CO, 2CG, SCO 2«CO

2» étant leur nombre , ou n celui de oscillations entières , à partir de celle où O' s’ajoute , pour la première fois, à O. Et , par conséquent, CB' étant la demi-amplitude , supposée constante , des oscillations exécutées antérieurement par Q ,

BD'4-2«CO = CD' -f BC + 2«CO, BB' + 2»CO = CD' — BC + 2»CO, sera l’allongement ou l’accourcissement subi finalement par le prisme, c’est-à-dire au bout des n alternatives d’action du poids O', si l’élasticité est demeurée parfaite , et que l’on continue à négliger Sa faible part d’influence qui peut être due à l’inertie et au poids des parties matérielles du prisme , ainsi qu’aux pertes de force vive, occasionnées par la transmission du mouvement oscillatoire aux corps extérieurs , perte insensible pour chacune des alternatives d’action.

Supposons , à l’inverse , que le moteur trouvant le prisme dans l’état de mouvement qui est relatif au centre O et aux poids réunis de O et 0\ vienne à soustraire à chaque oscillation descendante , ce dernier poids , tout en le rétablissant dans l’oscillation contraire, sans lui permettre d’ailleurs (528) de quitter O, aux instants où les allongements du prisme se changent en accourcissements , on voit que les amplitudes de ces oscillations iront en diminuant précisément suivant la progression arithmétique indiquée ci-dessus , et que le mouvement oscillatoire finira bientôt par s’éteindre complètement pour recroître ensuite dans le sens opposé, si la puissance continue la marche régulière de ses alternatives d’action. Sup-

DÈS RÉSISTANCES

posant d’ailleurs que , dans l’une ou l’autre hypothèse ci f ‘e m sance ajoute a la fois à O , un poids O' dans leVn7ni, f nieme Pmsdu prisme , et l’en retranche dans l’osSlation LtraTiï 0 ? i n tr* dantt ' s alors il est bien évident encore une I» vifecc/» air ?’ ou »n versement , croissement des amplitudes de ces osci!lafions ^accroissement ou de déce qu’elle était précédemment. Enfin î a P rec * sé ™ent double de

force motrice par une succession de chocs L ^ nt f ? es ac f !0ns lentes de la mais qui se reproduisent à des intervalles cmi venabfesVt'd^ qiie,conq H es ’ par I énergie de le tension natnrelle |526)

du prisme , avant ou après chaoue réaction VI e P r ° uvenl Jes éléments dent que des circonstances absolument ’k ?? paraîtra pas moins évil’influence de ces chocs vîfs sauf Si l cS IableS Se fuiront sous lations , ascendantes et descendantes ne variera° U nn° mt des osd! ' le corps choquant rejaillit ou quitte^a^harg^pe^nentï cT 6 paS - t Si apres le choc; le ravon seul , de ces cercles Permanente O, aussitôt

augmenté ou diminué (519 et 52S) d’une auamifé rpï®?* !DS . antanéffle ‘nt au sens de l’action. ; 6 quanute relative a 1’mtensité et

oui s'applique même m é,™ oil I e S?™'"-!*

dans chacune des alternatives de monvemerf r a c e re - qUeIconque comme on l’a fait en particulier aux W-Rlâ e/'âS n a s i SOn ? ant ici puisque la force vive de la masse oscillante M devînt n ra évident ’ cernent et a la lin de ces alternatives mm c - r nu{Ie au commenallongement au départ « ™e „ k plus grand nombre auelconmie». R’actmni — L. e 3 ? celui qm 3 Jie « après un

nombre quelconque» d’actions motrices le 7 ™ J ■ apres llîî pose, en lui-même, l’excès d’allongement / mécanique que sup-

AE oogement étant d ailleurs mesuré

Mp.rle Ip r.s S ,on; r (ü - f ,, eéllé-éi dévr, «re précisé™» le sens £ ÏSSSl ST SfiT? d T

traction faite des pS«S ^rési lient et, c ? sl - Wil ' e a). s -

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<.»“°im"g ZtZrCmmelTé "S&T 1 * ”'“ <f 1 *•

à l’extrémité inférieure duorisme 7a U * s ! Jpport h °raontal fixé pour lequel ce’sup’port 6 rcpi^sentera’lalchar're consItôte , nnT e d ar ^i e ’

rasas ?- s zz7 (e ?.

nommée Q P Tu„m"z' , .’t" ie , h char 8 e additionnelle

et s’il s e loi'ç-o „„ „„ t nce debas en haut, quand ce support baisse ,

On se rendra parfaitement compte de ces effets , en observant que , dans ce double mouvement, l’effort de réaction que l’homme fait éprouver au support, se compose du poids total de son corps, augmenté de la

résistance — — ou M - (ISO) , due à l’inertie de la majeure partie de ce

poids , quand il s’élève rapidement par la force musculaire des jambes et des reins , tandis que cette même réaction est simplement réduite à l’excès

de O' sur M— pendant les instants où il se laisse , au contraire , re-

tomber en fléchissant les genoux. Or , puisque la force musculaire dont il vient d’être parlé , permet à l’homme de quitter entièrement le point d’appui de ses pieds , lorsqu’il est à terre, on conçoit que ce dernier effort de réaction , cet excès pourra devenir complètement nul dans certains instants , tandis que , dans d’autres, l’excès contraire pourra surpasser de beaucoup , le double du poids , Q\ de cet homme.

Il est certain que l’un et l’autre de ces efforts variables de réaction seraient très-difficiles, pour ne pas dire impossibles, à calculer à priori ou à déterminer par expérience, quand bien même on parviendrait à découvrir la loi des mouvements que l’homme peut ainsi imprimer à son corps. Mais ce calcul n’est pas nécessaire pour se faire une idée approximative du maximum de travailou d’effet utile qu’il pourrait développer dans un semblable exercice. Car, si l’on estime àO m ,3, par exemple, la hauteur dont il abaisse, dans chaque période, le poids de la partie supérieure de son corps, supposé seulement de 50kü , et à 0m,g, pareillement, la hauteur totale à laquelle il peut élever, au-dessus du sol, par sa foree musculaire, le poids entier de son corps supposé de 7ükü, il en résultera que le travail, relatif à la totalité des 0m(6 de son ascension, sera mesuré par la somme SOk.Om 3 -|- 70k.0 m ,o=56km. C’est à cette quantité qu’il faudra ici égaler

celle. | AE - — — -, dont il a été question ci-dessus (329), pour obtenir

la valeur de 4 ou 4 — 4, à la fin de chacune des oscillations entières du

plus ravuiauic u wt-a

musculaire par laquelle il parvient à développer constamment, ou à chaque alternative, les 36km dont il s’agit.

En effectuant le calcul pour un exemple particulier, il sera facile de s’assurer que l’amplitude des oscillations du prisme irait continuellement en augmentant, mais d’une manière beaucoup moins rapide que dans les hypothèses de l’exemple précédent, ou l’action motrice croissait elle-même sans cesse avec cette amplitude, tandis qu’ici elle en est supposée indépen-

(i) Leur durée, sous la charge constante Q, étant donnée ( 3 î 9 ) par la formule - tandis que celle des alternatives d’action de l'homme , né peut guère

— ' ' y S AE ’

être moindre qu’une ou deux secondes, cette condition fixe la relation à établir entre les quantités Q L , A et E qui se rappoteut spécialement au prisme. Ainsi, par exemple, en prenan rj. __ a v on aura pour déterminer la longueur L , de ce prisme , tout le reste étant connu^

c 533 ; étant la résistance élalisque de ce même prisme, et Q E

poids du support.

DES RESISTANCES

connue de la quantité — 5Gkm AE

dante. Si Ion nomme en effet, pour plus de généralité. B â la valeur toute -L — . 72 L .

-JD qui ne dépend que des dimensions

et de I élasticité du prisme, on trouvera par un raisonnement fort simple mais dont le développement serait trop long à rapporter, que Tallongemen j t f 0 ' SU )I j'° ar e prisme , au bout de n oscillations entières, est donné

U = f/ P -j- nB 2 ,

dans laquelle ï , représente (257 et suiv.) l’allongement de stabilité

que le prisme acquiert sous le poids seul de son support.

Le pi emier de ces allongements croît donc d’une manière d’autant moins rapide^que B- est plus petit vis-à-vis de P, ou que le rapport de B 2 à P,

egal 3 -Q 2 L = ~or est Illi " même moindre par rapport à l’unité; mais on voit aussi que la valeur de ce dernier allongement ne saurait , en aucun

cas, surpasser celle de f/rcB 2 qui croît seulement comme la racine quarrée du nombre n , des oscillations ou secousses successives de la puissance.

Cette accumulation du mouvement oscillatoire par la répétition des mêmes effets, est un autre moyen d’emmagasiner, dans les corps élastiques, le travail des forces motrices naturelles, et de produire, comme dans le cas du choc (179), des résultats dont elles seraient incapables par leur application directe à la résistance. C’est ainsi, par exemple, qu’en faisant osciller alternativement l’extrémité la plus faible d’une grosse et longue poutre horizontale, reposant sur un appui solide, vers son autre extrémité, armée à cet effet , d’une bride en fer embrassant la tête d’un pilot, c’est ainsi qu’on parvient, au bout d’un temps souvent fort court et à l’aide d’un petit nombre d’hommes , à l’arracher du sol où il avait été enfoncé acoupsde mouton redoublés, etc. Mais, cette application, comme plusieurs autres que nous pourrions citer, sont un peu étrangères à notre objet actuel, et nous passerons à un exemple qui y a plus directement trait.

Oai . Explication d’un fait observé par M. Savart dans ses expériences sur la vibration des\verges élastiques. Dans un chapitre intéressant du Mémoire que nous avons cité au N° 299, cet habile physicien s’est proposé de démontrer l’extrême facilité avec laquelle les vibrations longitudinales peuvent être excitées dans les verges élastiques , lorsqu’en les fixant vers le milieu ou à l’une de leurs extrémités , on vient à passer légèrement , mais à plusieurs reprises différentes, les doigts mouillés le long de leur surface. Il arrive alors, comme l’observe M. Savart, que le mouvement se propage, de proche en proche, des couches externes aux couches centrales , de façon que les effets de la friction répétée, se communiquant bientôt à la masse entière des verges , les oscillations finissent par acquérir une amplitude qui ne paraît nullement en rapport avec la faiblesse de la cause.

Parmi les expériences délicates qu’il a spécialement entreprises dans la vue de constater les efforts qui seraient capables de produire directement le maximum des allongements observés , nous citerons celles dont il a luimême soumis les résultats au calcul, à la page 598 du tome 65 des Annales de Chimie et de Physique , et nous y ajouterons, d’après ce qui précède, l’évaluation des quantités de travail qui correspondent à ces mêmes efforts.

Dans une première expérience sur une verge de laiton de l m ,407 de longueur et o4 m U-,9o de diamètre, l’allongement . sous l’influence des vibra-

lions s’est élevé à 0 m , 00026 , ce qui donne pour calculer l’effort correspondant , P, par la formule P = AE« du N° 256 ,

ît(o4,9o) 2

9S9,57 mil!i - c -.

et, partant,

p = 939,57 . 96 15 k . 0,0001848 = 1704k, 7, en prenant pour E la valeur déduite du résultat des expériences de M. Savart , et qui se trouve rapporté dans la table du N"° 300.

Multipliant ensuite ce résultat , qui coïncide , à très-peu de chose près, avec celui de ce physicien , par la moitié de rallongement correspondant , 0“, 00026 , de la tige , conformément à ce qui a été établi au N" 247 , on trouvera pour la quantité de travail ou la résistance vive que cet allongement suppose

T e = 1704 k 7 . i-, 0 m , 00026 = 0,222 kilog. mètre.

On voit combien ce résultat est faible , puisqu’en supposant l’effort longitudinal , nécessaire pour vaincre la friction des doigts dans l’expérience dont il s’agit, égal à 0 k ,l seulement, il suffirait de répéter cette friction deux fois de suite , dans le même sens et sur une étendue de l m ,ll, pour développer une quantité d’action égale à celle qui vient d être trouvée. Le raisonnement et le calcul sont donc parfaitement d accord avec les faits de l’expérience, bien que, à considérer les choses d’un peu plus près , on aperçoive qu’une certaine quantité d’action ou de travail doit nécessairement être employée, en pure perte , à détruire une portion correspondante de la force vive acquise par les molécules dans leurs mouvements de retour vers le point d’encastrement de la tige, et une autre portion également appréciable , employée à transmettre le mouvement vibratoire aux corps environnants , par l’intermédiaire du support.

En refaisant les mêmes calculs pour la seconde des expériences citees , relative à un cylindre de verre, de 0 m ,966 de longueur et 29 mil -,l de diamètre, qui s’est allongé de 0", 00021, sous l’influence des frictions répétées, ou des vibrations qui en ont été la suite, si l’on refait , dis-je, ces calculs , on trouvera

p = 900 k environ , et T e = 0 km ,G98 , en prenant, d’après la table de l’art. 500 , E=6200kii pour la tige de verre j>° 3. Or le dernier de ces résultats offre une nouvelle preuve de la taibie dépense de travail qui est nécessaire pour engendrer, dans les tiges élastiques , les’oscillations ou vibrations longitudinales les plus puissantes.

On peut même voir, par les résultats exposés aux N us 296 et 298 , qui n’en coûterait pas beaucoup plus pour amener ces verges au point de rupture , et, chose remarquable, qu’il en coûterait d’autant moins que leur substance serait plus raide ou plus dure, c’est-à-dire moins ductn » Ces mêmes résultats donnent aussi une idée de la puissance des effets physiques qui pourraient être produits , à la longue , par l’accumulation mouvement vibratoire dans certains corps solides, soumis à l’action r térée des plus faibles forces ou des plus faibles causes, qui viendraie ainsi à suppléer l’énergie primitive de cette action , par l’étendue du c min sur lequel elle se trouverait répartie (71 et 72).

oo ces ponts

Applications relatives à l’emploi du fer dans les ponts suspendus.

;2. Données essentielles de la question. On sait que les tiges verticales I d^ >onts soutenues , vers le haut , par des chaînes en fer , qui vont

DES RÉSISTANCES

me à l’autre en passant quelquefois sur des piles intermédiaires sont destinées a supporter les extrémités de poutres horizontales, ou transversales a 1 axe , sur lesquelles reposent , à leur tour , les solives ou Ion°rines qui reçoivent le plancher ou tablier du pont , etc. Chacune de ces Ses se trouve ainsi chargée de la moitié du poids total qui agit sur la poutre ou traverse correspondante, et ce poids peut toujours être calculé ! « priori par la connaissance du système. Nous supposerons que la charge permanente, et ordinairement uniforme , ainsi calculée , soft de 2450 ^ 11 . e t cm’en conformité de la règle des constructeurs , indiquée au N° 288, on ait

donné, à chaque tige , une section d’environ = 3225 millimètres

carrés , répondant à 55 millimètres de côté; la charge par millimètre étant ainsi réduite a 2 üi seulement.

D ailleurs, comme dans toutes les circonstances où cette charge reçoit une impulsion une vitesse initiale étrangère à faction de son propre poids, la longueur absolue des tiges doit jouer un rôle nécessaire et d’autant plus appréciable qu elle est plus petite (517) , il y aura lieu d’en tenir compte dans les calculs: ce qui, en s’arrêtant au premier aperçu, conduirait à choisir, pour les y soumettre , les tiges les plus courtes parmi celles qui supportent le tablier du pont; mais comme leurs extrémités supérieures, au lieu d être fixes , sont liées par un gros boulon à des chaînes qui possèdent une assez grande flexibilité, il en résulte que les effets des chocs simultanés ou successifs qu’elles subissent, doivent être d’autant plus atténués , qu elles sont elles-mêmes plus voisines du milieu du pont, où les oscillations , les abaissements atteignent nécessairement leur limite supérieure.

En considérant même les choses d’un peu plus près , il est aisé d’apercevoir que cette mobilité du point d’attache supérieur des tiges, reproduit , en réalité , i effet qui aurait lieu si on les prolongeait au-dessus de ce point, d’une quantité telle que l’allongement subi par la partie excédante a compter du nouveau point d’attache supposé entièrement fixe , fût exactement égal à l’abaissement qu’éprouve le premier dans l’état naturel • du moins peut-on admettre une semblable hypothèse , lorsqu’il y a pareillement lieu de négliger (521) l’inertie et le poids des parties matérielles de la lige ainsi prolongée.

D’un autre côté, comme le calcul et l’expérience sont d’accord pour prouver que les abaissements , vers le milieu des chaînes, sont très-grands par rapport aux allongements que peuvent subir les plus longues barres de fer , dans les limites de l’élasticité naturelle, il en résulte que les tiges de suspension qui éprouvent le plus de fatigue dans les ponts dont il s’agit, correspondent précisément aux points d’appui des chaînes . et que. par conséquent, c’est en ces points, où elles ont souvent jusqu’à 10 mètres de hauteur, qu’il est surtout intéressant de vérifier leur solidité.

lors du levage ou montage des matériaux du pont, la pose des diverses pièces s’effectue d’une manière successive; et, quoique cette opération soit nécessairement accompagnée de mouvements plus ou moins vifs , on conçoit qu’il n’en résulte aucun effet dangereux pour la solidité. Mais il en est tout autrement lorsque le pont étant une fois établi , il vient à être surchargé passagèrement: et c’est dans la prévision des accidents fâcheux, qui peuvent en résulter, que l’Administration des ponts et chaussées oblige tes entrepreneurs à soumettre le pont à une épreuve préalable . qui consiste a le surcharger uniformément d’un poids de 20ûkü par mètre carré . représentant, à peu près, celui du plus grand nombre de personnes qui Puissent y être contenues, à raison également de trois par mètre carré, our un pont de 8 mètres de largeur . et dont l’espacement des tiges serait

de i“,5 , par exemple , cela donnerait 12 fois 200k — 2400 k, i de surcharge par couple de tiges, ou I200 kil par tige, et augmenterait d’environ moitié en sus , la charge permanente de 24oO ki1 , que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés à cette épreuve se fait d’une manière progressive , il en résulte que les tiges de suspension sont bien loin de subir l’amplitude d’allongement qu’elles recevraient, en réalité , de la part d’une masse pareille , ou même moindre , xpii serait animée d’une certaine vitesse , ou qui viendrait envahir le pont d’une manière plus ou moins rapide : telle serait , par exemple , une troupe d’hommes ou d'animaux, un croisement de voitures lourdement chargées, et dont l’action deviendrait d’autant plus dangereuse qu’elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d’appui.

535. Appréciation des effets produits , sur les tiges de suspension, par la rencontre de voitures lourdement chargées. Polir se convaincre des dangers qui peuvent en résulter pour la solidité , il n’y a qu’à supposer la rencontre , en un point déterminé du pont , de deux voitures pesant chacune 8000 kil tout compris : comme les poutres longitudinales , qui entrent dans ce pont, n’embrasseront généralement guère plus de quatre travées ou cinq couples de tiges , et que les couples , qui correspondent directement aux roues , porteront au moins deux ou trois fois la charge des autres, on n’exagérera certainement pas en élevant à 2600tü celle que supporte chacune d’elles , même aux derniers instants de l’allongement qu’elles devront subir , et où elles seront le plus soulagées par leurs voisines. Supposant, en outre, ces voitures animées d’une certaine vitesse, et rencontrant les obstacles”, les inégalités dont les planchers des ponts sont toujours hérissés ; mettant enfin en ligne de compte les effets dus au choc occasionné par la marche des chevaux, il sera facile de juger d’après les calculs déjà établis aux N 05 317 et 518, que, malgré la faiblesse de la charge permanente supportée par les tiges verticales du pont, et l’épreuve préalable qu’on leur fait subir, il pourrait bien arriver, dans certaines circonstances, que l’élasticité de ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée.

Afin d’offrir un nouvel exemple de ces calculs , et de fixer davantage les idées , nous supposerons que la surcharge de 2600 k ü , vienne choquer la tige qui la supporte, avec une vitesse acquise de 0",70, par seconde, due à une chute de 25 millimètres seulement de hauteur, et nous admettrons, déplus, que cette tige ait la longueur de 10 mètres, que nous considérons comme un maximum. D’après ce quia été expliqué cidessus , on aura donc ici :

A = 1225 miUi -°, L = 1 0 rn , 0 = 24o0t, Q' = 2600k, Y' = 0-y0; ce qui donne d’abord, pour la vitesse initiale , commune à Q et O', à la fin du choc (325),

0 ID :) 70 - 0 m ,56,

vitesse qui correspond, elle-même, à une chute de très-peu supérieure a 0 m ,006. On trouvera ensuite, par les formules du N° 524 et en prenan toujours E = 20000kU 5