement de quantités indiquées par la progression arithmétique ,